Задачи на линейные функции начальная школа

Обновлено: 02.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Изучение линейной функции в курсе алгебры.

Валикова Мария Викторовна

При выполнении этих заданий учащиеся смогут продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках .

Материал представляет собой сборник заданий. Сборник можно использовать при подготовке к урокам, в индивидуальной и групповой работе с учениками, а также при проведении консультаций и дополнительных занятий.

Важно!

Запомните!

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Важно!

Отметим полученные точки на системе координат.

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Как найти точки пересечения графика с осями

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните!

Важно!

Учитель. Тема сегодняшнего занятия - “Линейная функция. Решение практических задач”. Исходя из формулировки темы, какие цели вы должны поставить перед собой на сегодняшний урок?

Ученики: необходимо повторить весь теоретический материал и применить его для решения задач.

(на доске появляется слайд с целями урока)

Для достижения целей урока будем идти следующим маршрутом (на доске появляется слайд с этапами урока)

Учитель:

Для разминки ума – Математический тренажер. Ответы дети пишут в тетрадь, в конце урока тетради сдаются.

В группе по 6 человек, поэтому каждый начинает работать со своего столбика и потом плавно переходит дальше…

Работа продолжается 3 минуты.

Учитель:. В конверте – пакет документов, прежде, чем выполнять задание, необходимо их изучить. Познакомьте с ними

Учитель: Приступайте к выполнению задания:

- откройте папку на рабочем столе со шпаргалкой,

- просмотрите весь материал, который я для вас приготовила, и который поможет вам быстро вспомнить теоретический материал, который вам известен на сегодняшний день по данной теме.

(идет просмотр презентации (Приложение №1) 1-2 минуты)

(смотри презентацию в приложении )

Далее учащиеся выполняют предложенные задания (см. Приложения №2, №3, №4, №5)

Работа продолжается 12-15 минут.

Учитель:

Для выступления 1 группы высвечивается слайд с предложенным ей заданием, и ученики у доски дают ответы;

Для выступления второй группы – слайд с их заданием;

Третья группа представляет свое решение на ватмане, прикрепив его на доску и после этого – слайд с вопросами для группы по построенному графику;

Четвертая группа выполняет задание на отдельных листах и представляет свою работу у доски.

Учитель:

Оцените себя, используя оценочные листы. (дается время)

А сейчас оцените свою работу в группе и старший в группе поставит вам баллы, которые вы заработали, учитывая ваше участие .

Откройте дневники, запишите домашнее задание: №№ 303(г),313 ,341

(дается дифференцированное домашнее задание)

Всем спасибо за урок.

Приложение №2 (Задание для 1 группы)

Откройте папку на рабочем столе “Шпаргалка” и повторите весь теоретический материал, необходимый для сегодняшнего урока
Приступайте к выполнению заданий.

Задание№1

(Обсудите в группе и запишите каждый себе в тетрадь)

у=2х+3
у= -х-6
у=х 3 +4
у=+1
у= - 3х
у=-4

Задание№2

Численность зубров в заповеднике может быть найдена по формуле:
y = 50 +3t, где y - количество особей, а t - время (в годах). Найдите сколько особей будет в данном заповеднике через 3 года. Через сколько лет в этом заповеднике особей будет 65 штук?

Ответ к этому заданию напишите на листе ватмана и оформите в виде таблицы

Задание№3

(дополнительное, выполняется в тетрадях, если останется время,)

Постройте график функции у= 2х+5

3.Защита работы группы у доски в составе 2-х человек. Отвечать нужно только на первые два задания

4.В конце урока – самооценка и оценка группы, согласно внесенного вклада в общую работу

Приложение №3 (Задание для 2 группы)

Откройте папку на рабочем столе “Шпаргалка” и повторите весь теоретический материал, необходимый для сегодняшнего урока
Приступайте к выполнению заданий.

Задание№1

Является ли функция М(m) линейной?
Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15г сухого корма, и рыбка, поедающая 15г живого корма?
Сделать вывод о зависимости М(m). Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и на живом корме?

Сформулируйте грамотные ответы и запишите их в тетрадь.

Задание№2

(Составьте математическую модель для решения задачи).

В организме человека всегда есть определенное число бактерии, их около 10 тысяч. Во время эпидемии гриппа, если больной не принимает антибиотики, то количество бактерий в организме каждый день увеличивается на 100 тысяч.
Сколько бактерий будет в организме человека через 3 дня, через 5 дней?

Будет ли данная зависимость линейной?
Что вы можете сказать о поведении графика данной функции?
Ответьте на поставленные вопросы

4. Защита работы группы у доски: задание №1 - по готовому слайду(слайд уже готов) . Модель к заданию №2 написать на доске и устно ответить на вопросы.

5. В конце урока – самооценка и оценка группы, согласно внесенного вклада в общую работу

Приложение №4 (Задание для 3 группы)

Откройте папку на рабочем столе “Шпаргалка” и повторите весь теоретический материал, необходимый для сегодняшнего урока
Приступайте к выполнению задания.

Задание.

- составьте математическую модель для решения задачи(запишите в тетрадь)

Скалолаз находится на высоте 50 метров. Он начинает спуск со скоростью 5 метров в минуту. На каком расстоянии от земли скалолаз будет находиться через 4 минуты, через 8 минут? Через сколько минут он окажется на земле?

- постройте график данной зависимости (только на ватмане, предварительно обсудив все в группе)

Какие значения может принимать аргумент по условию задачи? Ответ запишите в виде числового промежутка.
Как ведет себя функция при заданных значениях аргумента
Дайте ответы на вопросы задачи

Подсказка для выполнения задания: выберите удачный масштаб и подумайте, что будете отмечать на оси Х(оси абсцисс) и соответственно на оси У

3. Защита группы. Свой ответ нужно оформить на листе ватмана (записать функцию и построить график). Все остальное можно в ходе рассуждения записывать на доске.

4.В конце урока – самооценка и оценка группы, согласно внесенного вклада в общую работу

Приложение №5 (Задание для 4 группы)

Откройте папку на рабочем столе “Шпаргалка” и повторите весь теоретический материал, необходимый для сегодняшнего урока
Приступайте к выполнению задания (разделитесь внутри группы на две части и сразу делайте на ватмане, одна группа под а) вторая –б), предварительно обсудив решение).После этого внимательно рассмотрите все 4 графика и попробуйте сделать вывод(записывать ничего не нужно)

Задание.

Постройте в одной системе координат графики функций
у=х+1 и у = 0,5х
Постройте в одной системе координат графики функций
у = -2х +3 и у = х

Сделайте выводы о взаимном расположении графиков на данных чертежах и подумайте: от чего это зависит?

3. Защита группы. Представление готовых чертежей и устные выводы.

4. В конце урока – самооценка и оценка группы, согласно внесенного вклада в общую работу

Ножки стула похожи на параллельные прямые на графике, а линии паутины — на перекрещенные. Эти ассоциации пригодятся нам, чтобы разобраться с линейной функцией. Поехали!

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х - 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x - 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Читайте также: