Закон стокса кратко и понятно
Обновлено: 03.07.2024
В 1851 году Джордж Стокс, решая уравнение Навье — Стокса, получил выражение для силы трения (также называемой силой лобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькими числами Рейнольдса (например, очень маленькие частицы) в покоящейся вязкой жидкости:
Если частицы падают в вязкой жидкости под действием собственного веса, то установившаяся скорость достигается, когда эта сила трения совместно с силой Архимеда точно уравновешиваются силой гравитации. Хотя в классической формулировке закон Архимеда выполняется только в статическом случае, а не для движущихся тел [1] , в данном случае выражение для силы Архимеда сохраняет традиционный вид. Результирующая скорость (Стокса) равна
Формулу определения вязкости Стокс вывел ещё в 1851 году.
Он получил выражение, описывающее действие силы трения (лобового сопротивления) на круглый объект, движущийся в вязкой жидкости с небольшим числом Рейнольдса.
Чтобы понять, как определять вязкость жидкости методом Стокса необходимо узнать теоретическое описание процесса, вывод формулы и сам описание самого метода.
Всё это и конкретные методы описаны далее в статье.
Содержание статьи
Что такое вязкость
Сама по себе вязкость это свойство жидкости сопротивляться сдвигу слоев. Такой сдвиг выражается в том, что при относительном перемещении слоёв жидкости тот слой, что движется медленнее тормозит слой, который движется быстрее и наоборот.
Вязкость проявляется в наличии между молекулами жидкости сил притяжения, которые пытаются сдерживать движение слоев при перемещении одной части жидкости относительно другой.
По природе все жидкости являются вязкими, потому что между молекулами существуют силы притяжения и отталкивания. Если один слой жидкости вывести из равновесия и сдвигать его относительно другого с некоторой скоростью, то силы взаимного притяжения молекул будут пытаться тормозить это движение.
Движение тела в жидкой среде
Когда твердое тело попадает в жидкость, оно сталкивается с некоторым сопротивлением. Происхождение сил сопротивления жидкости в этом случае может быть объяснено двумя разными механизмами.
Механизм №1 - За твердым телом нет вихрей
Если скорость движения твердого тела маленькая и за ним не образовывается завихрений, то силы сопротивления жидкости характеризуются только вязкостью.
В таком случае слои жидкости, которые прилегают к этому твердому телу, движутся вместе с ним. Но слои жидкости, граничащие с первыми слоями, тоже приходят в движения из-за сил молекулярного притяжения (сцепления).
Таким образом образуются силы, которые затормаживают относительное движение твердого тела в жидкости.
Механизм №2 - При движении тела образуются вихри
Завихрения вокруг твердого тела образуются из-за различия скоростей движения жидкости перед телом и за ним. При этом давление в стационарном потоке жидкости изменяется таким образом, что в области вихрей оно существенном меньше.
Разность давлений в областях перед твердым телом и за ним создает противоположную по направлению движения силу лобового сопротивления жидкости. Эта сила тормозит движение твердого тела.
Сила сопротивления
В случае, когда движение твердого тела в жидкости происходит без образования вихрей, т.е. медленно, сила сопротивления образуется по первому из двух описанных механизмов.
Для тел круглой формы, согласно формуле Стокса, сила сопротивления будет равна:
где μ – вязкость жидкости;
r – радиус шарика;
υ – скорость равномерного движения шарика.
Условие использования формулы
Существует несколько ограничений для применения формулы Стокса.
1. вязкая среда не ограничена стенками и находится в покое
2. скольжений на границах с твердым телом нет
3. движение жидкости ламинарное
4. радиус круглого тела намного больше, чем длина среднего пробега молекул жидкой среды
Формула вязкости
Рассмотрим конкретный случай, когда на шар, движущийся в жидкости действуют три силы:
FT – сила тяжести;
FA – сила Архимеда (выталкивающая сила);
TC – сила лобового сопротивления.
Для круглого шарика сила тяжести будет:
где r –радиус шара;
ρ – плотность шара;
ρ0 – плотность жидкости;
g – ускорение свободного падения;
υ – скорость равномерного движения шарика;
μ – вязкость жидкости.
В жидкости выталкивающая сила и сила тяжести постоянны. Сила лобового сопротивления пропорциональна скорости движения шарика и на первых этапах она существенно меньше силы тяжести.
При дальнейшем движении шарика наступает момент, когда все три силы уравновешиваются и тогда:
или подставляя формулы
таким образом, определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса сводится к формуле
Определение вязкости методом Стокса
Для того чтобы определить вязкость методом Стокса используют высокий сосуд цилиндрической формы.
На сосуд наносят метки А и В. Такие метки располагаются на заведомо известном расстоянии l друг от друга.
Затем в сосуд наливают исследуемую жидкость выше верхней метки А на 4 – 5 сантиметров. Это необходимо для того, чтобы во время прохождения шариком первой метки его скорость можно было считать установившейся.
Далее шарик бросают в сосуд и секундомером определяют время за которое он проход расстояние от метки А до метки В.
Учитывая, что скорость это отношения длины пути ко времени, т.е.:
и заменяя радиус шарика его диаметром d и определяет коэффициент вязкости жидкости методом стокса
Указанная выше формула применимо в тех случаях, когда шар падает в безграничной среде. Если он падает вдоль оси трубки диаметром R0 (как в этом случае) необходимо ввести поправки на радиус сосуда.
При падении шара радиусом r в трубе радиусом R0 и высотой h формула будет выглядеть
Исходя из всего вышесказанного получаем, что определение вязкости жидкости методом Стокса требует значения таких параметров, как:
плотность материала шарика;
плотность жидкости;
радиус шарика;
радиус сосуда;
скорость движения шарика.
Видео про методы определения вязкости
Вязкость – это важная характеристика жидкой среды. Её необходимо учитывать при перекачке жидкостей и газов по трубопроводам, смазке машин и механизмов, разливке расплавленных металлов.
Для определения вязкости используют специальные приборы вискозиметры и специальные методы определения. Каждый из методов определения вязкости характеризуется своим набором условий применения.
Но независимо от метода общими остаются:
1. результат измерение не должен зависеть от линейных размеров вискозиметра.
2. не должно быть пристеночного скольжения жидкости.
3. поток жидкости в используемом вискозиметре должен быть ламинарным.
Причиной этого закона является то, что сила сопротивления среды зависит от скорости движения тела, причём с ростом скорости растёт и сила сопротивления. Если начальная скорость тела равна нулю, то в начале падения на тело действуют только две силы: сила тяжести G, направленная вниз, и сила Архимеда (выталкивающая сила) FА, направленная вверх. Если сила тяжести больше силы Архимеда, то тело падает вниз (тонет) с ускорением, пропорциональным разности . Скорость падения растёт, а с ней растёт и сила сопротивления Fс, направленная против скорости тела, то есть вверх. В некоторый момент времени величина силы сопротивления достигает значения , при этом суммарная сила, действующая на тело, обращается в нуль. В результате и ускорение тела становится равным нулю, то есть скорость перестаёт расти. Поскольку скорость не меняется, то и сила сопротивления, достигнув уровня , перестаёт нарастать. Следовательно, нет причин для того, чтобы у тела снова появилось ускорение, которое могло бы изменить скорость движения тела.
Выясним, по какой формуле можно рассчитать скорость равномерного падения шарика в жидкости. Условием равномерного движения является равенство
. (3.13)
Силу тяжести можно найти по формуле
, (3.14)
где ρ – плотность вещества, из которого сделан шарик, V – объём шарика, g – ускорение свободного падения. Силу Архимеда можно найти из закона Архимеда:
, (3.15)
Подстановка формул (3.12), (3.14) и (3.15) в условие (3.13) даёт:
. (3.16)
Так как объём шара связан с его радиусом формулой , то из (3.16) следует:
. (3.17)
Всякое тело, падающее в жидкости или газе, сначала разгоняется, но затем разгон прекращается, и тело движется равномерно, то есть с постоянной скоростью.
Причиной этого закона является то, что сила сопротивления среды зависит от скорости движения тела, причём с ростом скорости растёт и сила сопротивления. Если начальная скорость тела равна нулю, то в начале падения на тело действуют только две силы: сила тяжести G, направленная вниз, и сила Архимеда (выталкивающая сила) FА, направленная вверх. Если сила тяжести больше силы Архимеда, то тело падает вниз (тонет) с ускорением, пропорциональным разности . Скорость падения растёт, а с ней растёт и сила сопротивления Fс, направленная против скорости тела, то есть вверх. В некоторый момент времени величина силы сопротивления достигает значения , при этом суммарная сила, действующая на тело, обращается в нуль. В результате и ускорение тела становится равным нулю, то есть скорость перестаёт расти. Поскольку скорость не меняется, то и сила сопротивления, достигнув уровня , перестаёт нарастать. Следовательно, нет причин для того, чтобы у тела снова появилось ускорение, которое могло бы изменить скорость движения тела.
Выясним, по какой формуле можно рассчитать скорость равномерного падения шарика в жидкости. Условием равномерного движения является равенство
. (3.13)
Силу тяжести можно найти по формуле
, (3.14)
где ρ – плотность вещества, из которого сделан шарик, V – объём шарика, g – ускорение свободного падения. Силу Архимеда можно найти из закона Архимеда:
, (3.15)
Подстановка формул (3.12), (3.14) и (3.15) в условие (3.13) даёт:
. (3.16)
Так как объём шара связан с его радиусом формулой , то из (3.16) следует:
. (3.17)
Закон Стокса справедлив для частиц очень малого размера, осаждающихся с малой скоростью (ламинарный режим), когда на сопротивление движению частицы оказывает влияние только вязкость среды. С увеличением размера и скорости осаждения частиц линейный закон нарушается. Это вызывается возникновением турбулентности при обтекании движущейся частицы жидкостью, когда помимо вязкости на движение частицы начинают оказывать влияние инерционные силы.[ . ]
Закон Стокса справедлив лишь при очень малых размерах скорости падения или подъема частицы, т. е. при ламинарном режиме потока жидкости, обтекающей частицу. Практическая применимость этого закона ограничивается значением критерия Рейнольдса Re=0,5-f- 1, чему соответствует, например, осаждение в воде кварцевой частицы размером d 3) раствором соляной кислоты. Далее выделение фракций > 0,25 мм (при наличии мелкоячеистых сит с размером ячеек > 0.05 мм) осуществляется рассеиванием на ситах, более тонких фракций - отмучиванием с многократным сливом суспензии через определенные временные интервалы, определенные по закону Стокса (см. Гранулометрический анализ).[ . ]
Читайте также: