Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям кратко

Обновлено: 30.06.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными…………………………..

2.Линейные дифференциальные уравнения первого

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

3.Дифференциальные уравнения второго порядка………….…

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

Математическое описание самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные этой функции. Такого рода уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями. (В дальнейшем будем называть их дифференциальными уравнениями). Если в дифференциальное уравнение входит только независимая переменная, функция и её первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем виде его можно записать так:

если оно решается относительно производной, то его можно записать так:

Если дифференциальное уравнение содержит ещё и производную второго порядка от искомой функции, то оно на- зывается дифференциальным уравнением второго порядка:

Основную трудность при решении задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующего закона физики, химии, зоологии, биологии и умение переводить эти задачи на математический язык.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Задача 1. Найти закон движения свободно падающего в пусто-

те тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Скорость переменного движения есть производная по времени. Поэтому = gt (1.1)

Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции gt . Следовательно, или (1.2)

Для определения произвольной постоянной С используем то условие, что начало отсчёта пути совпадает с началом отсчёта времени, то есть при t = 0 s = 0. Подставляя эти значения в равенство (1.2), находим 0 = 0+С, то есть С = 0, и следовательно, окончательно получаем .

Задача 2. (Об охлаждении тела). Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20 0 С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100 до 60 0 С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени t .

Согласно условию задачи имеем или

где k >0 – коэффициент пропорциональности и x = - 20.

Разделяя в уравнении (1.3) переменные и затем, интегрируя, получаем

что после потенцирования даёт .

Для определения С используем начальное условие x = 80 при

Следовательно, или откуда

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополни - тельного условия: при t = 20, = 60. Отсюда 60=20+80 или

Итак, искомая функция .

Задача 3. (О движении моторной лодки). Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью . На полном ходу её мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Определить скорость движения лодки через 2 мин. после остановки мотора.

На движущуюся лодку действует сила сопротивления воды

где >0 – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны по второму закону Ньютона

Решим это дифференциальное уравнение, разделяя переменные и интегрируя, получим:

После потенцирования получаем:

Найдём С, используя начальное условие при t = 0:

Теперь, используя дополнительное условие – при t = 40 c = - получаем или

Отсюда искомая скорость равна:

Задача 4. (О потере заряда проводником). Изолированному проводнику сообщим заряд Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t = 10 мин., если за первую минуту потеряно 100 Кл?

Пусть в момент времени t заряд проводника равен . Тогда скорость потери заряда в этот момент времени равна - . По условию задачи или ,

где >0 – коэффициент пропорциональности.

Решим последнее уравнение – это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Потенцируя, последнее уравнение получим:

Используя начальное условие при t = 0, найдём С:

Далее, используя дополнительное условие – при t = 1 мин. , имеем ,

Следовательно, через 10 минут на проводнике останется заряд

Задача 5. (Заряд конденсатора). Конденсатор ёмкостью С включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R . Определить заряд конденсатора в момент времени t после включения.

Сила I электрического тока представляет собой производную от количества электричества q , прошедшего через проводник, по времени t В момент t заряд конденсатора q и сила тока в цепи действует электродвижущая сила Е, равная разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора то есть

Согласно закону Ома

то есть, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

используя начальное условие x = С U при t =0, получим: или

Задача 6. (Падение с парашютом). Составить закон движения парашютиста, масса тела которого равна m .

При падении тел в безвоздушном пространстве их скорость равномерно увеличивается. Иначе обстоит дело, если падение происходит в воздухе. Будем для простоты считать, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости падения. Сила F , действующая на тело массы m , равна (знак минус перед поставлен потому, что сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную направлению падения). Далее, так как по второму закону Ньютона , где - ускорение, получаем уравнение:

с начальным условием при t = 0. Отсюда, вводя обозначе- ние , получаем с начальным условием при t = 0, то есть имеем уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием при t = 0.

Значит или откуда

По прошествии некоторого времени станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна , то есть падение станет равномерным.

Теперь найдём закон движения парашютиста s = s ( t ). Для этого перепишем найденное выражение для скорости в виде

что после интегрирования

где С – производная постоянная. Для отыскания С заметим, что при t = 0 пройденный путь равен нулю, то есть при t = 0 имеем

Подставляя эти значения в последнее равенство, получаем

, т.е. . Итак, закон движения парашютиста имеет вид

Задача №7 (О прожекторе). Определить форму зеркала, обладающего тем свойством, чтобы все лучи, исходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси.

Для решения задачи будем рассматривать плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (см. рис. 1). Обозначим через угол, образованный осью Ох и касательной AS в произвольной точке сечения М (х; у).

Наша цель найти форму сечения, то есть зависимость координаты у от координаты х: у=у(х). Ломанная ОМТ изображает путь луча, исходящего из источника света в точке О и отражающегося в точке М от поверхности зеркала параллельно оси Ох. Проведём нормаль М N и опустим из точки М на ось Ох перпендикуляр МР. Так как (угол падения равен углу отражения), имеем .

Следовательно, NOM – равнобедренный и поэтому ОМ = О N . Кроме этого, по построению . Можно переходить к составлению дифференциального уравнения:

О N = Р N – PO, PN= ytg, PO = -x, ON=OM=,

Учитывая геометрический смысл производной: , получаем для определения зависимости у от х дифференциальное уравнение первого порядка

Для нахождения решения уравнения преобразуем его следующим образом. Умножаем обе части равенства на 2 dx :

Подстановкой приводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными .

которое преобразуется к виду

Заменяя переменную z её выражением через х и у, получаем

Упрощая полученное уравнение возведением в квадрат обеих его частей, получаем

Таким образом, искомая кривая – парабола с параметром р = С и вершиной, лежащей на расстоянии влево от начала координат (см. рис. 2). Следовательно, искомая отражательная поверхность – параболоид вращения.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого

Скорость v , путь s и время t связаны уравнением . Найти закон движения, если при t = 0 s = 2.

Так как ,то подставляя это значение v в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение движения:

или - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли, применив подстановку , где , ; , получаем

Сгруппировав члены, содержащие u и вынеся за скобки общий множитель, получим

Выражение в скобках приравняем к нулю:

Для отыскания u имеем уравнение:

По условию при t=0 s =2 и поэтому С=2. Таким образом, искомый закон движения .

В помещении для крупного рогатого скота работают 2 вентилятора, каждый из которых в минуту доставляет по 60м 3 чистого воздуха, содержащего 0,01% углекислоты. Полагая, что в коровнике объёмом 1600м 3 с начальным содержанием углекислоты в 0,2% находится 120 коров, каждая из которых выдыхает в минуту 0,1м 3 воздуха с 5% углекислоты, определить наличие углекислоты в 1м 3 воздуха после двухчасового содержания животных в помещении.

Пусть содержание углекислоты в 1м 3 воздуха в момент времени t есть y ( t ) (в дальнейшем y ). Скорость изменения концентрации равна приращению углекислоты у, делённому на соответствующий промежуток времени t ; у определяется углекислотой:

выделяемой при дыхании 120 животных,

вводимой вентилятором на каждый кубометр,

удаляемой за счёт работы вентиляторов

Как видим, скорость изменения содержания углекислоты пропорциональна у. Перейдя к пределу при , имеем:

. Получено линейное дифференциальное уравнение. Находим его решение. Имеем:

Обозначим тогда Примем следующее обозначение: и подставим в последнее уравнение. В результате получим:

Положим Тогда, учитывая, что , имеем

Определим произвольную постоянную С. При t = 0 согласно условию задачи у = 0,002.

Если t = 120, то у0,00517, так как второй член очень мал

Таким образом, количество углекислоты в 1м 3 (концентрация) увеличится в раза и в дальнейшем увеличиваться уже не будет благодаря работе вентиляторов.

Задачи для самостоятельного решения.

Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением

Найти путь, пройденный им за 6с от начала движения.

Скорость прямолинейного движения тела . Определить путь его за третью секунду.

Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10с тело проходит 100м, за 15с – 200м. Какой путь пройдёт тело за время t ?

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20 0 С, и тело в течение 20 мин. Охлаждается от 100 до 60С, то через сколько времени его температура понизится до 30 0 С?

Для сохранения спермы самцов – производителей, её на длительное время замораживают и держат при температуре -4 0 С. За сколько времени сперма охладится до 0 0 С, если её начальная температура 30 0 С и известно, что за 20мин. в термостате она охлаждалась до 20 0 С? Скорость охлаждения прямо пропорциональна разности между температурой тела и температурой в термостате.

Найти закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря.

Опытным путём установлено, что при брожении кормов скорость изменения массы (прироста) действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Найти закон изменения массы фермента в зависимости от времени.

Скорость сокращения мышцы описывается уравнением

где х₀ – полное сокращение мышцы;

- постоянная величина, зависящая от нагрузки;
х – сокращение мышцы в данный момент.

Найти закон сокращения мышцы, если х = 0 при t = 0.

3.Дифференциальные уравнения второго порядка.

Тело движется прямолинейно с ускорением

Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.

Решая данное уравнение, как уравнение типа , получаем

Теперь, используя начальные условия s (0) = 0, , находим: С ₂ = 0, С ₁ = 0.

Материальная точка массой m движется по прямой линии к центру О, притягивающему её силой , где r – расстояние от точки до центра. Движение начинается с состояния покоя при r = a . Найти время, за которое точка достигает центра.

По условию задачи в любой момент времени t на точку действует сила . (Иначе сила = масса ускорение). Ускорение равно . Получаем дифференциальное уравнение: или - дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной и производной первого порядка искомой функции.

Обозначим . Тогда и последнее уравнение перепишем в виде дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя будем иметь:

Откуда (перед радикалом ставится знак минус, так как по смыслу задачи функция r убывает и ).

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальныыми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения у' = f(x) является функция у = F(x) — первообразная для функции f(x).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение у'" — Зу" + 2 у = 0 — обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение х 2 у' +5ху = у 2 — первого порядка; у× z'_х = х× z'_y — ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

б) Задачи, приводящие к ДУ

Задача 1 Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени.

Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): m× а = F, где а = V'(t) — есть ускорение движущегося тела, F — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае F = - kV 2 , к > 0 — коэффициент пропорциональности (знак минус заказывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференциального уравнения

здесь m – масса тела.

Как будет показано ниже (пример 5),

Физические задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения

А) Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Так, решением уравнения у' = f(x) является функция у = F(x) — первообразная для функции f(x).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

б) Задачи, приводящие к ДУ

Материальная точка массы замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если , a .

Решение:

Примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией , т. е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где — есть ускорение движущегося тела, — результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае — коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается. Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения или . Здесь — масса тела.

Как будет показано ниже (пример 48.5), , где . Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры и . Согласно условию задачи, имеем: и . Отсюда . Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому .

Задача 2

Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отреза любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение:

Пусть — произвольная точка кривой, уравнение которой . Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис. 212).

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: есть угловой коэффициент касательной; в точке он равен , т. е. .

Из рисунка видно, что . Но

. По условию задачи , следовательно, .

Таким образом, получаем или . Решением полученного дифференциального уравнения является функция (гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4).

Другие задачи

Можно показать, что:

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Найди готовую курсовую работу выполненное домашнее задание решённую задачу готовую лабораторную работу написанный реферат подготовленный доклад готовую ВКР готовую диссертацию готовую НИР готовый отчёт по практике готовые ответы полные лекции полные семинары заполненную рабочую тетрадь подготовленную презентацию переведённый текст написанное изложение написанное сочинение готовую статью

Италия: исторический опыт организации системы здравоохранения, соц.обеспечения, пенсионного обеспечения

Электронная лекция на тему:

«Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Студентка: Мирошина Виктория

Преподаватель: Литвинова И.А.

Рекомендуемые материалы

Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. - Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (1978)

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функцияy(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x). y (n) (x) до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,fracy>. fracy>right)=0" />
,

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

$F left(x_1, x_2,dots, x_m, z, frac , frac,dots, frac, frac, frac, frac,dots,fracright)= 0$
,

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.

y'' + 9y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C₁cos(3x) + C₂sin(3x)), где C₁ и C₂ — произвольные константы.

$m frac<d^2 x> Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения = F(x,t)$
, где m — масса тела, x — его координата, F(x,t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

$frac<partial<> Колебание струны задается уравнением ^2 u>=a^2 frac$
, где u = u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

Частное решение дифференциального уравнения

Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решениеоднородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

— конкретные числа, то функция вида

называется общим решением дифференциального уравнения.

$frac <dy> Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде = y$
, имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

$frac <dy> = f(x) g(y)$
.

$frac <dx> Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на$
:

$frac <dy> = f(x) dx$
.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x₀y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

$intlimits_<y_0> ^frac = intlimits_^f(x) dx$
.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).

Значения x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

$int frac <dy> = int f(x) dx$
.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

$frac <dy> Решить дифференциальное уравнение = left (x + 1right ) cos^2 y$
.

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

$int frac <dy> = int left (x + 1 right ) dx$
,

$operatorname<tg> y = frac 2 + x + C$
.

Осталось лишь выразить y через x:

Найдем также нулевые решения:

$cos^2 y = 0 Leftrightarrow y = frac <pi> 2 + pi n, n in mathbb Z$
.

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна m, с топливом — m₀. Скорость выброса топлива относительно ракеты равна u. Ракета движется вдали от звезд и планет.

Пусть ракета движется вдоль оси Ox (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива ( − dm). При этом скорость ракеты увеличивается на dv. Запишем закон сохранения импульса в проекции на Ox:

mv = ( − dm)(v − u) + (v + dv)(m + dm).

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

mdv = − udm − dvdm.

Величина dvdm — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

mdv = − udm.

$intlimits_0^v frac dv = intlimits_^m - frac dm$
,

$left . frac <v> right |_0^v = left . -u ln m right |_^$
,

$v = u ln frac <m_0> $
.

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским.

$v = u ln frac <m_0> Ответ:$
.

Пружина жесткостью k с прикрепленным к ней грузом массой m находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси Ox. В начальный момент времени грузу сообщают скорость v₀ вдоль Ox. Найти зависимость координаты груза от времени.

В произвольный момент времени координата груза равна x, скорость — v (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

$frac <mv^2> 2 + frac 2 = frac 2$
.

Выполним следующие преобразования:

$v^2 = v_0^2 - frac k m x^2$

$v = v_0 sqrt <1 - frac k m frac <x^2> >$
.

Введя обозначение и записав скорость в виде " />
, получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

$frac <dx> = v_0 sqrt right )^2>$
.

Для этого выполним замену = sin z" />
. Тогда right )^2> = sqrt = cos z" />
. Выразим дифференциал dx: sin z" />
, dz = left (frac sin z right )" />
. Теперь интегрируем:

"2.3 Кривые Безье" - тут тоже много полезного для Вас.

. Подставляя в уравнение, имеем:

$left . frac arcsin frac right | _0 ^x = left . v_0 t right | _0 ^t$
,

$arcsin frac<omega x> = omega t$
,

$x = frac <v_0> sin omega t$
.

$frac <v_0> Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен$
. Он часто обозначается буковой A и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи механики, физики, астрономии и других естественных наук, а также многие проблемы техники. Поясним на примерах, как возникают в исследованиях дифференциальные уравнения.

Задача 9.1.1.Найти уравнение кривой линии, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть M(x, y) точка касания. Так как равен тангенсу угла наклона к оси OX касательной, проведенной в точке кривой, то уравнение касательной будет следующим

Положим X = 0, тогда

и точка В имеет координаты . По условию точка касания делит отрезок АВ пополам, поэтому , . Последнее равенство принимает вид:

Соотношение является примером дифференциального уравнения. Оно содержит наряду с неизвестной функцией y и ее производную .

Функцию y = y(x) ¹ 0 из уравнения легко найти:

где С – произвольная константа (постоянная интегрирования), удобно ее взять в виде ln C. Тогда

Заметим, что уравнению удовлетворяет целое семейство кривых , зависящих от параметра С. Чтобы выделить какую-то одну кривую из семейства , надо указать константу С. Для этого достаточно задать на плоскости XOY точку (x₀, y₀), через которую эта кривая проходит. Тогда постоянную С, соответствующую этой кривой, найдем, положив в равенстве y = y₀ при x = x₀. Пусть y = 2 при x = 1, тогда

Таким образом, искомая кривая семейства , проходящая через точку (1, 2), определяется равенством

Задача 9.1.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Определить закон движения, предполагая, что тело движется только под влиянием силы тяжести.

Решение. Под влиянием силы тяжести тело движется с постоянным ускорением g. Ввиду того, что ускорение выражается производной второго порядка от пути по времени, из

Получили дифференциальное уравнение, содержащее производную 2-го порядка.

Интегрируя дважды, получим

Постоянные С₁ и С₂ определим из начальных условий.

Так как отсчет пути ведется от начального момента, то при t = 0

S = 0 и, следовательно, С₂ = 0.

Так как при t = 0 начальная скорость , то из уравнения получаем C₁ = v₀.

Итак, зависимость пройденного телом пути S от времени t:

Задача 9.1.3.Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна А₀. Найти стоимость оборудования по истечении Т лет.

Решение. Пусть A = A(t) - стоимость оборудования в любой момент времени t. Тогда - скорость обесценивания оборудования вследствие его износа. Из условия задачи следует, что

где k – коэффициент пропорциональности, взятый со знаком минус, так как стоимость убывает.

Из следует Þ Þ . Потенцируя, получаем:

Начальное условие: при t = 0 А = А₀, поэтому , C = A₀. Подставляя C = A₀ в , получаем

Чтобы найти стоимость оборудования по истечении Т лет, подставляем в t = Т.

Как показано в рассмотренных примерах, если мы сумеем проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, то тем самым дадим ответы на вопросы задачи, которая привела нас к нему.

Поэтому основной задачей теории интегрирования дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

Заметим, что задачу интегрирования дифференциального уравнения можно понимать по-разному. В самой узкой постановке задачи ставится целью выражение искомых функций через элементарные функции. Эта задача, вообще говоря, не разрешима даже для самого простого уравнения , ибо, как известно, не всегда первообразная для элементарной функции представляет собой тоже элементарную функцию. В качестве примера можно взять уравнение

Несколько шире постановка задачи, при которой уравнение считается разрешенным, если оно приведено к квадратурам (т.е., к операциям взятия неопределенных интегралов). В этом смысле уравнение , очевидно, разрешимо. Все решения этого уравнения содержатся в формуле

Однако следует отметить, что уравнения, интегрируемые в квадратурах, составляют лишь незначительную часть всех дифференциальных уравнений. Так, например, очень важное во многих приложениях уравнение Бесселя

в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду любого заданного дифференциального уравнения, независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или в квадратурах.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Определение 9.2.1.Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y(x) и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно).

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

Если уравнение можно записать в виде

то будем говорить, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной. Оно называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Определение 9.2.2.Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, входящей в уравнение.

Так, соотношения и – дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение – второго порядка, а уравнение является дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Определение 9.2.3.Решением (или интегралом)дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Пример 9.2.1.Пусть дано уравнение .

Функция y = sin x, y = 2cos x, y = 3sin x - cos x и вообще функции вида y = C₁sin x, y = C₂cos x или y = C₁sin x + C₂cos x являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных С₁ и С₂; в этом легко убедиться, подставив указанные функции и их вторые производные в уравнение.

Всякому решению дифференциального уравнения или на плоскости отвечает некоторая кривая

y = y(x), x Î (a, b),

которая называется интегральной кривой (линией) дифференциального уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесчисленное множество решений (задачи 9.1.1 – 9.1.3 и пример 9.2.1 подтверждают это). Чтобы выделить какое-то одно решение дифференциального уравнения, необходимо задание некоторых дополнительных условий. Таким условием для уравнения является задание точки (x₀, y₀) плоскости XOY, через которую должна проходить интегральная кривая этого уравнения. В задаче 9.1.2 для дифференциального уравнения этими условиями явились начальный путь S = 0 при t = 0 и начальная скорость v = v₀ при t = 0. В задаче 9.1.3 – начальная стоимость оборудования А = А₀ при t = 0.

Читайте также: