Конспект решение квадратных уравнений 10 класс
Обновлено: 06.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Муниципальное образовательное учреждение
Учитель Ольга Антоновна Колбаско
Тип урока: практическое занятие
- формировать умения учащихся решать квадратные уравнения с параметрами;
- привести в систему знания и умения использования алгоритмов при решении квадратных уравнений с параметрами.
- выполнение дифференцированных заданий по теме;
- выделение основных шагов решения квадратных уравнений с параметрами по алгоритму;
-обобщение и систематизация знаний, умений и навыков при решении квадратных уравнений различными методами(по блок-схеме и по теореме Виета)
- воспитание культуры общения;
-воспитание трудолюбия, ответственности, дисциплинированности и самостоятельности.
- развитие умения логически мыслить, обобщать;
- умение работать в проблемной ситуации;
- развитие познавательных и исследовательских умений.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, слайды, карточки с дифференцированными заданиями.
1.Организационный момент. Цели урока(1 мин.)
2. Актуализация теоретических знаний(9 мин.)
Провести опрос по теории предыдущего урока:
--Расскажите ход решения квадратного уравнения с параметром по блок-схеме;
--Какие значения параметра называют контрольными при решении квадратного уравнения? (открыть слайд 1)
--В каком случае будет отсутствовать в блок-схеме ветвь А=0?
--При каком условии в блок-схеме не будет ветви D
- Сформулируйте теорему Виета.
--В каких случаях применяется теорема Виета?
--Что необходимо проверить перед применением теоремы Виета? (слайд 2)
||. Проверка выполнения индивидуального задания(7 мин)
Индивидуальные дифференциальные задания раздаёт учитель:
Карточка 1.Задание выполняется на этом же листе за 9 мин и сразу сдаётся на проверку учителю.
При каких значениях параметра р уравнение (-рх+2=0 является: а)линейным; б)квадратным?
Карточка 2 Задание выполняется на этом же листе за 9 мин и сразу сдаётся на проверку учителю.
Найти все значения в, при которых сумма действительных корней уравнения -вх+3=0 меньше пяти.
Остальные учащиеся включаются в работу в тетрадях при выполнении индивидуальных заданий на доске.
Пример 1. При каких значениях параметра р уравнение р+(1-р)х-1=0 имеет корни: а)одного знака; б) разных знаков?(задание написано заранее на доске)
Данное уравнение при А=0 не является квадратным, то есть р=0 – контрольное значение параметра р, при котором уравнение вида 0 является линейным и имеет единственный корень х=1.
Если р0, то уравнение является квадратным и найдём дискриминант D =-4АС.
D =-4р(-1)=1-2р++4р= при любых значениях р≠0. Разделим уравнение на р≠0. Тогда, если ,- корни квадратного уравнения
+ х – =0,то, чтобы корни были одного знака, необходимо и достаточно, чтобы их произведение = при р их произведение
= при р, то корни разных знаков.
Ответ: при р корни квадратного уравнения одного знака;
при р корни разных знаков.
Далее учащиеся рассматривают блок-схему решения этого задания по слайду 3.
|||. Решение демонстрационных примеров на доске(27 мин.)
Пример1. Решить уравнение (а-1)+2(2а+1)х+4а+3=0 при всех значениях параметра а.
Если А, то есть а, то квадратное уравнение имеет дискриминант D =-4(а-1)(4а+3)=4(4+4а+1)-4(4-а-3)=4(5а+4).
Рассуждаем далее: если D , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня; если D , то квадратное уравнение имеет два равных (кратных) действительных корня; если D ,то действительных корней нет.
Если 5а+4, а и вспомним, что а, то D ,значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня =.
Если 5а+4, а= -, то квадратное уравнение имеет два равных действительных корня== =-.
Если 5а+4, а, то квадратное уравнение действительных корней не имеет. Итак, мы решили уравнение при всех значениях параметра а.
Вывод на прямой
при а действительных корней нет.
После ответа рассматриваем блок-схему решения задания (слайд 4)
Пример 2.Решите уравнение (2 -в-6)при всех значениях в параметра.
Если коэффициент при равен нулю (А=0), то уравнение является линейным: 2-в-6=0, в=2, х = и в=-1,5, х = -1.
Если А, то при в2 и в-1,5 уравнение является квадратным. Далее рассуждаем по схеме:
Найдём дискриминант D =-4(2-в-6)=4(10в+16);
Если D ,то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при 10в+16, в, в2 и в-1,5 ),то квадратное уравнение имеет корни
3)Если D =0, в=-1,6 – контрольное значение параметра в, то квадратное уравнение имеет два равных действительных корня ==-1.
4)Если D , то при в квадратное уравнение действительных корней не имеет. Мы рассмотрели все значения параметра в.
Ответ: при в=2, х = ; при в=-1,5, х = -1; при в=-1,6 ==-1;
при в(-;-1,6) действительных корней нет.
Учащимся предлагается дома выполнить блок-схему для этого примера и сделать вывод на прямой.
Итог урока. Мы повторили алгоритм решения квадратного уравнения, ещё раз показали применение блок-схемы при решении квадратного уравнения с параметром, повторили теорему Виета. На дом предлагается выполнить дифференцированные задания по уровням
Карточка 1.Задание выполняется на этом же листе за 9 мин и сразу сдаётся на проверку учителю.
При каких значениях параметра р уравнение (-рх+2=0 является: а)линейным; б)квадратным?
Карточка 2 Задание выполняется на этом же листе за 9 мин и сразу сдаётся на проверку учителю.
Параметр - (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.
Основная литература:
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. - М.: Просвещение, 2017.
Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.
Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.
Квадратные уравнения.
На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.
Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.
Дискриминант – это число, которое находим по формуле
Если D 0 два корня.
Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:
Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.
Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.
Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:
1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.
2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.
3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.
4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.
Рассмотрите другие формулы:
, где второй коэффициент b=2k – четное число.
Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.
Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.
Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.
Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.
Рассмотрим несколько примеров:
Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.
Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.
Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).
Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.
Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:
Решение смотри в примере 1.
Часть 2. Квадратные неравенства.
Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.
Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.
Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.
Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.
Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:
Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.
Алгоритм решения системы неравенств.
1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.
Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Первый шаг в решении - найти особое значение параметра.
Второй шаг – определить допустимые значения.
Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.
Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.
Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.
Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.
Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.
Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.
Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.
Задания тренировочного модуля с разбором.
При каких значениях параметра, а квадратное уравнение
имеет только один корень?
Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.
Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?
Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.
Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; формулирование определения квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.
План-конспект открытого урока
Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; формулирование определения квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Изучение нового материала: l. Уравнения.
l l. Квадратные уравнения.
l l l. Неполные квадратные уравнения.
lV. Способы решения неполных квадратных уравнений.
Закрепление изученного: решение неполных квадратных уравнений.(на понимание)
Итоги урока. Выставление оценок.
Домашнее задание № 417 — 419 (2;4;6).
По фрагментное распределение содержания учебного текста
Виды уравнений (линейные и нелинейные)
Определение квадратного уравнения.
Коэффициент квадратного уравнения.
Виды квадратных уравнений.
Решение неполных квадратных уравнений.
УРАВНЕНИЕ — равенство, содержащее неизвестные величины.
ЛИНЕЙНЫМ уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=в, где х — переменная, а и в — числа.
КВАДРАТНОЕ уравнение — уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная.
КОЭФФИЦИЕНТЫ квадратного уравнения: а — первый(старший коэффициент), в — второй коэффициент, с — свободный член.
НЕПОЛНОЕ квадратное уравнение — квадратное уравнение
ах² + вх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.
ПОЛНОЕ квадратное уравнение - квадратное уравнение, у которого все три коэффициента отличны от нуля.
Актуализация знаний учащихся:
Учитель:решение многих задач в математике сводится к решению уравнений. С уравнениями вы знакомы еще с начальной школы. Чтобы вспомнить об уравнениях и их видах я предлагаю прочитать текст l, который лежит у вас на партах. И устно ответить на вопросы 1.1.
Учитель: А теперь читаем текст под римской цифрой l l и отвечаем на вопросы
l l.1-5. Ответы на вопросы вы можете обсудить в парах; задания 2,3,5 выполняем по вариантам в тетрадях.
l l l. Учитель: читаем l l l часть текста и отвечаем на вопросы l l l.1-4.
lV. Учитель: А теперь рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов; читаем lV часть текста и отвечаем на вопросы lV. 1-2. Работа в парах.
Запись в тетрадях: АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ах² + с = 0 ах² + вх = 0 ах² = 0
ах² = - с х(ах + в) = 0 х² = 0
х² = - с : а х=0 или ах + в = 0 х=0
Запись на доске (проверка!)
Учитель: а теперь самостоятельная работа по вариантам lV.3. Проверить у тех, кто решил раньше, остальные сверяют решение, которое уже записано на экране. Итоги самостоятельной работы.
1 вариант 2 вариант
Итог урока: выставление оценок.
Домашнее задание № 417 — 419 (2;4;6).
ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовывать в уравнение ах=в, где х — переменная, а и в — числа. Это уравнение называют линейным.
l l. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Решением многих задач математики, физики, техники сводится к решению уравнений вида 2х² + х + 1 =0, 0,8х² — 7х=0, х² -25 =0, 2х² =0. Каждое из этих уравнений имеет вид ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная. В первом уравнении а=2, в=1, с=1; во втором а=0,8, в= -7, с=0; в третьем а=1, в=0, с=-25; в четвертом а=2, в=0, с=0. Такие уравнения называют квадратными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. КВАДРАТНОЕ уравнение — уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная, причем а не равно нулю.
Числа а,в,с — коэффициенты квадратного уравнения.Число а называют первым коэффициентом, в — вторым, с — свободным членом.
При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х² +3 х= х² +2 х+ 2 после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х² + х- 2=0. Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
l l l. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так уравнения -2х² + 7 =0, 3х² -10 х =0 и -4х²=0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них в=0, во втором с=0, в третьем в=0 и с=0. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: ах² + с = 0, где в=о; ах² + вх = 0, где с=0; ах² = 0, где в=0 и с=0.
lV. РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение -3х² + 15 = 0, перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3: -3х² = - 15; х² = 5; х= √5 или х= -√5. Ответ: √5; - √5.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение 4х² + 16 = 0, перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на4: 4х² = - 16; х² =-4. Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х² + 16 = 0. Ответ: корней нет.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х² +9х = 0, разложим левую часть уравнения на множители: х(4х + 9) =0; отсюда х=0 или 4х + 9=0; решим уравнение 4х + 9=0; 4х = - 9; х= - 9/4. Ответ: 0; - 9/4.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение 2х²=0; х²=0; х=0. Ответ: 0.
l. 1. Сформулируйте определение уравнения.
2. Назовите виды уравнений, которые вам известны.
3. Приведите примеры линейных уравнений.
l l. 1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Из приведенных ниже уравнений выпишите квадратные уравнения:
1 вариант 2 вариант
3,7х² - 5х + 1 = 0 5х² - 14х + 17 = 0
48х² — х³ — 9 =0 -7х² - 13х + 8= 0
7х² - 13= 0 х² - х = 0
5х² - 9х + 4 = 0 -13 х³ — 9 =0
-х² - 8х + 1 = 0 х² + 25 = 0
Назовите в каждом квадратном уравнении из задания 2 его коэффициенты.
Можно ли, уравнение
1 вариант (х-3)(х-1) = 12 2 вариант х(х-3) = 4
после алгебраических преобразований свести к квадратному уравнению? Напишите полученное квадратное уравнение. Назовите коэффициенты квадратного уравнения.
Назовите степень следующих уравнений: х² - х = 0; х² - 13х + 8= 0
Запишите квадратное уравнение, если известны его коэффициенты:
1вариант 2 вариант
а=2, в=3, с=4 1) а=3, в=-4, с=6
а=-1, в=0, с=0 2) а=-1, в=0, с=9
а=1, в=0, с=0 3) а=-2, в=0, с=0
l l l. 1. Назовите виды квадратных уравнений в зависимости от их полноты.
2. Сформулируйте определение неполного квадратного уравнения.
3. Назовите виды неполных уравнений. По какому принципу вы их разделили?
4. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов (укажите вид).
lV.1. Напишите алгоритм решения неполных квадратных уравнений.
2. Назовите количество корней у каждого вида неполных квадратных уравнений.
Занятие позволит отработать способы решения квадратных уравнений, сформировать навыки решения квадратных уравнений по формуле, с помощью теоремы Виета.
Описание разработки
Цели урока:
- отработка способов решения квадратных уравнений;
- формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле, с помощью теоремы Виета.
- развитие логического мышления, памяти, внимания;
- развитие общеучебных умений, умения сравнивать и обобщать.
- воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
- умение слушать и слышать других, умение вести диалог.
Ход урока.
1. Организационное начало.
На доске: х²-8х+12=0
Что вы видите на доске?
Что значит решить это уравнение? Как можно его решить? – Перечисляют (выделением квадрата двучлена, с помощью Д и Д1, с помощью теоремы Виета)
Мы уже столько знаем о квадратных уравнениях, так давайте сформулируем тему и цель нашего урока, – закрепить и повторить решение квадратных уравнений
2. Постановка целей и задач.
Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов.
В класс вошел – не хмурь лица,
Будь разумным до конца.
Не ломайся, не смущайся.Всем законам подчиняйся.
А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свой успех в бланках. Желаю всем удачи.
3. Актуализация знаний учащихся.
Приступим к работе. Давайте вернемся к уравнению на доске, что еще вы можете сказать о нем? – оно полное и приведенное, т.к. а=1
Решение уравнений (на доске): по теореме Виета, разложение на множители, по формулам Д, Д1
Какое название имеет уравнение второй степени?
От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д больше 0?если равен 0?если меньше 0? Равенство с переменной? Что значит решить уравнение? Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 1? Есть у любого растения, и может быть у уравнения?
4. Закрепление изученного материала.
Из предложенных уравнений выберите:
1) квадратные уравнения
2) неполные квадратные уравнения
3) приведенные квадратные уравнения
Весь материал - в документе.
Содержимое разработки
Учитель: Бородина Наталья Олеговна
Тема урока: "Решение квадратных уравнений"
Тип урока: обобщение и систематизация изученного материала.
отработка способов решения квадратных уравнений;
формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле, с помощью теоремы Виета.
развитие логического мышления, памяти, внимания;
развитие общеучебных умений, умения сравнивать и обобщать.
воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
умение слушать и слышать других, умение вести диалог.
Мотивация: Решать квадратные уравнения различных видов для систематизации и обобщения знаний по базовому уровню.
Оборудование и материалы:
Презентация по теме “Квадратные уравнения”.
Форма организации познавательной деятельности:
фронтальная, индивидуальная, групповая.
1. Организационное начало.
На доске: х²-8х+12=0
Что вы видите на доске?
Что значит решить это уравнение? Как можно его решить? – Перечисляют(выделением квадрата двучлена, с помощью Д и Д1, с помощью теоремы Виета)
Мы уже столько знаем о квадратных уравнениях, так давайте сформулируем тему и цель нашего урока, – закрепить и повторить решение квадратных уравнений
2.Постановка целей и задач.
Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов.
В класс вошел – не хмурь лица,
Будь разумным до конца.
Не ломайся, не смущайся. Всем законам подчиняйся.
А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свой успех в бланках. Желаю всем удачи.
3.Актуализация знаний учащихся.
Приступим к работе. Давайте вернемся к уравнению на доске, что еще вы можете сказать о нем? – оно полное и приведенное, т.к. а=1
Решение уравнений (на доске): по теореме Виета, разложение на множители, по формулам Д, Д1
Какое название имеет уравнение второй степени?
От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д больше 0?если равен 0?если меньше 0? Равенство с переменной? Что значит решить уравнение? Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 1? Есть у любого растения, и может быть у уравнения?
4.Закрепление изученного материала.
Читайте также: