Формула полной вероятности конспект урока

Обновлено: 30.06.2024

Теория вероятностей изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями. Что же такое СЛУЧАЙНОЕ ЯВЛЕНИЕ? Пусть производятся опыты: бросание монеты ( кубика, кости) или вынимание карты из колоды наугад. Мы не можем заранее предвидеть результат (исход опыта). Всё это – случайные явления. Всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти называется СЛУЧАЙНЫМ СОБЫТИЕМ.

Пример 1 - Бросание игральной кости:

Второй способ решения Примера 4

б) Вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба белые?

Основные правила теории вероятностей

Правила сложения вероятностей

а) Сложение вероятностей несовместных событий

б) Сложение вероятностей совместных событий

Пересечение событий

Второй способ решения Примера 7

Пример 9 - Бракованные изделия

Имеются 30 изделий, из них 5 - бракованные. Берут 7 изделий. Какова вероятность, что два будут бракованными?

Пример 13 - Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8

Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8
Найти вероятность трёх попаданий при трёх выстрелах.

Пример 15 - Вероятность изготовления бракованной детали 0.05

Вероятность изготовления бракованной детали 0.05. Найти вероятность того, что из пяти наугад взятых деталей будут бракованными 4 ?

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

- на линию огня вызван первый стрелок,

- на линию огня вызван второй стрелок,

- на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Видео-уроки на тему полной вероятности и формулы Байеса

В первом уроке вы можете посмотреть подробный вывод с доказательством формулы Бейеса (любителям теории):

А здесь будут разобраны несколько типовых задач и на формулу полной вероятности, и на формулу Байеса:

Читайте также: