Геометрия 7 класс конспект задачи на построение окружность

Обновлено: 05.07.2024

В геометрии тема "Задачи на построение" достаточно сложна для понимания. Данный материал описывает иной подход к ее изучению и содержит план-конспект открытого урока в 7 классе (первого в изучении этой темы) и мастер-класс по изложению данной темы в 7-9 классах.

Вложение	Размер
materialy_k_seminaru_zadachi_na_postroenie.rar	1.97 МБ

Предварительный просмотр:

Как было отмечено на пленарной части семинара в ходе компетентностно-контекстного обучения обеспечивается трансформация учебной деятельности академического типа в самостоятельную деятельность, позволяющую обучающемуся решать проблемы и задачи на основе знания.

Период трансформации деятельности равен времени изучения одной темы, в рамках которой изучается целостное явление или процесс.

Универсальные учебные (познавательные) действия

Задачи на построение – 9 часов.

Задачи на построение

Уметь выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки;

решать простейшие задачи на построение.

Использовать простейшие задачи на построение для решения более сложных задач.

Обосновывать рациональность выбора способа решения задач.

Развивать аналитическое и логическое мышление.

Сопоставлять полученный результат с условием задачи.

Анализировать возможные случаи.

Схематично представим период трансформации учебной деятельности на примере этой темы.

Единицей учебного процесса в компетентностно-контекстной модели обучения и воспитания является не урок, а тема, изучение которой осуществляется в 4 этапа.

1 этап. Деятельность академического типа (2 часа).

Проблемное изложение учебного материала. Изучаемое явление представляется целостно через ключевые определения, обобщенные алгоритмы деятельности, представляющие собой не столько содержательную, сколько функциональную сущность изучаемого явления, позволяющую использовать его как инструмент решения большого класса задач.

На данном этапе должна быть жёстко заложена структура всей темы так, чтобы чёткий порядок действий сформировался у учащихся при выполнении заданий определённого типа.

На сегодняшнем уроке как раз и был проведён первый этап в изучении данной темы, а т.к. на этот этап отведено 2 часа, то мы его завершим на следующем уроке.

2 этап. Квазисамостоятельная деятельность (2 часа).

Это моделирующая деятельность обучающихся по поиску способов решения учебных задач и проблем с разной мерой педагогической помощи (управляемое познание). Данная форма деятельности представляет собой тренинг по овладению обучающимися умением связывать условия ситуации со знанием, объяснять необходимость выбора тех или иных способов действия и осуществлять на этой основе компетентное действие в контексте заданной учебной задачи, ситуации, проблемы.

Учащимся предлагается список задач, в которых по приведенному выше плану и образцу рассуждения, нужно объяснить ход решения.

Один из вариантов работы на этом этапе, это обсуждение решения части задач во фронтальной беседе, а потом решения их учащимися самостоятельно. Если ошибок допускают мало, то предлагать все последующие задачи решать самостоятельно в коллективной деятельности. Если затрудняются при решении задач, план решения которых обсудили, то продолжить решение в том же режиме.

Задания для совместной деятельности:

Дан треугольник АВС. Построить: а)биссектрису АК; б)медиану ВМ; в)высоту СН.
Даны прямая а и отрезок АВ. Построить прямую р , параллельную прямой а , так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ.
Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок МН. На прямой а построить точку, удаленную от прямой b на расстоянии МН.
Построить прямоугольный треугольник: а)по двум катетам; б)по катету и прилежащему к нему острому углу.
Построить равнобедренный треугольник: а)по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б)по основанию и углу при основании.
Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне.

3 этап: Самостоятельная деятельность (4 часа).

Это коллективная деятельность обучающихся по решению задач и проблем в рамках изучаемой темы, набор которых очень широк: от задач, требующих прямого применения известных приемов, до исследовательских проблем. Данная форма деятельности, оставаясь учебной, фактически является формой самореализации обучающихся, позволяющей приобрести им опыт самостоятельного решения проблем на основе знания. Учитель на данном этапе – тьютор, задача которого обеспечить достижение каждым обучающимся максимально возможного результата. Уроки на данном этапе организуются таким образом, чтобы каждый ученик имел возможность работать в своем темпе, все учащиеся получают набор заданий, которые необходимо выполнить к определенному времени, одни справятся с ними раньше, другие – позже. От объема и качества выполнения заданий зависит результат деятельности каждого ученика.

Задания для самостоятельной деятельности:

Построить треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
Построить равнобедренный треугольник: а)по боковой стороне и углу при основании; б)по основанию и боковой стороне; в)по основанию и медиане, проведенной к основанию.
С помощью циркуля и линейки построить угол, равный: а)45 0 ; б)30 0 ; в)60 0 ; г) 120 0 ; д) 75 0 .
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон.
Дан треугольник АВС. Построить отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и E лежали на сторонах АВ и ВС и DE = АD + СЕ.

4 этап : Рефлексия достигнутого результата осуществляется в форме предытоговой и итоговой работ (контрольной работы), которые проводятся по одному классификатору. Работы задают уровень сложности освоения материала.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Дано: A, OM – луч.

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Окр. (A; r) ∩ AB = B.
Окр. (A; r) ∩ AC = C.
Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Геометрия 7 ЗАДАЧИ на построение

Ключевые задачи на построение в 7 классе: 1) построить отрезок, равный данному; 2) построить угол, равный данному; 3) построить середину данного отрезка; 4) построить биссектрису данного угла; 5) построить треугольник, равный данному, или построить треугольник по трем заданным сторонам; 6) построить треугольник по двум сторонам и углу между ними; 7) построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам; 8) построить прямую, проходящую через данную точку, не принадлежащую данной прямой и перпендикулярную прямой; 9) построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой; 10) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу; 11) построить прямоугольный треугольник по гипотенуза и катету.

РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Опорная задача № 1. Построить отрезок, равный данному.

Опорная задача № 2. Построить угол, равный данному.

Опорная задача № 3. Построить середину данного отрезка.

Опорная задача № 4. Построить биссектрису данного угла.

Задача № 5. Построить треугольник, равный данному, или построить треугольник по трем заданным сторонам.

Задача № 6. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Задача № 7. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача № 8. Построить прямую, проходящую через данную точку, не принадлежащую данной прямой и перпендикулярную прямой.

Задача № 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.

Задача № 10. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Задача № 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенуза и катету.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока: комбинированный ( урок обобщения ранее известных и усвоения новых знаний )

- познакомить учащихся с новым типом задач: задачи на построение;

- развивать математически грамотную речь и логическое мышление, точность в построениях; умение анализировать;

- воспитывать аккуратность и внимательность; способствовать овладению навыками самостоятельной учебной деятельности.

Планируемые результаты

1. Сформировать у учащихся целостное представление об элементах окружности

2. Применять полученные знания при решении задач.

Метапредметные:

регулятивные – умение решать проблемы; умение выполнять сравнение и анализ, делать выводы;

коммуникативные – формулировать свои мысли; вести диалог, истолковывать прочитанное и формулировать свою позицию, осознанно читать тексты учебников;

познавательные – извлекать информацию.

Личностные: формировать умение объективно оценивать свой труд .

Оборудование:

- учебник Л.С.Атанасяна и др. Геометрия -7-9 класс;

- карточки с заданиями теста;

- карточки с кроссвордом.

Организационный этап (1 мин)

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, наличия чертёжных инструментов.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся (2 мин)

Актуализация опорных знаний и проверка домашней работы (4 мин)

- Какие задачи мы учились решать на предыдущих уроках?

- Какие треугольники называются равными?

- Для чего математики сформулировали и доказали признаки равенства треугольников?

- Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

- Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

- Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

Изучение нового материала (14 мин)

А. Открытие новых знаний.

Работа с текстом.

п. 21 - сделать метки на полях.

Б. Осмысление прочитанного . Выполнить задания теста:

1) Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:

а) Окружность — это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигура, состоящая из (множества, всех) точек плоскости, расположенных на (одинаковом, заданном) расстоянии от (данной, центральной) точки.

б) Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяющая (-ий) центр окружности с (заданной, какой-либо) точкой окружности.

2) Диаметр окружности — это. (закончить определение) а) два радиуса, лежащие на одной прямой; б) хорда, проходящая через центр окружности; в) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.

3) Дуга окружности — это. (закончить определение) а) часть окружности, выделенная точками; б) часть окружности, ограниченная двумя точками; в) часть окружности, ограниченная хордой.

4) Определить, на сколько дуг делят окружность две точки, лежащие на окружности. Выбрать правильный ответ: а) на одну; б) на две.

5) Как изображается хорда на чертеже окружности? Выбрать правильный ответ: а) прямой линией; б) дугой окружности; в) отрезком с концами, лежащими на окружности.

6) Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности? Выбрать правильный ответ: а) длина окружности; б) радиус окружности; в) половина диаметра окружности.

В. Взаимопроверка (сравнивают ответы с ключом к тесту, который озвучивается учителем совместно с учениками)

5 . Первичное закрепление нового материала (13 мин)

- Работа с учебником (устно) № 143

- Демонстрационное решение у доски: № 146

Физкультминутка (гимнастика для глаз) (2 мин)

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Теперь ещё глазами ты

Вдоль по периметру веди.

Рисуй восьмёрку вертикально.

И головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок её клади.

7 . Контроль и коррекция знаний (5 мин)

Работа в парах: разгадать кроссворд. Ученики повторяют основные понятия, изученные на данном уроке, и читают ключевое слово: Построение.

Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

3) Точка, равноудаленная от всех точек окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности.

Инструмент для построения окружности на чертеже.

Учитель рассказывает о значении этого слова в геометрии, тем самым перекидывая мостик к изучению материала следующего урока.

Демонстрационно решается задача о построении отрезка, равного данному.

Дополнительно: построение отрезка в 3 раза больше данного.

8. Рефлексия учебной деятельности на уроке (1 мин)

Продолжите высказывания об уроке.

1. Мне понравился сегодняшний урок, но…

2. Для меня тема трудная, вот если бы…

3. Для меня тема легкая, и я …

9. Подведение итогов урока. Выставление отметок (2 мин)

Выставление отметок (с комментариями)

10. Постановка домашнего задания (1 мин)

П.21, 22 – изучить, № 145; 148.

Творческое задание (по желанию): на листе А4 нарисовать рисунок, состоящий только из окружностей.

1) Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:

5) Как изображается хорда на чертеже окружности? Выбрать правильный ответ: а) прямой линией; б) дугой

окружности; в) отрезком с концами, лежащими на окружности.

1) Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от данной точки.

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. Из определения следует, что можно провести бесконечное количество радиусов, и они все имеют одинаковую длину.

Если соединить две точки окружности не отрезком, а кривой, проходящей по самой окружности, то часть окружности между двумя точками называют дугой .

Если на окружности отметить две точки, то получаются две дуги. Поэтому для названия дуги используют три латинские буквы, которые могут быть как маленькие, так и большие.

Очень важно запомнить, что в этих задачах линейка используется не как инструмент для измерения, а исключительно только для того, чтобы провести прямую, луч или отрезок через две данные точки, то есть, чтобы провести прямую линию. Циркуль используется для построения окружности или дуги окружности.

Рассмотрим пять основных построений, в которых используем упомянутые действия — построение прямой линии и окружности:

1. на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
2. Построение угла, равного данному.
3. Построение биссектрисы угла.