Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии конспект

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Открытый урок - мастер класс в 11 информационно-технологическом профильном классе по теме:

«Векторно-координатный метод решения задач

1) рассмотреть векторно-координатный метод с применением скалярного произведения векторов для решения задач на нахождение углов

2) показать преимущество этого метода по сравнению с традиционными методами;

3) показать эффективность использования этого метода на экзамене.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация, 13 нетбуков.

Ход урока: Класс разделен на 4 разноуровневые группы обучающихся.

У учащихся на нетбуках презентация по теме для использования при

Учитель: При подготовке к ЕГЭ по математике, задача С ₂ вызывает у учащихся много вопросов. Сегодня мы хотим показать, что использование векторно-координатного метода решения задач такого типа упрощает решение, дает возможность по новому взглянуть на возможность решить эти задачи на экзамене.

1 группа : Задания по теории: угол между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. Способы введения системы координат в кубе, треугольной призме, четырехугольной пирамиде, координаты точек.

Определение 1: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.

Определение2: Если прямая a пересекает плоскость α и не перпендикулярна плоскости α, то углом между прямой и плоскостью α называется угол между прямой a и ее проекцией на плоскость α.

Из определения угла ϕ между прямой и плоскостью следует, что 0 º ≤ ϕ ≤ 90 º. Но угол между векторами может принимать значения от 0 º до 180 º. Поэтому возможны два случая:

1) 0

( )= + ϕ; + ϕ = -

Определение 3: Углом между плоскостями называется угол между прямыми, по которым плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, пересекает эти плоскости. ( угол ϕ)

Координаты вершин куба в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной равной единице:

А(1;0;0),В(0;0;0) , С(0;1;0),Д(1;1;0),А ₁ (1;0;1),В ₁ (0;0;1), С ₁ (0;1;1), Д ₁ (1;1;1) .

Координаты треугольной призмы в прямоугольной системе координат в

пространстве со стороной равной единице:

А( 0;0;0) , В ( 0; 1; 0), С ( ;0), А ₁ ( 0; 0; 1), В ₁ (0; 1; 1),С ₁ (

Координаты четырехугольной пирамиды в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной основания ,равной единице:

А(1; 0; 0),В(0;0;0), С(0;1;0),Д(1;1;0), S (

Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми векторно-координатным методом:

Угол между скрещивающимися прямыми заменяем углом между направляющими векторами этих прямых , который можно вычислить по теореме о скалярном произведение векторов по формуле:

Cos φ = , где | a * в| – модуль скалярного произведения векторов , а и – длины этих векторов.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью векторно-координатным методом :

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

, где – направляющий вектор прямой, - вектор нормали к плоскости, а и – длины этих векторов.

Вектор нормали к плоскости находим из условия его перпендикулярности двум непараллельным векторам плоскости. Чтобы найти координаты вектора нормали необходимо рассмотреть два скалярных произведения и приравнять их нулю.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями векторно- координатным методом: .

Углом между плоскостями считают угол между векторами нормали к плоскостям , который можно вычислить по формуле

= , где и –векторы нормали к плоскостям, а

– длины этих векторов

В это время учащиеся во 2, 3, 4 группах решают задачи.

2 группа : Задача1.

В правильной треугольной призме АВСА ₁ В ₁ С ₁ все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и В ₁ С.

1) Введем систему координат как на рисунке.

3 группа: Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью А S Д.

1) Введем систему координат как на рисунке.

Координаты ( -1; 1; 0).Найдем координаты вектора нормали ( х; у; z) к плоскости АSД. Для этого выберем в плоскости АSД два непараллельных вектора .

Координаты векторов

х =0, при z =1, х= у =0.И так ,

4 группа: Задача 3.

В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F – середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВДД1.

. Плоскость ВДД ₁ – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости, поэтому – это вектор нормали к плоскости ВДД _1.

А ( 0; 0; 0;), С(1; 1; 0) , тогда = ₁ ( 1; 1; 0).

2) Найдем вектор нормали ₂ (х; у; z) к плоскости АЕF. Выберем в этой плоскости два непараллельных вектора и

3) Определим координаты векторов: А(0; 0; 0) , Е ( ½; 0; 1), F (0; ½; 1).

4) Запишем скалярные произведения ₂ * и ₂ * и приравняем их нулю

1/2х + 0у + z = 0, z = - 1/2х,

0х + ½ у + z = 0; z = - 1/2у, при х = у =1, z = - ½.

И так, вектор нормали ₂ ( 1; 1 ; - ½)

5) Найдем косинус угла между ₁ и _2.

Старшие в группах оформляют решение на доске. Учащиеся обсуждают решение задач, осуществляя взаимопроверку.

2. Самостоятельная работа. Решение задач из сборников ЕГЭ, С2.

3. Подведение итогов урока: И так, мы рассмотрели разнообразные виды задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. За 30 минут решили 3 вида задач, убедились, что векторно – координатный метод позволяет сэкономить время на экзамене.

Презентация на тему: " Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г." — Транскрипт:

1 Использование векторов для доказательства теорем и решения задач 2014 г.

3 Введение. Векторы появились в нашем школьном курсе лишь в начале шестидесятых годов прошлого века. Появились, прежде всего, потому, что к этому времени стали важнейшим математическим аппаратом в электротехнике, радиотехнике, теории оптимального управления и т. д. Многие из доказательств ныне действующих учебников по геометрии являются сложными из-за своей искусственности: непонятно, почему следует делать именно такие выводы, выполнять именно такие дополнительные построения. Однако, если поставить цель свести к минимуму необходимость заучивания, то многие векторные доказательства предпочтительнее традиционных. Векторные доказательства позволяют избежать дополнительных построений или сделать их естественно вытекающими из логики доказательства.

5 Применение векторов для доказательства теорем. Теорема 1. (теорема Пифагора) Если треугольник прямоугольный, то квадрат его гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6 Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. Дано: MН – средняя линия треугольника АВС с основанием ВС(рис.3). Доказать: MH || BC, MH=0,5BC.

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Знание условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии — задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей. Свойства скалярного произведения двух векторов, условия перпендикулярности двух векторов позволяют легко перевести в векторную форму отношения перпендикулярности прямых и плоскостей и с помощью векторов решать метрические задачи — задачи, в которых находят расстояния, углы, площади, объемы геометрических фигур.

Одним словом, векторы — мощный аппарат решения стереометрических задач.

Линейные операции над векторами

Рабочими формулами при векторном способе решения аффинных задач стереометрии являются «формула : для середины М отрезка АВ и произвольной точки О пространства, а также «формула: для центроида М треугольника АВС и произвольной точки О пространства.

Задача 1. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра; отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется его бимедианой. Докажите:

а) что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины;

б) все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

в) точка пересечения бимедиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан.

а) Пусть Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН₁ тетраэдра РАВС в отношении РМ : МН₁ = 3 : 1( рис. 1).

Тогда РМ : РН₁ = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н₁ грани АВС выполняется равенство:

Аналогично можно доказать, что для точек М₁, М₂ и М₃, делящих медианы соответственно СН₂, АН₃, ВН₄ тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть

Это означает, что точки М, М₁, М₂ и М₃ совпадают, то есть все четыре медианы РН₁, СН₂, АН₃ и ВН₄ тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

Точка пересечения медиан тетраэдра называется центроидом этого тетраэдра.

б) Пусть точки K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР (см. рис. 1), то есть отрезок KЕ — бимедиана тетраэдра РАВС. Если точка Q — середина бимедианы KЕ, то для любой точки О пространства выполняется:

Так как K и Е — середины ребер соответственно ВС и АР, то справедливы равенства:

Аналогично можно доказать, что для середины Q₁ бимедианы ТF (см. рис.1) имеет место: Можно убедиться, что такое же равенство выполняется и для середины Q₂ третьей бимедианы данного тетраэдра. Это означает: откуда следует, что точки Q, Q₁ и Q₂ совпадают, то есть все три бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке Q и делятся этой точкой пополам.

в) Таким образом, для точек М и Q справедливы соответственно равенства:

из которых следует, что откуда: точка Q пересечения бимедиан тетраэдра РАВС совпадает с его центроидом М, что и требовалось доказать.

Условие компланарности трех векторов

В качестве базиса в пространстве можно выбрать любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов Тогда любой вектор пространства единственным образом можно разложить по векторам этого базиса:

В общем виде критерий компланарности трех ненулевых векторов выражает равенство: (при условии, что не все коэффициенты одновременно равны нулю). Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор и, используя признак компланарности трех векторов, доказать, что выбранные векторы компланарны.

Задача 2.В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ точка М — середина диагонали А₁С₁ грани A₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы: (рис.2).

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса. Разложим векторы по векторам этого базиса.

Это означает, что векторы компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А₁В₁, KМ и ВС₁, для которых векторы являются направляющими.

Задача 3. На диагоналях АВ₁ и ВС₁ граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A₁C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Решение. Введем векторы: (рис.3).

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:

Так как точка Н лежит на диагонали АВ₁, то векторы коллинеарны, поэтому существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

По условию MН A₁C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:

Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1 – х – t = 0, t – у = 0, х – у – t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН : СА₁ = 1 : 3.

Скалярное произведение двух векторов

С помощью скалярного произведения двух векторов можно находить длину отрезка, величину угла, следовательно, находить расстояния, площади и другие метрические характеристики геометрических фигур. Для доказательства перпендикулярности прямых и плоскостей удобно пользоваться признаком перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Для нахождения длины отрезка АВ векторным способом в качестве базисных выбирают такие векторы, длины которых и углы между которыми уже известны. Затем записывают разложение вектора по базисным векторам и находят:

Если в задаче требуется найти величину угла j, то в качестве базисных принимают векторы с известными отношениями их длин и углами между ними. Затем выбирают векторы на сторонах этого угла с началом в его вершине и разлагают их по базису, после чего находят cos φ по формуле

Задача 4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6, найдите:

а) расстояние от вершины А₁ до плоскости ВС₁D;

б) угол между диагональю ВА₁ грани АА₁В₁В и плоскостью ВС₁D .

Решение. а) Пусть отрезок A₁М — перпендикуляр из вершины А₁ на (ВС₁D), М (ВС₁D) (рис. 4). Тогда A₁М = ρ(А₁; (ВС₁D)). Найдем длину отрезка A₁М.

По правилу треугольника имеем:

Обозначим: а в плоскости ВС₁D введем базис где и запишем разложение вектора по векторам этого базиса в виде: Тогда

Так как A₁М (ВС₁D), то A₁М ВС₁, A₁М ВD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), значит,

Коэффициенты х и у в разложении вектора найдем, пользуясь условием:

которое равносильно системе уравнений

Прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:

Так как треугольники ВС₁D, A₁ВС₁, A₁ВDv— правильные и равные, то длины их сторон равны а

Вернемся к решению системы уравнений (*).

Учитывая соотношения (**) и (***) и свойства скалярного произведения векторов, получаем:

б) Обозначим (ВА₁; (ВС₁D)) = φ. Так как А₁М (ВС₁D), то ВМ — ортогональная проекция ВС₁ на (ВС₁D),

Используя соотношения (**) и (***) и то, что вектор при имеет вид находим:

Задача 5. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно 12.

Решение. Введем векторы: (рис.5). Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:

Пусть отрезок МН — общий перпендикуляр прямых АВ₁ и ВС₁ (Н АВ₁, М ВС₁). Тогда длина отрезка МН равна расстоянию между этими прямыми:ρ(АВ₁; ВС₁) = | МН |.

Так как точка Н лежит на диагонали АВ₁, то векторы коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

Значения х и у найдем из условия:

Учитывая, что базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна 12, имеем:

Таким образом, система векторных равенств (1) равносильна системе уравнений решением которой является:

Многогранники, фигуры вращения и векторы

Задача 6. Около правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 10, описан цилиндр так, что все вершины пирамиды находятся на окружностях оснований цилиндра. Найдите объем и площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение. Пусть вершина Р данной пирамиды РАВСD лежит на окружности с центром О нижнего основания цилиндра, описанного около этой пирамиды (рис.6).

Так как каждое ребро пирамиды равно 10, то радиус R окружности основания, описанной около правильного треугольника РАВ со стороной 10, равен

Пусть точка М — середина ребра СD, МK — перпендикуляр из М на плоскость АВС основания цилиндра, K (АВС). Тогда МK ВА, МK ВР (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), при этом высота h цилиндра равна .

Найдем для этого введем в качестве базисных некомпланарные векторы разложим вектор в базисе и найдем

Значения х и у найдем из условия:

Система (2) равносильна системе уравнений

Прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:

Имеем: треугольники АВР, РВС — правильные и равные, а длины их сторон равны АВСD — квадрат со стороной 10, поэтому

Продолжим решение системы уравнений (3). На основании свойств скалярного произведения векторов, учитывая (4)–(6), получаем:

Сфера, описанная около тетраэдра, и векторы

Если даны длины трех ребер РА, РВ и РС тетраэдра РАВС, исходящих из его вершины Р, а также известны величины плоских углов при этой вершине, то с помощью векторов можно найти радиус, а следовательно и площадь сферы (объем шара), описанной (описанного) около этого тетраэдра.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 7. В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если

Решение. Пусть точка О — центр сферы, описанной около тетраэдра РАВС, R — радиус этой сферы. Тогда ОА = ОВ = ОС = ОР = R.

Введем некомпланарные векторы (рис.7) и примем их в качестве базисных в пространстве. Тогда при этом Найдем коэффициенты х, у и z в этом разложении вектора

По правилу треугольника имеем:

Из равенств ОА = ОВ = ОС = ОР (как радиусы сферы, описанной около тетраэдра РАВС) следует, что значит,

Заметим, что так как базисные векторы попарно перпендикулярны и длины их равны соответственно 2, 3 и 4, то

Заменяя выражением в последней системе уравнений и учитывая (7), получаем:

Аналогично векторным методом можно решить следующие задачи.

Задача 8. В тетраэдре РАВС два плоских угла при вершине Р прямые, а величина третьего плоского угла равна 60°. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, если

Ответ: . Указание. См. задачу 6. В качестве базисных принять векторы

Задача 9. В тетраэдре РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, если

Ответ: . Указание. См. задачу 6. В качестве базисных принять векторы

Трехгранный угол, сфера и векторы

Если известны величины плоских углов при вершине Р трехгранного угла РАВС и дано расстояние РО от этой вершины до центра О сферы, касающейся всех трех ребер РА, РВ и РС этого угла, то можно найти радиус, а значит и площадь этой сферы.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 10. В трехгранном угле РАВС известны величины плоских углов при вершине Р:

АРВ = ВРС = АРС = 60°.

Сфера, центр которой удален от вершины Р на расстояние, равное касается всех ребер этого угла. Найдите радиус данной сферы.

Решение. Пусть сфера касается ребер РА, РВ и РС в точках соответственно K, Н и М. Тогда РK = РН = РМ (как отрезки касательных, проведенных к сфере из точки Р), при этом (R — радиус сферы), ОK РА, ОН РВ, ОМ РС (как радиусы сферы, проведенные в точки касания ее с ребрами угла).

Введем некомпланарные векторы (рис. 8) и примем их в качестве базисных в пространстве. Тогда причем

Так как РK = РН = РМ, то

Найдем значения коэффициентов х, у, z разложения вектора используя следующий факт: ОK РА, ОН РВ, ОМ РС, то есть Имеем:

Заменив в трех последних равенствах вектор выражением получаем:

Найдем скалярные произведения векторов:

АРВ = ВРС = АРС = 60°;

Продолжим решение системы уравнений (8).

После деления на m 2 обеих частей каждого уравнения системы (8), учитывая (9)–(10), получаем:

После сложения всех уравнений последней системы получаем: х + у + z = 1,5. Тогда из первого уравнения 2х + у + z = 2 получаем: х + 1,5 = 2, откуда х = 0,5. Аналогично, из второго и третьего уравнений системы находим: у = 0,5, z = 0,5.

(Равенство коэффициентов разложения вектора означает, что центр О сферы, касающейся всех ребер трехгранного угла с плоскими углами в 60°, лежит на прямой пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов при ребрах этого трехгранного угла.)

Найдем длины базисных векторов и учитывая условие и соотношения (9)–(10).

Теперь найдем радиус R сферы, учитывая, что

Аналогично векторным методом можно решить следующие задачи.

Задача 11. В трехгранном угле РАВС известны величины плоских углов при вершине Р:
АРВ = ВРС = АРС = 90°. Сфера, центр которой удален от вершины Р на расстояние касается всех ребер этого угла. Найдите радиус данной сферы.

Ответ: Указание. Если сфера касается ребер РА, РВ и РС в точках соответственно K, Н и М, то в качестве базисных принять векторы

Задача 12. В трехгранном угле РАВС известны величины плоских углов при вершине Р:
АРВ = ВРС = 90°, АРС = 60°. Сфера, центр которой удален от вершины Р на расстояние касается всех ребер этого угла. Найдите радиус данной сферы.

Ответ: Указание. Если сфера касается ребер РА, РВ и РС в точках соответственно K, Н и М, то в качестве базисных принять векторы

Задачи, аналогичные разобранным в тексте данной статьи, можно найти в задачниках для 10-го и 11-го классов авторов Л.Звавич, Е.Потоскуев: в задачнике 10-го задачи: 6.018, 6.030, 6.044–6.047, 6.067, 6.089, 6.090, 6.106–6.110, 6.114, 6.115, 6.120-6.125; в задачнике 11-го задачи: 2.101, 2.102, 2.351–2.354, 2.394, 3.040, 3.216, 3.217, 3.228, 3.229, 3.285–3.287.

Читайте также: