Числовая окружность 10 класс конспект урока
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
План конспект урока № 7 (1 четверть). Алгебра 10 класс.
Разобрать определение числовой окружности
Развитие творческой самостоятельности мышления учащих
Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Общий вид числовой окружности.
1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC , причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD , причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:
первая четверть – это дуга AB
вторая четверть – дуга BC
третья четверть – дуга CD
четвертая четверть – дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности – точка А.
Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .
Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).
Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный – оси y .
Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Значения x и y в четвертях числовой окружности:
Величина
в радиусах
Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:
Как запомнить имена числовой окружности.
Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.
Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2 π ) против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек на осях координат.
Начальная точка – это 2 π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).
Как вы знаете, 2 π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1 π или π . Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π .
Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π , то половина полуокружности – это π /2.
Одновременно π /2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3 π /2.
2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.
- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π /6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5 π /6. Точка, противоположная π /4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3 π /4.
Точка, противоположная π /3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2 π /3.
- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π /6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7 π /6.
Точка, противоположная точке π /4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5 π /4.
Точка, противоположная точке π /3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4 π /3.
- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π /6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11 π /6.
Особенности числовой окружности. Пусть точка M равна какому-то числу t . Как мы знаем, длина окружности равна 2 π . Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2 π . Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2 π . Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M . Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k , то получим новое выражение:
t = t + 2 π k .
Оборудование и методические материалы: компьютер, проектор, экран, демонстрационный круг ,веревка, маркер.
Этапы урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление знаний, умений и навыков.
5. Домашнее задание.
6. Подведение итогов урока.
Ход урока
1. Организационный момент
1) Учитель приветствует учащихся.
2) Учитель выявляет отсутствующих, выясняет причину отсутствия.
3) Проверка готовности учащихся к уроку (внешний вид, рабочая поза, состояние рабочего места).
4) Проверка подготовленности классного помещения к уроку (чистая доска, мел, тряпка, порядок в классе).
5) Организация внимания.
Зачем нам нужна тригонометрия?(Слайды №1-8)
Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы - модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.
Звук, электрический ток, радиоволны так же представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.
Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.
Таким образом многие процессы происходящие в природе и технических системах описываются тригонометрическими функциями, которые служат основой их математических моделей.
2. Актуализация знаний учащихся
Учитель: Внимание, на доске обозначены вопросы для повторения, они помогут вам в изучении нового материала. Обучающимся дается несколько минут на обдумывание ответа. Затем к доске вызывается один из учеников и отвечает на них. Правильность ответа контролируют обучающиеся, они могут задать дополнительные наводящие вопросы, если не согласны с ответом или считают, что ответ неполный. Учитель контролирует всех. В конце опроса выставляется оценка за ответ. Слайд № 9,10.
Учитель: Что называется числовой прямой?
Ученики: Это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление.
Учитель: Сколько действительных чисел можно поставить в соответствие каждой точке числовой прямой?
Ученики: Каждой точке соответствует только одно действительное число.
Учитель То есть числовая прямая – это взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.
Учитель Что называется окружностью?
Ученики: Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки.
Учитель: Как найти длину окружности?
Ученики: Длина окружности равна :L=2 пr.
Учитель: А что такое пи?
Ученики: Пи — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Эта константа приближенно равна 3,14.
Учитель: Чему будет равна L при R=1.
Ученики: L=2П или 6,28.
Учитель: Отметьте на числовой прямой точки П и 2П.(Слайд №9,10,11 )
3. Изучение нового материала.
Учитель: В реальной жизни приходится двигаться не только по прямой, но и по окружности.
В принципе любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность - окружность радиусом 1. Исходя из основной формулы длины окружности при радиусе равном 1 получаем длину единичной окружности равной 2П, что составляет примерно 6,28. Соответственно половина длины окружности равна П, четверть П/2 и три четверти окружности равны 3П/2.(Слайд№ 12)
На числовой окружности принято условно называть дугу от 0 до П/2 первой четвертью, дугу от П/2 до П – второй четвертью, от П до 3П/2 3 четвертью и от 3П/2 до 2П 4-й четвертью. При этом, как правило, речь идет об открытых дугах, т.е. о дугах без их концов: например, первая четверть — это дуга от 0 до П/2, без точек 0 и П/2.
Рассмотрим следующее определение.
Учитель :Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
И самое главное необходимо запомнить что положительное значение откладывается против часовой стрелки , а отрицательное по часовой стрелке
Любому действительному числу можно сопоставить единственную точку на прямой и наоборот (любая точка прямой соответствует единственному числу).
Числу 0 соответствует начальная точка О.
Если t>0, то, двигаясь по прямой из точки О в положительном направлении, необходимо пройти путь длиной t.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Числовая окружность"
· познакомиться с понятием числовой окружности;
· познакомиться со свойствами точек числовой окружности;
· познакомится с точками первого и второго макетов.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим понятие числовая прямая.
Давайте выполним упражнение.
Давайте решим задачу.
Определение.
Числовая окружность ̶ модель числовой прямой, на которой можно отметить точку с самой удалённой координатой.
Для дальнейшего изучения темы нам пригодятся два макета окружностей.
Рассмотрим несколько примеров.
Из всех рассмотренных примеров можно вывести и сформулировать следующее утверждение.
Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число (kϵZ).
M(t) = M(t+2πk), где kϵZ
Вернёмся к нашим макетам и, с учётом выше сформулированного утверждения, запишем все точки, отмеченные на макетах.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация “Числовая окружность” (Microsoft Office PowerPoint 2007), рабочие карты учащихся, бланки для самостоятельной работы (Microsoft Office Word 2007).
1) Повторение (повторяются основные функции 7–9 класса их отличительные особенности, уравнения, основные свойства функций – подготовка к изучению тригонометрических функций).
• График какой из функций изображен на рисунке?
• Дайте характеристику каждой прямой, составьте ее уравнение.
• Укажите свойства данной функции?
2) Решение задач (повторение градусной, радианной меры и перевода из одной меры в другую).
№ 1. Найдите радианную меру неизвестного угла и градусную меру всех углов треугольника.
№ 2. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как 2:3:4. (задача решается в рабочей карте учащегося с последующей проверкой на слайде)
№ 3. Переведите из градусной меры в радианную следующие углы 1°, 180°, 45°, 60° (задача решается в рабочей карте учащегося, 1 угол совместно, остальные самостоятельно с последующей проверкой на слайде)
3) Изучение нового материала (беседа с учащимися по тексту §1 учебника, формирование понятия “Числовая окружность”, умения определять длины основных и произвольных дуг окружности, все основные сведения и решение задач фиксируются в рабочей карте)
1. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу
2. Вторая четверть единичной окружности разделена пополам точкой М, а четвертая четверть разделена на 3 равных части точками К и Р. Чему равны длины дуг АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?
4) Закрепление изученного (используется бланк для самостоятельной проверки, работа оценивается по желанию учащихся, слабые учащиеся могут пользоваться помощью или поэтапным контролем со стороны учителя).
1. Изобразите на числовой окружности точку, которая соответствует числу .
2. Первая четверть единичной окружности разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на 3 равных части точками К и Р. Чему равны длины дуг АМ, BD, CK, MР, DM, МК, СР?
Читайте также: