Зачем нужны показательные и логарифмические функции кратко

Обновлено: 04.07.2024

Показательной функцией называется функция при условии: и . При этом функция для и строго положительна. Показательная функция быстро возрастает при , причем если , то , а если , то . Если же , то функция быстро убывает, а её поведение противоположно. В любом случае .

Основные формулы для показательной функции аналогичны формулам для степенной функции: 1) , 2) , 3) ,

В математике есть понятие функции, обратной к данной функции , которую иногда обозначают как . Такую функцию получают , выражая из исходной функции через и меняя местами и в последнем выражении: . Графики функций и обратной к ней симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Функцией, обратной к показательной, является логарифмическая функция: . Логарифмическая функция определяется так: - это показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма , чтобы получить данное число . Например, если , а , то . Или, если , а , то . Данное действие, т.е. нахождение числа по его логарифму, называется потенцированием. Логарифм по основанию 10 называется десятичным ( ), а логарифм по основанию числа называется натуральным ( ).

Из выше изложенного следует, что логарифмическая функция определена для , и . Она будет возрастающей для и убывающей для , и в любом случае . Основным показательным тождеством называется тождество: . А основным логарифмическим тождеством - . Они оба вытекают из определения логарифма.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используют следующие основные свойства логарифма, причем приведённые равенства могут быть применены как в ту, так и в другую сторону:

Последнее соотношение может быть использовано и для нахождения с помощью инженерного калькулятора или логарифмических таблиц логарифма по любому основанию, если взять равным или .

Примеры графиков показательной и логарифмической функций даны на рисунке 1.

Основные формулы для показательной функции аналогичны формулам для степенной функции: 1) , 2) , 3) ,

Примеры графиков показательной и логарифмической функций даны на рисунке 1.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

4.4 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Содержание учебного материала:

1.Показательная функция, определение, обозначение.

2. Основные свойства показательной функции.

3.Графики показательной функции и их особенности.

4. Логарифмическая функция, определение, обозначение.

5. Основные свойства логарифмической функции.

6.Графики логарифмической функции и их особенности.

7. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

8.Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

1. Показательной называют функцию вида y = а х , где а – основание, a > 0,а ≠ 1;

х – показатель,

Свойства показательной функции y = а х , а ≠ 1, a > 0

D( х ) = (-∞; +∞),

E(y) = ( 0; +∞) .

Нулей не имеет;

Точка пересечения с осью Оу:(0; 1),т. к. у(0) = а 0 = 1.

При а > 1 функция возрастает; при 0

Ни чётная функция, ни нечётная.

Не ограничена сверху, ограничена снизу прямой у = 0.

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Выпукла вниз.

Графики показательной функции y = а х , а ≠ 1, a > 0

2. Логарифмической называют функцию вида , где а – основание логарифма, а ≠ 1, a > 0;

Свойства логарифмической функции y = log _а х, а ≠ 1, a > 0

D( х ) = ( 0; +∞),

Ни четная функция, ни нечетная.

Нули функции: у = 0 при х = 1;

Точек пересечения с осью ординат Оу нет.

При а > 1 функция возрастает на (0; +∞);

Не ограничена сверху, не ограничена снизу. Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

При а > 1 функция выпукла вверх; при 0

Графики логарифмической функции у = log _a x, а > 0

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 612 444 материала в базе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

18.01.2017 2780
DOCX 76.4 кбайт
71 скачивание
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Карсакова Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

«Какая наука может быть более благородна, более восхитительна,

Б. Франклин

Следуя совету А.М.Горького, всякий, изучающий математику, должен не только вобрать в себя готовые положения этой науки, но и возможно глубже познать те пути, по которым шла человеческая мысль, создавая эти положения.

Поэтому я попытаюсь выяснить историю возникновения, развития логарифмов и значимость логарифмов в жизни человека. Дело в том, что на протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Цель: доказать, что существует практическое применение логарифмов в повседневной жизни.

Задачи:

Изучить литературу по данной теме.

Познакомиться с понятием логарифма и некоторыми свойствами логарифмов.

Провести опрос среди учителей гимназии им. С.В.Байменова и учеников 11-х классов по вопросу применения математики, в частности логарифмов, в жизни человека.

Проанализировать полученные данные.

Сделать вывод о значимости логарифмов в практической деятельности человека.

Гипотеза: Если в математике существует теория логарифмов, то существующая теория должна где-то найти применение.

Объекты исследования: логарифмы и логарифмическая функция.

Предмет исследования: история возникновения логарифмов и некоторые области практического применения логарифмической функции человеком.

Основная часть

Попытаемся более широко показать применение теории логарифмов. Как было подчёркнуто во введении, во-первых, логарифмы сегодня позволяют упрощать вычисления. Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. С помощью логарифмов можно без труда решить задачи на экономику и банковское дело, различные задачи по физике, химии и биологии. Также для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке и т.п. Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский астроном Эдмунд Гюнтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку (рис.2). Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980-х годов, и хотя теперь её практически вытеснили из инженерного обихода микрокалькуляторы, можно смело сказать, что без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль (рис. 4, рис. 5).

Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали.

Любопытно заметить, что иррациональное число = 1,61803398875. ≈ 1.618 - это и есть так называемое "золотое сечение". Золотая спираль - частный случай логарифмической спирали, один из параметров которой связан с золотым сечением.

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия.

Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими.

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали (рис. 8). Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик (рис. 9). И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т. е. угол θ между лезвием ножа и направлением скорости его вращения, остается равным и, следовательно, неизменным в силу постоянства угла μ. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. На рис. 10 представлен нож соломорезки.

Что касается гидротехники, то здесь по логарифмической спирали изгибают трубу, которая подводит поток воды к лопастям турбины (рис. 11). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус-векторов используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рис. 12, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причём одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Звезды, шум и логарифмы

Также для определения интенсивности звука используется формула , где

N- величина громкости, S – сила звука

Применение в сельском хозяйстве

Как оказалось и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов.Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов. – закон, по которому происходит рост животных, где m–масса, - масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.

Применение в информатике

где I -количество информации, N - число равновероятных событий.

В 1948 году американский инженер и математик Клод Шеннон предложил более строгую и объективную количественную меру информации. В основополагающей работе "Математическая теория связи" он утверждал, что

где I – количество информации, N – количество возможных событий, P_{i –} вероятности отдельных событий

Применение логарифмов в механике.

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Экономика банковского дела

В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следует представленная задача: Задача 1. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?

Решение. Через n лет хранения денег их количество составит рублей, используя формулу сложных процентов: , где A-начальная сумма вклада, p-процентная ставка (годовая), n-срок хранения вклада (в годах), а S-накопительная (итоговая) сумма вклада.

Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле

. Значит Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет с небольшим.

Задача 2. Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в pраз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества Bединиц.

Для того чтобы это сделать, сначала напомним, то процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида . Решение.

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением

Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем , при котором , т.е. надо решить уравнение .

Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим

Логарифмы в биологии

В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.

Задача № 3

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение. Для решения задачи используем полученные результаты задачи №2, в решаемой задаче

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин.

Заключение

Для того, чтобы доказать, что люди, зачастую, не видят практического применения логарифмов в окружающей нас реальности, я провела опрос среди учителей и учеников 11 класса.

Использование логарифмов для удовлетворения практических нужд человека стало неотъемлемой частью нашей жизни. Метод использования логарифмов позволяет сократить и облегчить сложные вычисления, также он лежит в основе физических и сейсмологических процессов, протекающих в природе, помогает определить раздражимость человека в той или иной ситуации, даже люди, которые проживают в деревнях и сёлах и держат коров, с легкостью могут применять логарифмы для вычисления веса теленка. Логарифмы можно использовать при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный на данный момент.

Рассмотренные в проекте примеры убедительно показывают, что знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку, непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.

Ни для кого не является секретом то, что население Земли растет с каждым годом, и возникают проблемы с используемым пространством. Большинство людей сегодня мечтают жить в мегаполисах с красивой архитектурой.

Современные города в большинстве своём строятся без учёта будущего роста и впоследствии возникают: пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения.

Поэтому может быть следует строить города по принципу двойной логарифмической спирали. Кроме этого свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Примером этому может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Астана. Можно построить совершенно новый мегаполис в нашей стране, с красивыми микрорайонами в виде спирали, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий спроектированные в виде спиралей.

Итак, в результате исследования можно сделать вывод, что логарифмы появились исходя из практических нужд человека, и имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.

Использованная литература и источники

А.А.Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах (VIII – X) (издание второе, дополненное). Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963.

Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 160 с.: ил.

Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX – X кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с. – (Мир знаний).

Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Часть 2. – М.: Изд-во МГУ, 2010. – 435 с.

ПайтгенХ.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. под ред. А.Н.Шарковского. М.: Мир, 1993. – 176 с.

Буранов И. Ф. Логарифмическая спираль в технике и в природе // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 151-153.

Развитие науки и практики постоянно предъявляет особые требования к содержанию и преподаванию основ математики в средней школе. Совершенствование школьного математического образования есть процесс объективный и непрерывный. При этом сохраняются многие стороны педагогического наследия как в определении содержания, так и в методике преподавания. В первую очередь это относится к базисным понятиям математики, одним из которых является понятие функции, и системам дидактических принципов и методов обучения. Новые математические основы и использование современных психолого-педагогических наук требуют самого серьёзного пересмотра существующих дидактических систем, в частности методики преподавания функций в средней школе.

§1. Значение и место изучения показательной и логарифмической функций.

В природе существуют такие явления, которые не могут быть описаны с помощью алгебраических функций. Но с достаточной точностью эти процессы могут быть описаны с помощью трансцендентных функций, особую роль среди которых занимают показательная и логарифмическая функции.

Показательная функция является математической моделью обширного круга процессов, имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин (изменение численности населения, скорость распада радиоактивных веществ, скорость движения тела в сопротивляющейся среде, изменение атмосферного давления, скорость распространения бактерий и др.). Таким образом, с помощью трансцендентных функций, решаются задачи различных областей науки: физики, химии, биологии, экономики и др.

Приведём основные моменты из традиционной и новой постановки преподавания показательной и логарифмической функций.

До программы Колмогорова (1976 г.) данные функции изучались в 10 классе. Сведения, относящиеся к степеням, показательной и логарифмической функциям, излагались в следующем порядке:

1. Определялась степень положительного числа с натуральным показателем, затем целым, далее с рациональным и, наконец, с любым действительным показателем и на каждом из этих этапов устанавливались основные свойства степени:

2. Определялась показательная функция и рассматривались её важнейшие свойства;

3. Логарифмическая функция определялась как обратная по отношению к показательной и свойства её выводились из соответствующих свойств показательной функции

Следует заметить, что введение дробных показателей шло на основе степенной функции, и до начала изучения показательной функции изучалась степенная функция с произвольным показателем.

2. При степень возрастает с возрастанием x, при - убывает.

Из предположения, что эти свойства сохраняются при всех значениях x функции, обладающей свойствами 1 и 2, принято без доказательства. Логарифмическая функция вводится как обратная функция к показательной, и её свойства рассматриваются как следствия свойств показательной функции.

В настоящее время в последнем издании методика изучения этих двух глав изменена:

§2. Технология изучения показательной и логарифмической функций.

п. 1.1. Показательная функция и её свойства.

Начало изучения показательной функции подготавливается изучением многих вопросов, и здесь важно учесть те вопросы, которые готовят теоретическую базу. К таким вопросам в первую очередь следует отнести общее понятие функции, определения элементарных функций. Степенную функцию с натуральным показателем и функцию, ей обратную, корень любой степени.

Учащиеся должны знать и уметь пользоваться основным свойством степени с целым показателем и его следствиями:

Читайте также: