Конспект применение производной математики

Обновлено: 06.07.2024

Развивающая. Развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления, развитие монологической речи, развитие навыка работы в группе, умение работать в проблемной ситуации; развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательная. Формирование у учащихся ответственного отношения к учению; умение работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; развитие устойчивого интереса к математике; создание положительной внутренней мотивации к изучению математики .

Закрепить умение применять производную для решения различных задач.
Научить защищать выполненную работу.
Научить работать в группе.

Оборудование:

Этапы урока:

Организационный момент (Целеполагание и мотивация).

Актуализация опорных знаний.

Самостоятельная работа в группах

Защита выполненных работ.

Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения).

«Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была, которая

когда-нибудь не окажется применимой

I. Организационный момент

Ребята, отгадайте ключевое слово урока

1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

3) Бывает первой, второй,… ;

4) Обозначается штрихом.

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? ( Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные формулы и правила дифференцирования,узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике, химии, физике, биологии, географии, экономике.

Объявление плана урока

Экскурс в историю

Вводное слово учителя.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи , рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.

Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработалитеорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июня 1646 в городе Лейпциг. Его отец-юрист и профессор философии, умер, когда Лейбницу было 6 лет.

Сначала Лейбниц интересовался только философией. В 1666 году получил звание доктора юридических наук. Первые его математические труды были написаны в 1668 и 1671 годах. Математическое образование Лейбниц получил в Париже и Лондоне. В Париже Лейбниц сделал счетную машину. Создание дифференциального и интегрального исчисления является достижением всей его жизни. Он открыл геометрический смысл производной. Лейбниц пришел к открытию производной при решении вопроса о нахождении касательной к кривой.

Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.

Умер 14 ноября 1716 в Ганновере.

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Исаака Ньютона (1643-1727).

Исаак Ньютон родился в семье бедного фермера в городе Вулсторп. После окончания школы он поступил в Тринити Колледж. Там он получил степень магистра (1668). Затем Ньютон возглавил кафедру математики и физики в Кембриджском университете, которой руководил 32 года.

Ньютон первый создал основы дифференциального и интегрального исчислений, создал основы теории всемирного тяготения, новую теорию света и цветов.

В его трудах по математике приведено решение таких вопросов, как нахождение экстремумов функций, точек перегиба, уравнений касательных и приведены методы решения простейших дифференциальных уравнений.

В 1690 году Ньютон был избран членом Академии Наук в Париже. Интересно, что Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

Великий ученый умер в 1727 году.

Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли: Гийом Франсуа Лопиталь (1661 г. - 1704 г.) - Франция, Даниил Бернулли (1700 г. - 1782г.) - Швейцария, Жозеф Луи Лагранж (1736 г. - 1813 г.) - Франция, Леонард Эйлер (1707г. - 1783г.) - Швейцария, Карл Фридрих Гаусс (1816г. - 1855 г.) - Германия.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Актуализация опорных знаний

Работа с классом

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

Стихотворение о производной

В данной функции от икс, нареченной игреком, Вы фиксируете x , отмечая индексом. Придаёте вы ему тотчас приращение,

Тем у функции самой, вызвав изменение. Приращений тех теперь взявши отношение, Пробуждаете к нулю у стремление. Предел такого отношения вычисляется,

Он производную в науке называется.

Ответим на следующие вопросы:

Сформулировать понятие производной функции?

Ответ : Производной функции y = f(x) в данной точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда Как называется математическая операция нахождения производной функции?

Ответ: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

В чем заключается геометрический смысл производной функции?

Ответ: Значение производной функции А уравнение касательной к функции Открыл геометрический смысл производной в 17-м в. Г. Ф. Лейбниц.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция возрастает?

Ответ: Если функция возрастает, то f ′(x)>0 на этом интервале.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция убывает?

Ответ: если функция убывает, то f ′(x) на этом интервале.

В чем состоит физический (механический) смысл производной функции?

Ответ : Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t: v (t)= s‘(t) и а(t) = v’(t).

Открыл механический смысл производной И. Ньютона.

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете.

Учитель просит сформулировать правила нахождения производной.

Учащиеся называют основные правила нахождения производных.

Должны прозвучать ответы:

1. Производная суммы (u+v)'= u' + v' ;
2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu' ;
3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv';
4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv')/v 2 ;
5. Производная сложной функции

Учитель просит вспомнить таблицу производных элементарных функций.

Должны быть записаны следующие формулы:

( ( = - Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом – производной.

Решение заданий на вычисление производной.

Найдите производную функции. Запишите ключевое слово в ответе.

Найдите производную функции:

у = х 5 + 3х 4 -2х – 5

И 1 + Р 3 x

Ю С 1 - Я 5х 4 +12х 3 - 2

Н Л x 3

Тест написан, лист с ответами сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал тест без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, так и по физике, химии, географии, биологии, экономике и другим наукам.

Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике и физике.

Давайте вспомним основные направления применения производной.

Самостоятельная работа в группах

Работа в группах

Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие группы, у каждой из них есть своя тема:

1-я группа исследует геометрический смысл производной;

2-я группа – уравнение касательной к графику функции;

3-я группа – применение производной к исследованию функции;

4-я группа исследует физический смысл производной.

А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям) темам. (Карточки-задания на столах).

Защита выполненных заданий

Слово предоставляем исследователям. (Все группы выступают по своим темам).

Задание 1-й группе.

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x 2 + 4x в точке х 0 =1.

Решение: f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: 2.

2) Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x 2 + 8x – 3 в точке х 0= -3

Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.

Задание 2-й группе.

1) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = 3 – 2х в точке М (3;3).

Решение: Уравнение касательной f ′(x) = х 2 - 2

Ответ: у = 7х – 18.

2) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x 2 - 4x + 7 в точке графика с абсциссой х 0 = 1 .

Решение: Уравнение касательной у 0 = 1 2 - 4∙1 + 7 = 4

f ′(x 0 ) = 2∙1 – 4 = - 2

Ответ: y = - 2x + 6.

Задание 3-й группе.

Найдите критические точки функции f(x) = x 3 + 6x 2 .

Решение: f ′(x) = 3х 2 + 12х

f ′(x) = 0 ; 3х 2 + 12х = 0 ; 3х(х + 4) = 0 ; х 1 = 0 ; х 2 = - 4.

Докажите, что функция f(x) = 5x – 12 является возрастающей на всей области определения.

Решение: D f =R ; f ′(x) = 5>0. Функция возрастает.

Докажите, что функция f(x) = - 7x + 11 является убывающей на всей области определения.

Решение: D f =R ; f ′(x) = - 7 Функция убывает.

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

Задание 4-й группе.

Задача. Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t 2 , ( s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Решение: Т.к. скорость есть первая производная от перемещения по времени, то S’(t) = 30 – 10t, т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10t; 10t=30;t=3 (сек). Тормозной путь S(t) = 30t - 5t 2 =30∙3-5∙3 2 =90-45=45(м).
Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м.

2) Задача. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t 2 + 2t 3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды?

S = S(t); Скорость V = S′(t) = x′(t); ускорение а = V′(t) = х″(t).

V(t) = x′(t) = -6t + 6t 2 ; V(2) = -6∙2 + 6∙4 = 12 ( м / с );

Ответ: V = 12 м/с; а = 18м/с 2 .

Итог урока (рефлексия результативности, настроения)

Подведение итогов занятия

- Каким вопросам был посвящен урок?

- Чему научились на уроке?

- Какие теоретические факты обобщались на уроке?

Сегодня на уроке получили следующие оценки: (называю учащихся и оценки).

Задание на дом: § 15, № 208, § 19, 21.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.

- Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

- Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? – Если – да, то как?

Перед вами карточки.

Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то выбираете карточку № 1.

Если осталось что-то неясно, однако, вы научились вычислять производную, то выбираете карточку № 3.

Если вам урок не понравился и вы для себя ничего нового не узнали, то выбираете карточку № 2.

- Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока.

Я же довольна сегодняшним уроком, потому что организовала вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать практические задания.

Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю карточку № 1).

- А какое настроение у вас?

В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“ Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн .

“ Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике” Аристотель

- Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении практических задач.

- Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей жизни.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Нахождение стационарных точек и промежутков монотонности.

Экстремумы функции и значения в них

Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции

Исследование и построение графиков функций.

Схема исследования функции, метод построения графика чётной (нечётной) функции

Нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале Основные сведения из теории

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума т. max функции f (х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (х) ≤ f (х₀)

Другими словами: т. max – точка, выше которой график не поднимается (в примере: х=4 –т. max )

Определение: Точка х₀ называется точкой минимума т. min функции f (х) если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (х) ≥ f (х₀)

Другими словами: т. min – точка, ниже которой график не опускается (в примере: х=-1 –т. min )

Определение: Точки минимума т. min и точки максимума т. max называются точками экстремума функции.

Теорема Ферма: Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ – точка экстремума функции f (х), то f ′(х₀)=0.

Другими словами: Необходимое условие существования точек экстремума: f ′(х₀)=0

Алгоритм нахождения точек экстремума функции (т. max , т. min ) :

1) Найти интервалы возрастания и убывания функции:

Найти производную функции f ′(х);
Найти стационарные точки (точки, в которых производная f (х) равна нулю), т.е. решить уравнение f ′(х)=0;
Отметить эти точки на числовой оси, указать промежутки;
Выявить знаки производной f ′(х) на каждом из полученных промежутков (подставить любое число из проверяемого промежутка в производную и узнать знак);
Записать ответ.

2) По схеме определить точки максимума и точки минимума.

7.2.Исследование функции с помощью производной

1. Найти область применения функции;

2. Найти производную функции f ′(х);

3. Найти стационарные точки;

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции;

5. Определить точки экстремума (т. max , т. min );

6. Найти значение функции в стационарных точках;

7. Заполнить таблицу;

8. Построить график.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а;в]

1) Найти значение функции на концах отрезка, т.е. f (а), f (в);

2) Найти производную функции f ′(х);

3) Найти стационарные точки ( f ′(х) =0)

4) Проверить входят ли стационарные точки в отрезок [а;в];

5) Найти значение функции в стационарных точках;

6) Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Найти точки экстремума функции:

f (х) = х 3 +6х 2 +4

1) f ′(х) = (х 3 +6х 2 +4) = (х 3 )′+(6х 2 )′+(4)′= 3х 2 +6∙2х+0=3х 2 +12х

2) f ′(х)=0 3х 2 +12х=0

х=

х=-4

3) f ′(х) + - +

f (х)

4) На интервале (-∞;-4) возьмём число -5, подставим в производную f ′(х):

На интервале (-4;0) возьмём число -1, подставим в производную f ′(х):

На интервале (0;∞) возьмём число 1, подставим в производную f ′(х):

5) На схеме определяем, что х=-4 т. max , х=0 – т. min

Ответ: х=-4 т. max , х=0 – т. min

Пример 2: Исследовать функцию и построить график

1) Область применения: любое х;

2) f ′(х) = (6х 2 )′-(2х 3 )′=6∙2х-2∙3х 2 =12х-6х 2

3) f ′(х) =0 12х-6х 2 =0

х= , х=2

Представлена разработка урока-соревнования для обучающихся 1 курса колледжа по специальности "Машинист локомотива".

Истинное сокровище для людей – умение трудиться!

обобщение изученного материала по теме,

формирование умений применять математические задания к решению практических задач,

развитие познавательной активности, творческих способностей, воспитание интереса к предмету,

Задачи урока:

развитие познавательной самостоятельности на основе личностно -ориентированного подхода к студентам;

формирование коммуникативной компетентности через нестандартную форму урока.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Урок проводится в виде игры –соревнования.

Правила игры:

группа делится на две команды;

выбираются капитаны команд;

капитаны назначают консультантов;

для участия во всех видах работы студенты вызываются к доске капитанами команд;

правильные ответы оцениваются баллами, дается жетон.

Оборудование:

карточки с заданиями;

Организационный момент: постановка целей и задачей урока.

1 этап: Разминка (устно)

Найти ошибку. За каждый правильный ответ дается 1 балл.

у=

у ' =

у ' =2

у-

у ' =

у=

у'= ctg

у=

у'=

Тип урока: Закрепление и совершенствование знаний по математике и физике.

Цели урока: Закрепление понятия физического смысла производной, рассмотрение использования механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом.

Организационная информация

Применение производной в математике и физике.

Физика и математика

Автор урока (ФИО, должность)

Жукова Елена Владимировна, учитель физики,

Матвейчук Лидия Николаевна, учитель математики

Республика Карелия, г. Олонец

Методическая информация

Закрепление и совершенствование знаний по математике и физике.

Закрепить понятие физического смысла производной, рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом.

дать понятие о возможностях применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира;

показать широкий спектр приложений производной;

расширить знания учащихся о производной первого и второго порядка, используя ее физический смысл;

развивать логическое мышление при установлении связи физических величин с понятием производной;

развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий;

развивать навыки самостоятельной работы, работы с компьютером, тестам.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

В ходе урока учащиеся повторяют определение производной, а затем формулы – производная линейной функции, производная степенной функции, производные тригонометрических функций – синуса и косинуса, производную сложной функции и производную произведения, повторяют геометрический смысл производной, а также физический смысл производной первого и второго порядка.

Применение элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира осуществляется при решении задач различного плана: на равноускоренное движение, на нахождение работы, ЭДС индукции и самоиндукции и другое.

Необходимое оборудование и материалы

Компьютер, экран, мультимедиа, раздаточный материал в виде тестов.

Подробный конспект урока

Практическое применение производной.

Ход и содержание урока

Организационный момент

Учитель математики формулирует тему и цели урока (Слайд 1, 2).

Ученики записывают число и тему урока в тетрадях.

Повторение определения производной и её геометрического и физического смысла

1) Сформулируйте определение производной.

На экране появляется запись определения и формула:

f ′ ( x )= (слайд 3).

2). На экране появляется слайд, содержащий информацию о происхождении терминологии и условных обозначениях, принятых в математике и физике для обозначения производной (слайд 4).

3). Учитель предлагает учащимся вспомнить формулы – производная линейной функции, производная степенной функции, производные тригонометрических функций – синуса и косинуса, производную сложной функции и производную произведения. Эти формулы появляются на экране (слайд 5).

Устная работа.

4). Устно решить следующие задания:

найти производную функций

1). Х 2 + 4Х 2). Х/3 – sinX

3). X 8 /4 + LnX 4). 5X -3 - 1/X

5). - 6X 4 + π 6). X sinX

7). X 2 cosX 8). СOS 2 (3X+4)

5) В чем заключается геометрический смысл производной? (слайд 6).

5). Повторение физического смысла производной первого и второго порядка (слайд 7).

Решение задач по механике. (Решают с учителем физики).

Учащимся предлагается решить 4 задачи по механике в тетради и сравнить полученный ими ответ и решение с предложенным решением на следующих слайдах.

Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону х(t)=3t 2 --7t + 6, где t - время движения в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 6c (слайд 9).

При движении тела по прямой его скорость V меняется по закону V ( t ) = t 5 /5 - t 3 + + t + 1 , где t - время движения в секундах. Найдите ускорение (м/с 2 ) через 2 секунды после начала движения (слайд 10).

Найдите силу F , действующую на тело массой m, движущегося прямолинейно по закону х( t ) = 2t 3 – t 2 , где t - время движения в секундах, при t = 2с (слайд 11).

Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х = (5t 3 - 4t + 8), где t – время в секундах. Масса точки равна 3 кг. Определите значение кинетической энергии тела через 1 с после начала движения (слайд 12).

Следующую задачу учащиеся решают на доске и в тетради:

Проекция скорости материальной точки вдоль оси ОХ изменяется по закону Vx= 2t. Какую работу совершает сила, действующая на эту точку за 5 секунд, если ее масса равна 2 кг (слайд 13).

Механическая работа находится по формуле: А=FScosα

Силу находим в соответствии со вторым законом Ньютона, по формуле F = ma. Ускорение – производная функции Vx = 2t., путь S – ее первообразная. Подставив числовые значения из данных задачи, получаем ответ 100 Дж.

Решение задач для закрепления физического смысла производной. (Решают с учителем математики).

Лампа подвешена на высоте 12 метров над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин.? (слайд 14).

На рисунке: ОА – высота, на которой находится лампа, MN – рост человека, МР – длина тени (Зависит от времени t).

Пусть t – время движения человека, выраженное в минутах. Тогда 50t метров – длина отрезка ОМ (это расстояние, на которое удаляется человек от лампы). Рассмотрим треугольники OАP и MNP. Они прямоугольные, подобные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон OА/MN = OP/PM. Подставив в пропорцию данные, получаем 12/1,8 = (50t+PM)/PM. Решая пропорцию, находим длину тени РМ. РМ = 150t/17, метров. Закон изменения, т.е. скорость удлинения тени V = 150/17, м/мин.

Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого V(t) = 3t 2 - 6t, второго V(t) = 10t + 20. В какой момент времени и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.) (слайд 15).

Пройденный путь есть первообразная скорости. Значит, S₁(t) = t 3 - 3t 2 , S₂(t) = 5t 2 + 20t. По условию задачи известно, что S₁= S₂. Решаем уравнение t 3 - 3t 2 = 5t 2 + 20t. Корнями уравнения являются числа 0, -2 и 10. Т.к. t ≥ 0, то t = 10 секунд. Следовательно, S₍₁₀₎₌700 метров.

Ответ: через 10 секунд, 700 метров.

Решение задач по электромагнетизму. (Решают с учителем физики).

Величина вектора индукции однородного магнитного поля меняется по закону В = (0,15+0,1t) Тл, где t- время в секундах. Найти в милливольтах ЭДС индукции в круговом контуре площадью 0,05м 2 , расположенном в данном поле перпендикулярно к линиям индукции. (слайд 17).

Для нахождения ЭДС индукции производную вектора магнитной индукции надо умножить на площадь контура: 0,1*0,05 - 0,005 В = 5мВ.

Поток магнитной индукции через проводящий контур меняется по закону Ф = (2 + 0,05t) Вб. Чему равна величина силы индукционного тока в контуре, если его сопротивление 2,5 Ом? (слайд 18).

Для нахождения силы индукционного тока в контуре надо, в соответствии с законом Ома, величину ЭДС индукции разделить на сопротивление контура. Величина ЭДС индукции – производная магнитного потока по времени и численно равна 0,05 В. Следовательно, сила индукционного тока равна 0,02А.

В результате деформации катушки ее индуктивность уменьшается по закону L= (0,1 - 0,004t) Гн, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если по катушке течет постоянный ток 70А. (слайд 19).

ЭДС самоиндукции находится по формуле: ЭДС_is = (LI)′. Так как дан закон изменения индуктивности, а сила тока в цепи не меняется, то ЭДС_is = L′I. Находим производную закона изменения индуктивности, умножаем на значение силы тока 70А и получаем ЭДС_is = (0,1 - 0,004t)′ * 70 = 0,28В.

Следующую задачу учащиеся решают на доске и в тетради:

На рисунке показана зависимость от времени силы тока в катушке индуктивностью L=20 мГн. Определите абсолютную величину ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке в момент времени t=2,5 секунды. (слайд 20).

По графику определяем, что зависимость I(t) имеет вид I = αt 2 , где коэффициент α = 0,1 А/c 2 . С помощью производной определяем абсолютную величину ЭДС самоиндукции: ЭДС_is = LI′=L*2αt. Вычислим ЭДС_is в момент времени t = 2,5с.

ЭДС_is = 20*10 -3 *2*0,1*2,5 = 0,01В.

Самостоятельная работа

(тест по вариантам из материалов ЕГЭ по физике и математике разных лет).

Тело движется прямолинейно в соответствии с законом X(t) = 2t 3 - 3t, м. Определить значение скорости тела через 2 секунды после начала торможения.

а) 0м/c б) 3,5м/с в) 10 м/с

Уравнение координаты материальной точки имеет вид:

Х = 24 + 10t - t 2 .

Определите время торможения тела.

а) 2c б) 5с в) 0,5с

Под действием силы 150Н тело движется так, что его координата в направлении действия силы изменяется по закону Х = 100 + 5t + 0,5t 2 . Какова масса тела?

а) 12кг б)150г в)0,3кг

Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х=(5t 3 - 4t + 8) м, где t- время в секундах. Масса точки равна 2кг. Определите значение ее кинетической энергии через 1с после начала движения.

а) 900Дж б) 11Дж в) 30Дж

В результате изменения сопротивления цепи при помощи реостата сила тока уменьшается по закону I = (300 - 50t) А, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если индуктивность катушки в цепи составляет 0,04Гн.

а) 0,2В б) 12В в) 2В г) 10В

На рисунке изображены графики зависимости магнитного потока, пронизывающего контур, от времени. Укажите случай, когда ЭДС индукции постоянна.

Тело движется по плоскости, при этом его координаты от времени (в системе СИ) зависят следующим образом: Х(t)=2t 2 +6, y(t)=-1,5t 2 -6. Ускорение тела равно

а) 0м/c 2 б) 3,5м/с 2 в) 0,5м/с 2

Найдите скорость точки, движущейся по закону X(t) = t 2 + 2t + 3, (м) через 3 секунды после начала движения.

а) 2м/c б) 18м/с в) 8 м/с

Уравнение координаты тела имеет вид X = 15 + 3t - 0,5t 2 (величины измерены в системе СИ). Сколько секунд затратило тело на торможение?

а) 3с б) 1с в) 2,5с

На тело массой 300г, движущееся вдоль оси ОХ в соответствии с законом Х(t) = -2t 2 + 5, действует сила, модуль которой равен

а) 0,6Н б) 1,2Н в) 1,5Н

Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х = (2t 3 - 4t + 12) м, где t- время в секундах. Масса точки 2кг. Определите значение ее кинетической энергии через 2с после начала движения.

а) 200Дж б) 20Дж в) 400Дж

В результате деформации катушки ее индуктивность уменьшается по закону L= (0,15 - 0,005t) Гн, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если по катушке течет постоянный ток 70А.

а) 3,5В б) 0,05В в) 1,5В

На рисунке изображены графики зависимости магнитного потока, пронизывающего контур, от времени. Укажите случай, когда ЭДС индукции равна нулю.

а) 0м/c 2 б) 3,5м/с 2 в) 0,5м/с 2 г) 5,0м/с 2 .

Проверка и оценивание ЗУНКов

Учащимся в ходе урока предлагается решить задачи по механике и электродинамике в тетради и сравнить решение и полученный ими ответ с предложенным решением на слайдах презентации.

Рефлексия деятельности на уроке

Дополнительная необходимая информация

В помощь учителю

Использованные источники и литература (если имеются)

Используемая литература.

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить

Учащиеся в ходе урока решают задачи в тетради и сравнивают решение и полученный ими ответ с предложенным решением на слайдах презентации. Кроме этого, они после решения заданий теста самостоятельно проверяют его с помощью слайдов презентации. Все это помогает осуществить обратную связь на уроке.

Читайте также: