Конспект по теории вероятности для егэ
Обновлено: 06.07.2024
1. Начнём с теоретической части. В задании №2 используется основная формула вероятности случайного события. Но она может пригодиться и в задании №10. Вот как она выглядит:
Проще говоря, если все исходы какого-либо эксперимента равновозможны, то вероятность события в этом эксперименте равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных., то есть m - число благоприятных исходов, n - число всех равновозможных исходов. P(a)
Благоприятные исходы - исходы, при которых происходит некоторое событие.
Какие события называются независимыми?
Рассмотрим пример:
Пусть в одной коробке находится 10 деталей, из которых 3 бракованные, а в другой - 16 деталей, из которых 4 бракованные. Из каждой коробки вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
Пусть событие А - из первой коробки вынимают бракованную деталь;
Событие В - из второй коробки вынимают бракованную деталь.
Очевидно,что события А и В являются независимыми.
Вероятность того, что достанут бракованную деталь из первой коробки равна: P(A)=3/10, а из второй - P(B)=4/16.
По условию задачи нам нужно найти вероятность совместного наступления событий A и B, применяя теорему P(AB)=P(A)*P(B), получим
Ответ: вероятность того, что обе детали окажутся бракованными равна 0,075.
3. Как различить совместные события от несовместных?
Совместные события – это те, которые могут происходить одновременно . Например,
События А и В совместны, А и С совместны (попарно совместны) и также все три события могут наступить одновременно.
Данные события совместны, т.к. можно извлечь карту – червовый король.
Мы можем сказать, что извлечена карта король и карта червовой масти.
Несовместные события – это те, которые не могут происходить одновременно . Например,
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Опорный конспект по теории вероятности при подготовке к ЕГЭ
Определение
Никогда не произойдет при данном испытании =0
Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет 7 очков?
Пусть А- событие выпадения 7 очков, =0
Обязательно произойдет при данном испытании =1
Какова вероятность того, что при бросании игральной кости она не останется в воздухе, а упадёт?
Пусть А- событие того, что при бросании кость упадет, = 1
При заданных условиях может произойти или не произойти ‹ 1 = , n - число всех исходов, m -число исходов, благоприятствующих событию A .
Из 20 билетов по биологии 3 содержат вопросы о грибах. Какова вероятность, что в случайно выбранном билете достанется вопрос о грибах?
Пусть А- событие выбора вопроса о грибах, тогда =
Ни одно из событий не является более возможным, чем другое
А и В –равновозможные события, =
А- событие появление герба при бросании монеты,
В- событие появления решки при бросании монеты = =
Появление одного из событий исключает появление другого
При бросании одной игральной кости выпадет одновременно и "5" и "6"
Появление одного из событий не исключает появление другого
А- выпадение нечетного числа очков при бросании игральной кости,
В- выпадение числа очков, кратных трем.
Когда выпадает три, реализуются оба события.
Наступление одного из событий изменяет вероятность наступления другого
При вытягивании экзаменационных билетов вероятность вытащить самый простой билет (№1) вторым студентом зависит от результата предыдущего студента.
Наступление одного из событий не изменяет вероятность наступления другого
При одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них 1 очка, а на втором 5очков – независимые события.
В условиях, являясь единственными его исходами, являются несовместными
Ᾱ- событие, противоположное событию А, + = 1.
· D — из колоды карт будет извлечена дама, D̅ — из колоды карт будет извлечена не дама.
Теоремы о вероятностях событий
независимые
совместные
несовместные
Р(В/А)-вероятность события А, если событие В произошло
В одном ящике 8 красных и 2 белых шара, в другом- 4 красных и 5 белых шаров. Из каждого ящика наугад достают по одному шару. Найти вероятность, что оба шара будут белыми.
А-событие того, что из первого ящика достали белый шар.
В- событие того, что из второго ящика достали белый шар.
Аи В- независимые события. Значит Р(А) = , Р(В) = Р(А·В)=Р(А) · Р(В)= ·
В ящике перемешаны 8 красных и 4 белых шара. Из ящика наугад достают 2 шара. Найти вероятность, что оба шара будут белыми.
А-событие того, что первый шар достали белый .
В- событие того, что второй шар достали белый .
Аи В- зависимые события. Значит Р(А) = , Р(В/А) =
Бросают игральный кубик. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков или число очков, кратное четырем.
А-событие , что выпадает четное число очков.
В- событие того, что выпадает число очков, кратное четырем.
Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет 2 очка или 3 очка.
А-событие, что выпадает 2 очка.
В- событие, что выпадет 3 очка.
События несовместные, т.к. выпадение 2 очков исключает выпадение или 3 очков. Значит
Краткое описание документа:
Опорный конспект позволяет систематизировать материал всего раздела по теории вероятности основной и старшей школы. В одной странице конспекта уместились все виды событий, основные теоремы, используемые при решении задач открытого банка заданий ФИПИ. Ко всем понятиям и теоремам приведены примеры.
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam
- Курс добавлен 31.01.2022
- Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Дистанционные курсы для педагогов
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 608 486 материалов в базе
Материал подходит для УМК
Глава XII. Элементы теории вероятностей
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 12.09.2021 710
- DOCX 35.8 кбайт
- 40 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Вагнер Оксана Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие
Время чтения: 15 минут
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Время чтения: 2 минуты
Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии
Время чтения: 3 минуты
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете яблок, из них — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .
В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .
Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: из России, из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая — спортсменок). Ответ: .
Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
— нечетные числа; — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода:
| орел | орел |
| орел | решка |
| решка | орел |
| решка | решка |
Три монеты? Правильно, исходов, так как .
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего возможных исходов, так как .
А теперь — благоприятные исходы:
Вероятность выпадения восьми очков равна .
Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .
Вероятность: логика перебора.
В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях и — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:
Всего возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна .
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.
– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет. Очевидно,
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.
Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.
Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.
Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .
Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% - не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.
Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% - не высшей.
Пусть случайно выбранное в магазине яйцо - из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:
Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна
Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.
Мы получили уравнение:
Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).
Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:
Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.
Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.
Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.
Развивающая – способствовать развитию логического мышления, внимания, умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач
Воспитательная – воспитывать сознательное отношение к подготовке к ЕГЭ, повышение интереса к математике, умения работать в группе, навыки самооценки и умения оценивать деятельность других
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Методы: обучения – диалогический (беседа, фронтальная работа, самостоятельная работа)
Учения – репродуктивный, частично-поисковый
Технологии: обучение в сотрудничестве (групповая), информационные, игровые, деятельностного подхода, технологии исследовательской деятельности.
Формы работы на уроке: групповая, коллективная; устная, письменная.
Оборудование: карточки, задания на листочках, компьютер, проектор
2. Актуализация знаний учащихся-8 мин.
3. Закрепление изученного материала-15 мин
4. Физкультминутка - 2 мин
5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин
6. Подведение итогов урока- 2 мин.
7. Домашнее задание-1 мин.
Организационный момент.
Психологический настрой “Все в твоих руках”.
“Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее мертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”.
От того на сколько плодотворно и успешно пройдет наш урок все в ваших руках. Запишите классная работа. (Слайд 1)
Перед вами слова из которых попробуйте сформулировать тему урока: ВЕРОЯТНОСТЬ, ЗАДЧИ, ТЕОРИЯ, ЕГЭ (Слайд 2)
- систематизировать знания и умения по теории вероятностей
- отработать навыки решения основных типов задач на ЕГЭ
Сегодняшний урок мы проведем в форме работы группами. До начала работы я вас просила определиться с лидером группы, который будет назначать отвечающего на поставленный вопрос или задачу. За каждое правильно выполненное группой задание вы получаете 1 ум. Отвечает первой та группа, которая вперед выполнила задание. Если отвечают неправильно, то у соперников есть шанс ответить.
Актуализация опорных знаний
Начнем с повторения теории. Каждой группе необходимо
объяснить смысл терминов
1 группа: достоверное, невозможное, случайное события
2 группа: противоположные, независимые события
3 группа: несовместные, совместные события
Составление схемы на доске
Повторим как вычислить вероятность.
Вопросы группам: 1) дайте определение вероятности (Слайд 4)
2) чему равна вероятность невозможного события
3) достоверного события
4) как найти вероятность противоположного события
5) что называется суммой событий (Слайд 5)
6) что называется произведением событий (Слайд 5)
7) как будем находить вероятность несовместных, совместных и независимых событий
- Два события называются несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.
Например, выигрыш, ничейный исход, и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. Вероятность суммы двух несовместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме вероятностей.
- События называются совместными, если они могут происходить одновременно.
Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает возможность появления решки на другой. Вероятность суммы двух совместных событий (появления хотя бы одного) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.
- Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
- Два события являются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.
Закрепление изученного материала
Задания на карточках: определите о каких событиях идет речь в задачах и вычислите вероятность.
1.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.
Решение: N(A) = 80, N= 80+8=88, P(A) = 80/88 = 0,91 (Слайд 6)
3.Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четыре выстрела подряд.
Попадание в цель при каждом последующем выстреле – независимое от предыдущего исхода событие.
Вероятность р = 0,9*0,9*0,9*0,9 = 0,6561 (Слайд 8)
4.В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Задачи для коллективного решения:
5. С первого станка поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной. (Слайд 10)
Решение: Р = 0,4*0,01+0,3*0,03+0,3*0,05 = 0,028
6. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. (Слайд 11)
Решение: 0,4х + 0,2(1 – х) = 0,35 х = 0,75
7. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным
Решение: 0,05∙ 0,9 + 0,95 ∙ 0,01 = 0.0545 (Слайд 12)
Физкультминутка
Предложить уч-ся пересесть на другие места. Сколько всего существует способов рассаживания без повторения.
Сколько всего существует способов рассаживания без повторения, если капитан остается на своем месте.
8. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение: р = 0,94 - 0, 56 = 0,38 (Слайд 13)
9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 16 июня, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 19 июня в Волшебной стране будет отличная погода (Слайд 14)
Решение: р = 0,7∙0,7∙0,3 + 0,7∙0,3∙0,7 + 0,3∙0,3∙0,3 + 0,3∙0,7∙0,7 = 0,468
Самостоятельная работа в группах
1. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года. (0,12)
2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение. Рассмотрим два события:
– гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает у гроссмейстера Б.;
– гроссмейстер А. играет черными и выигрывает у гроссмейстера Б.
Так как гроссмейстеры играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур, то будет происходить и событие и событие , которые независимы друг от друга. Таким образом, искомая вероятность того, что А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей событий и :
.
3. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов— первые три дня по 12докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции? (0,14)
4. Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6; второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним из студентов.
Решение. Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу) независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле Вероятность события АB (оба студента дочитали книгу):
P (AB) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,8 = 0,48.
Тогда P (A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.
Подведение итогов урока (Слайд 16)
Выставление оценок за урок.
Подведите итог урока, составив синквейн
Синквейн – это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:
1 строка – одно существительное, выражающее главную тему синквейн.
2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.
3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.
4 строка – фраза, несущая определенный смысл.
5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).
Задание на дом (Слайд 17)
Выполнить задания на карточках
1.В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?
Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек.
Р(А) = = = 0,25
2.Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит более двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года
3.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
4.Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Читайте также: