Действия над комплексными числами в алгебраической форме конспект

Обновлено: 05.07.2024

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Глоссарий по теме

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z,

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂ i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = -1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁ i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z + z₂ =z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2 - действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17 ) · i 23 .

i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.

i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4 ) 5 ⋅ i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17 ) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

Решение: 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3 - 7)i = 7 - 4i.

Можем сделать вывод, что верный ответ

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Комплексные числа.docx

Конспект урока разработан преподавателем ГБОУ СПО КИТ Савостьяновой Инессой Михайловной.

Тема: Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели: 1) Образовательная: познакомить студентов с еще одним множеством чисел – комплексные числа; дать представление о мнимой единице и ее степенях, алгебраической форме комплексного числа; научить выполнять различные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

2) Развивающая : развивать у студентов логическое мышление, умение обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнение, приводить примеры и делать необходимые выводы.

3) Воспитательная: воспитывать интерес к изучению математики, математическую культуру и речь; способствовать воспитанию высокой творческой активности.

План проведения урока:

Орг. момент. Постановка целей урока (3 мин)

Актуализация знаний (4 мин)

Объяснение нового материала (40 мин)

Первичное закрепление знаний (30 мин)

Постановка д / з (3 мин)

Рефлексия (10 мин)

Орг. момент. Постановка целей урока.

В школьном курсе математики, встречаясь с квадратными уравнениями, дискриминант которых меньше нуля, мы утверждали, что уравнение не имеет решения. Простейшее такое уравнение имеет вид .

К необходимости рассматривать задачи, сводящиеся к извлечению корней из отрицательных чисел привел ряд задач математики, физики и других наук. Для решения таких задач действительных чисел оказалось недостаточно и пришлось расширить действительные числа до поля комплексных чисел.

Объяснение нового материала.

О.1. Комплексным числом называется число вида ,где – действительные числа, - символ называемый мнимой единицей.

О.2 . Мнимая единица – это такое число, квадрат которого равен .

Степени мнимой единицы.

Вывод: значение степеней числа повторяются с периодом, равным 4.

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

– алгебраическая форма комплексного числа, где – действительная часть, - мнимая часть, – коэффициент мнимой части.

Замечание. Знак “+” в алгебраической форме комплексного числа следует понимать не как знак операции сложения, а как некоторый формальный соединительный символ.

О.3. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты их мнимых частей, т.е. если

Примеры комплексных чисел в алгебраической форме:

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

Умножение производится по обычному правилу умножения многочленов.

Умножение комплексных чисел обладает свойствами:

3. Умножение на сопряженное число

О.4. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга, только знаками перед мнимой частью.

Числа называются сопряженными.

Например, числа – сопряженные;

Произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу, т.е.

Модуль комплексного числа. Его свойства.

О.5. Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число, равное

Например, для числа найти его модуль.

Свойства модуля комплексного числа:

Первичное закрепление знаний.

Даны числа: и . Назовите для них сопряженные и выполните сложение, вычитание, умножение и деление. В получившихся числа назвать действительную и мнумую части. Посчитать модули этих чисел.

Постановка домашнего задания.

формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; формировать навыки пользования компьютером для выполнения обучающих и контролирующих тестов.

Развивающие – развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством выполнения тестовых заданий;

способствовать формированию навыков самостоятельной работы и работы в мини-группе; развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала и практических заданий; развивать интерес к роли личности в становлении математической науки; развивать творческие способности в ходе выполнения исследовательской работы.

Воспитательные – воспитывать у учащихся способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя; воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.

План урока.

Актуализация знаний.
Постановка цели урока.
Решение заданий на выполнение действий с комплексными числами.
Проведение обучающего и контрольного теста.
Подведение итогов.

Ход урока.

Организационный момент. Преподаватель приветствует обучающихся.

Обучающиеся проверяют готовность к уроку, анализируют свое психологическое состояние.

Вводное слово преподавателю ( презентация )

Постановка проблемы. Какие задачи исторически привели к введению комплексных чисел?

Отчет обучающихся о своей исследовательской работе ( демонстрация слайдов ).

Какие же числа называются комплексными и как выполнять с ними алгебраические действия? ( Презентация )

Выполнение серии задач на действия с комплексными числами (в тетради).

Как можно узнать результат достижения своих образовательных целей? ( Тест )

Выполнение обучающего и контрольного тестов.

Подведение итогов урока.

Обучающиеся записывают домашнее задание

Конспект урока.

- История возникновения комплексных чисел получила свой новый виток уже в 1552 году, когда итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами.

Итак, что же это за числа?

Определение: Комплексными числами называют выражения вида a+bi,где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i 2 = -1.

- Итак, наши представления о числах стали более широкими. Теперь будем грамотно учиться, выполнять действия с комплексными числами. - Вспомним основные правила для выполнения алгебраических действий над комплексными числами. - Действия над комплексными числами в алгебраической форме. (Презентация). - Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Решение.

(здесь учтено, что i 2 = – 1).

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

Читайте также: