Центральные и вписанные углы видеоурок конспект
Обновлено: 07.07.2024
Описание к Уроку
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
•Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
•Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности, которая не содержит вершину вписанного угла.
•Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла. Поэтому можно сказать, что угол АВС опирается на хорду АВ.
Теорема
Угол, вписанные в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности, то есть сторона ВС проходит через точку О.
Случай, когда центр окружности лежит внутри угла АВС, сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
На рисунке углы МАК, МВК, МСК, МЕК опираются на одну и ту же дугу МК, поэтому они все равны половине этой дуги, а, следовательно, равны между собой
Вписанные угол, опирающийся на полуокружность, диаметр — прямой
Центральный угол на 36 градусов больше острого вписанные угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Пусть вписанные угол равен х °, тогда центральный ( х+36)°. Так как оба угла опираются на одну и туже дугу, то центральный угол равен градусной мере этой дуги, а вписанный угол равен половине этой дуги. Следовательно, центральный угол вдвое больше вписанного. Составляем и решаем уравнение х+36=2х; 2х-х=36; х=36 . Значит, вписанный угол равен 36 °.
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°
Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100. Найдите меньшую дугу.
ВС и ВЕ – секущие,
А-точка пересечения ВС с окружностью,
D — точка пересечения ВЕ с окружностью,
В этом уроке узнаем, какой угол называется центральным углом, какой – вписанным, поговорим о дугах окружности, в чем они измеряются, познакомимся с теоремой о вписанном угле и её следствиями, рассмотрим решение задачи по теме урока.
Если на окружности отметить две точки А и В, то они разделят окружность на две дуги. Чтобы различать эти дуги друг от друга, между точками А и В отмечают дополнительные точки, например М и L.
В геометрии дуги обозначают так: ⌣АМВ и ⌣АLВ.
Любой диаметр делит окружность на две дуги, эти дуги называют полуокружностями.
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом окружности.
На рисунке угол АОВ – центральный, так как его вершиной является центр окружности.
Дуга окружности измеряется в градусах.
Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла.
На этом рисунке дуга окружности меньше полуокружности – градусная мера дуги АLВ равна градусной мере центрального угла АОВ: ⌣АLВ = ∠АОВ.
На другом рисунке дуга окружности является полуокружностью – градусная мера дуги АLВ равна градусной мере центрального угла, который является развернутым, а значит равен 180°. Значит, градусная мера полуокружности равна 180°.
Если дуга больше полуокружности, то ее градусная мера равна разности 360° и градусной меры центрального угла: ⌣АМВ = 360° – ∠АОВ.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называют вписанным углом.
На рисунке угол АВС – вписанный, так как его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают её. Внутри этого угла расположена дуга АМС.
Говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.
Докажем теорему о вписанном угле.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠АВС – вписанный угол окружности с центром в точке О, опирающийся на дугу АС.
Угол АВС равен половине дуги АС, т.е. ∠АВС = ½⌣АС
Для доказательства необходимо рассмотреть три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС.
Тогда дуга АС меньше полуокружности, поэтому центральный угол АОС равен градусной мере дуги АС: ∠АОС = ⌣АС
Угол АОС – внешний угол треугольника АОВ, а внешний угол треугольника по свойству равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, т.е. ∠АОС = ∠1 + ∠2 .
Треугольник АОВ равнобедренный (ОА и ОВ – радиусы одной и той же окружности), а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. ∠1 = ∠2.
А значит ∠АОС = ∠1 + ∠2 = 2∠1.
Отсюда следует 2∠1 = ⌣АС, или ∠АВС = ∠1 = ½⌣АС.
Луч ВО делит угол АВС на два угла.
Тогда луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D.
Эта точка делит дугу АС на две дуги: ⌣АD и ⌣DС.
Из доказанного 1 случая для вписанных углов АВD и DВС будут иметь место равенства: ∠АВD = ½⌣АD и ∠DВС = ½⌣DС.
∠АВС = ∠АВD + ∠DВС = ½⌣АD + ½⌣DС = ½⌣АС.
Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.
Тогда ∠АВС = ∠АВD – ∠DВС = ½⌣АD – ½⌣DС = ½⌣АС.
Что и требовалось доказать.
Из теоремы о вписанном угле вытекают два следствия.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Следствие 1 позволяет доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Окружность, АВ и СD – хорды, пересекающиеся в точке Е.
Рассмотрим треугольники АЕD и СЕВ.
∠1 = ∠2, так как данные углы вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD;
∠3 = ∠4, как вертикальные углы,
Значит треугольники АЕD и СЕВ подобны по первому признаку подобия треугольников.
У подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, т.е.
Рассмотрим решение задачи.
Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е.
Длина отрезка АЕ = 9 см, СЕ = 8 см.
Длина отрезка ЕD на 5 см больше длины отрезка ВЕ.
Найдите длины хорд АВ и СD.
Для решения задачи используем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, т.е. АЕ · ВЕ = СЕ · DЕ.
Пусть ВЕ = х, тогда ЕD = х + 5.
Решив уравнение, получим х = 40 см, т.е. ВЕ = 40 см, ЕD = 45 см.
Тогда хорда АВ = АЕ + ВЕ = 9 + 40 = 49 см, СD = СЕ + ЕD = 8 + 45 = 53 см.
АВ = 49 см, СD = 53 см.
В этом уроке Вы познакомились с центральными и вписанными углами, доказали теорему о вписанном угле и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, а также рассмотрели решение задачи по теме урока.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Конспект.docx
Технологическая карта урока
Разработали:
Тема урока: Понятие центрального и вписанного углов
Личностные: развитие навыка самостоятельности в работе, развитие навыков самоанализа и самоконтроля при оценке результата своей деятельности
Метапредметные: формирование информационной, коммуникативной и учебной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации
Тип урока : урок моделирования
Задачи урока :
в личностном направлении : обеспечить познавательную мотивацию учащихся при изучении новых понятий и определений, провести рефлексию деятельности после проделанной работы
в метапредметном направлении : формирование умения самостоятельно ставить учебную задачу урока, развитие операций мышления (сравнение, анализ, выделение лишнего, обобщение), формирование отдельных составляющих исследовательской деятельности (умения наблюдать, умения делать выводы и умозаключения, умения выдвигать и формулировать гипотезы)
в предметном направлении : изучение понятий центрального и вписанного углов
Выбранный для просмотра документ Технологическая карта урока на сайт.docx
Технологическая карта урока
— Урок будет проходить в форме диалога, беседы, обсуждения решения определённых заданий.
— Давайте последуем совету венгерского математика. Надеюсь на вашу активность на уроке.
Слушают вступительную речь учителя
Актуализация знаний учащихся
Демонстрирует ЭОР ( слайд № 2 ), предлагая учащимся найти верные утверждения:
Верны ли утверждения?
Угол, градусная мера которого больше 90º, называется тупым
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности называется диаметром окружности
Прямая, которая имеет две общие точки с окружностью, называется касательной
Радиус окружности в два раза больше диаметра
– Какие элементы окружности вы видите на доске?
Отвечают на вопросы.
Поиск и выделение необходимой информации, использование имеющихся знаний при решении конкретной задачи.
Учащиеся по чертежу определяют отрезки.
Введение нового понятия
Что произошло с окружностью, когда мы поставили на ней две точки А и В? ( слайд № 4)
Как называются эти части окружности?
Чем являются точки А и В для этих дуг?
Назовите эти дуги? В чем проблема?
Поставим на каждой дуге по одной точке М и N
Тогда дуги назовем АМВ и А N В
Учащиеся отвечают на вопросы:
Окружность поделилась на две части
Дуги две, а название одно – дуга АВ
Воспринимают информацию, выполняет рисунки в тетради и делают краткие записи к ним
Постановка учебной задачи
Обсудите в паре с соседом чем различаются углы АОВ и АСВ? ( слайд № 5 )
Как же называются эти углы вы сможете узнать если……?
(Информацию учитель зашифровывает с помощью программы QR Code о виде штрих-кодов и приклеивает заранее на стены в кабинете)
Это и означает, что мы сегодня будем изучать на уроке?
Как вы думаете, какой из этих углов называется центральным, а какой вписанным и почему?
Учащиеся отвечают на вопрос
Фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало.
Угол АОВ называется центральным углом, а угол АСВ вписанным
У угла АОВ вершина лежит в центре окружности, у угла АСВ на окружности.
Открытие нового знания
Работа с учебником
Откройте учебник на странице 52 и найдите определение центрального и вписанного угла
Ученики отвечают на вопрос учителя, обосновывают свой ответ.
Самостоятельно работают с учебником и формулируют понятие центрального и вписанного угла.
Какая дуга заключена между сторонами угла?
Говорят, что угол АОВ опирается на дугу АВ.
Чему равна градусная мера окружности?
В чем измеряются углы?
Если угол опирается на дугу, в чем измеряется дуга окружности?
А В Рисунок на доске
Учащиеся отвечают на вопрос
Градусная мера дуги АВ равна градусной мере угла АОВ
Для снятия утомления с плечевого пояса и рук
Сидя или стоя, руки на поясе. Правую руку вперед, левую вверх. Переменить положение рук. Повторить 3-4 раза, затем расслаблено опустить вниз и потрясти кистями голову наклонить вперед. Темп средний
Стоя или сидя, кисти тыльной стороной на поясе. Свести локти вперед, голову наклонить вперед, локти назад, прогнуться. Повторить 6-8 раз, затем руки вниз и потрясти расслаблено. Темп медленный.
Сидя, руки вверх. Сжать кисти в кулак, разжать кисти. Повторить 6-8 раз, затем руки расслаблено опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний
Учащиеся выполняют указания учителя
Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, которая составляет 1/6 окружности;1/10 окружности,1/2 окружности, 2/9 окружности
– Начертите окружность, используя трафарет окружности.
( слайд № 5, № 6 )
– Что произошло с окружностью?
– Чему равна градусная мера длин этих дуг?
– Какую часть составляет каждая из этих дуг от всей окружности?
– Подумайте, как можно назвать эти дуги?
Работа на карточках в парах с последующим обсуждением у доски
( слайд № 7, 8, 9, 10 )
Учащиеся отвечают на вопросы, обсуждая вместе с учителем
Учащиеся рисуют рисунок в тетради
Отвечают на вопросы:
Поделилась на 2 равные части.
Учащиеся работают парами, обсуждая решение.
Ответы вписывают в карточки
Постановка проблемной ситуации
Учитель приглашает к доске одного ученика, который вместе с классом отвечает на поставленные вопросы и выполняет на доске необходимые построения
Какой угол изображен на рисунке?
На какую дугу опирается данный угол?
Какой ещё угол можно нарисовать, опирающийся на эту же дугу?
Попробуйте сравнить эти углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Как можно определить величину вписанного угла, зная величину дуги, на которую он опирается? (Учитель выслушивает гипотезы учащихся)
Подводим итог рассуждений
Учебник, Теорема 9.1
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Учащиеся высказывают предположения
Учебник, № 285 (Устно)
Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна 1) 84º 2) 110º 3) 230º4) 340º.
Учащиеся отвечают на вопросы задачи
Самостоятельная работа с самопроверкой.
В На рисунке АВ=74º,АВС=68º. Найдите ВС.
Учащиеся самостоятельно решают задачу.
Решение проверяют у доски
Учитель просит учеников оценить по пятибалльной шкале понимание учебного материала, пройденного на этом уроке, записав в виде числа на стикере и приклеить его к доске.
Учитель подводит итог урока, спрашивая у учащихся, с какими понятиями они сегодня познакомились и что ещё узнали нового
Отвечают на вопросы
Вопросы стр. 56, № 280, № 287, № 307 – дополнительная задача, для подготовки к изучению нового материала.
Выбранный для просмотра документ Центральные и вписанные углы.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Верны ли утверждения? Угол, градусная мера которого больше 90º, называется тупым ДА Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности называется диаметром окружности НЕТ радиусом Прямая , которая имеет две общие точки с окружностью, называется касательной НЕТ 1 общую точку Радиус окружности в два раза больше диаметра НЕТ Диаметр радиуса.
Элементы окружности М ОВ- ? АМ- ? АВ- ? АС- ? радиус диаметр хорда С касательная L
Дуга окружности М
Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? Центральный угол Вписанный угол Составьте определение этих углов. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Устное решение задачи x 120 №1 О Найдите х
Найдите Х Х №2 О Устное решение задачи
Найдите Х x 45 №3 О
О x 30 15 №4 Найдите Х
Краткое описание документа:
Актуален вопрос: “Что такое современный урок?”. Этот вопрос интересует не столько нас, преподавателей, сколько самих учащихся.
Вот что об этом они говорят. “Современный урок – это понятный для нас урок.
“Современный урок – это весёлый, познавательный, интересный и нетрудный урок, на котором учитель и ученик свободно общаются”. “Современный урок – это разнообразный урок”. “Современный урок – это урок, на котором выслушивают любое твоё мнение, урок, где человек учится быть человеком”.
“Современный урок – это урок, на котором чувствуешь себя уверенно, и на нём не бывает стрессов”. “Современный урок - это урок, на котором решаются задачи, которые готовят нас к жизни”.
Интересный урок можно создать за счёт следующих условий: личности учителя (очень часто даже скучный материал, объясняемый любимым учителем, хорошо усваивается); содержания учебного материала (когда ребёнку просто нравится содержание данного предмета); методов и приёмов обучения. Если первые два пункта не всегда в нашей власти, то последний – поле для творческой деятельности любого преподавателя.
Центральный угол в окружности — плоский угол с вершиной в его центре.
Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности^ стороны пересекают эту окружность.
Свойства вписанного угла. Радианная мера углов
Свойства вписанного угла:
1. Вписанный угoл равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угoл, опирающийся на диаметр, является прямым.
3. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.
Радианная мера углов
1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. 1 радиан = примерно 57°.
• Угол с вершиной за окружностью (стороны которого пересекают окружность) равен половине разности дуг, лежащих внутри угла.
• Угол,образованный касательной и хордой, с проведенной в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри угла.
• Угол между двумя касательными к окружности, проведенными через одну точку, равен половине разности дуг, ограниченных его сторонами.
Читайте также: