Формулы удвоения тригонометрия конспект
Обновлено: 07.07.2024
Формулы двойного аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.
Эти формулы устанавливают соотношение между \(sin 2 x\), \(cos 2 x\), \(tg 2 x\) и \(sin x\), \(cos x\), \(tg x\).
Последовательно приведём и докажем формулы двойного аргумента для функций синуса, косинуса и тангенса.
1. Рассмотрим выражение \(sin 2 x\) — представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\) и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов:
Подставляя в формулы cos2 t =1-2sin 2 t и cos2 t =2cos 2 t -1 значение , получаем формулы половинного аргумента :
Разделив на получаем формулу
Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла, sin42 0 .
используя формулу , имеем
sin42 0 =sin(2∙21 0 )=2sin21 0 cos21 0 .
Вычислите 2sin15 0 cos15 0 .
используя формулу , имеем
2sin15 0 cos15 0 =sin(2∙15 0 )=sin30 0 =0,5.
по формуле , имеем
Задания для самостоятельного решения:
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin54 0 .
2) Вычислите: .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg .
2) Вычислите: .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos16 0 .
2) Вычислите: .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg .
2) Вычислите cosα, если и .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin .
2) Вычислите , если и .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg68 0 .
2) Вычислите , если и .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos .
2) Вычислите , если и .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg 102 0 .
2) Вычислите , если и .
1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg 162 0 .
Формулы двойного аргумента - это формулы, позволяющие ; и выразить через ; и . Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим выражение . Представим как и подставим в формулу синуса суммы. Получим:
(1)
Эту формулу называют синус двойного аргумента.
Например, . В этом случае .
Рассмотрим выражение , где так же . Применяем формулу косинуса суммы:
Получили формулу косинуса двойного аргумента (2)
Например,
Так как , а , то получим ещё две формулы косинуса двойного аргумента.
(3)
(4)
Рассмотрим выражение tg и с помощью формулы тангенса суммы выведем формулу тангенса двойного угла. Помним, что . Получаем:
, где (5)
Для котангенса двойного угла применяем формулу:
, где (6)
Например, .
Формулы (1)-(6) можно использовать как слева направо, так и справа налево. Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение. Например,
Докажем формулу для тройного угла.
Представим . По формуле синуса суммы получим:
(используем формулы двойного аргумента)
Получили формулу синуса тройного угла:
(7)
Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:
. (8)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Найти , если
Применим формулу (3)
Пример 2. Доказать тождество
Доказательство: Преобразуем левую часть, воспользуясь тем, что формулой (1) и формулой квадрата суммы, получаем:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Учитель математики: Шамина Т. А.
" Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения!
В формулах заключено величие и могущество разума. "
Образовательные:
Формирование предметных компетенций (вывод формул двойного угла) на основе ранее сформированных компетенций: формул сложения тригонометрических функций.
Развивающие:
Развивать практические навыки применения формул двойного угла при решении упражнений;
Создавать условия, в которых учащиеся могли бы самостоятельно планировать и анализировать свои собственные действия, реально оценивать свои возможности и знания.
Воспитательные:
Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
Воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться при решении упражнений.
Тип урока: ознакомление с новым материалом
Технология (элементы): технология развития критического мышления; ИКТ
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Методы урока: Объяснительно – иллюстративный, использование ИКТ, мозговой штурм, активная беседа.
Средства обучения:
Рабочая тетрадь, компьютер, проектор, разноуровневый раздаточный материал для обучающей самостоятельной домашней работы и работы в классе сильным ученикам , телефоны с выходом в интернет
Организационный момент. (5 мин)
Домашнее задание. (Доклад: Баженов Вячеслав)
Прежде, чем перейти к изучению новой темы, проверим: крепко ли стоим на ногах?
Перечислите всю известную информацию о тригонометрии.( учащиеся вспоминают определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса ; радианная мера угла; поворот точки вокруг начала координат , основное тригонометрическое тождество, знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса, тригонометрические функции отрицательных углов).
Учитель записывает на доске ключевые слова по новой теме (заранее на доске или использует проектор).
1) Синус, косинус, тангенс, котангенс
Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). (5 мин)
Проводится блиц-турнир, контролирующий выполнение учащимися домашней работы и позволяющая вспомнить основной материал, необходимый на уроке для вывода формул двойного аргумента.
БЛИЦ-ТУРНИР, производится с помощью компьютера, с последующей самопроверкой.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Цель урока: вывести формулы двойного аргумента; научить применять полученные формулы для упрощения тригонометрических выражений.
Учебные задачи:
Обучающие:
- повторение и обобщение знаний в области преобразования тригонометрических выражений;
- формирование умений и знаний использовать формулы двойного аргумента для упрощения выражений;
- использование учащимися полученных знаний по данной теме при выполнении заданий ЕГЭ.
Развивающие:
– вырабатывать и развивать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях;
- развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества;
- развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; культуру речи и любознательность.
Воспитательные :
- побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу;
- воспитание терпеливости, культуру мышления, упорства достижения целей.
Ожидаемый результат: учащиеся должны знать вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений.
Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала (контрольный срез).
Организационно-мотивационный этап.
Приветствие учащихся.
Проверка домашнего задания. Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
Сегодня на уроке мы выведем тригонометрические формулы – формулы двойного аргумента и рассмотрим как их можно примененять.
Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.
2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся.
Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов.
Вызывается учащийся, которые на доске записывает отдельно эти формулы:
sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;
tg(x+y) = .
Далее учащийся устно работает с места. На доске (или слайдах презентации) записаны задания.
№1. Упростить:
а)
б)
в)
г)
№2. Вычислить:
а)
б)
в)
г)
д)
3. Изучение нового материала.
Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим их применение.
Рассмотрим формулы, записанных в начале урока – формулы синуса, косинуса, тангенса суммы аргументов. Допустим, что аргументы равны: x= y, то получим:
1. sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny или sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx
2. cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny или cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos 2 x – sin 2 x
3. tg(x+y) = или tg2x = Одну из трех формул выводит ученик.
Полученные формулы называют формулами двойного аргумента или формулами двойного угла.
Какое же практическое применение этих формул?
Выполним № 21.2(а,б) - №21.5(а,б) стр.57 учебник А.Г. Мордкович Часть 2
А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
№1. Доказать тождество: cos2x = 1 – 2sin 2 x
Доказательство:
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (1 - sin 2 x) - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x
cos2x = 1 - 2 sin 2 x, что и требовалось доказать.
Выразим из доказанного тождества sin 2 x :
cos2x = 1 - 2sin 2 x
2 sin 2 x = 1 – cos2x
sin 2 x = - получили еще дну тригонометрическую формулу, которая получила название-формула понижения степени.
№2. Доказать тождество: cos2x = 2cos 2 x – 1
Доказательство:
cos2x = cos 2 x – sin 2 x = cos 2 x – (1 - cos 2 x) = 2cos 2 x – 1
cos2x = 2cos 2 x – 1, что и требовалось доказать.
Если из полученного равенства выразить cos 2 x, то получим:
cos2x = 2cos 2 x – 1
cos2x+1 = 2cos 2 x
2cos 2 x = cos2x+1
cos 2 x = - еще одна формула понижения степени.
Таким образом, выполняя задания №1 и №2, доказывая тождества, получили еще два варианта формул двойного угла и как следствия из них- формулы понижения степени.
sin2x = 2sinxcosx; cos2x = cos 2 x – sin 2 x;
cos2x = 1 – 2sin 2 x; cos2x = 2cos 2 x – 1
sin 2 x = ; cos 2 x =
Выполним № 21.23 (а ,б) с применением формул понижения степени.
Выполним задание из сборника ЕГЭ Математика. Профильный уровень. Под ред. Ященко.
1) Найдите -25cos2α, если cos α=-0,8
2) Найдите значение выражения: 7
Читайте также: