Все виды дифференциальных уравнений и методы их решения кратко

Обновлено: 28.06.2024

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно "разделить переменные", то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.

Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.

Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.

С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.

Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f (x) и ее производные различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным, т.е. решение вида:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.

Частным решением уравнения (12.1) называется решение, полученное из общего решения (12.4) при фиксированном значении С:

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения (1) называется интеграл, полученный из общего интеграла (5) при фиксированном значении С:

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Задача Коши. Найти решение у = f (х) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = y ₀ при х = х ₀.

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

Замечание. При делении на произведение Y(y) X₁(x) можно потерять те решения уравнения (12.8), которое обращают это произведение в нуль.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция x = a, где а есть корень уравнения X₁(x) = 0 , т.е. X₁(a) = 0 , является решением уравнения (12.8). Функция y = b, где b корень уравнения Y₁(y) = 0 , т.е. Y₁ (b) = 0, также является решением уравнения (12.8). Решения x = a и x = b, если они имеются, геометрически представляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Oy и оси Ox.

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при dy - функция только от х , при dx – произведение функций, одна из которых зависит только от х , другая - только от у). Разделив обе части уравнения на произведение у (1+x 2 ), получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

Замечание.При делении на y(1 + x 2 ) предполагалось, что y(1+x 2 ) ≠ 0, т.е. y ≠ 0, 1+x 2 ≠ 0. Но у = 0 - решение уравнения, в чем можно непосредственно убедиться. Это решение получается из общего при С = 0.

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение (y 2 + 1)(1 - x 2 ) ≠ 0 , получим

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Глава 12. Дифференциальные уравнения

12.1. Основные понятия

Краткая теория

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

здесь, F(x,y,y ’ ) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у ’ ).Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

функция вида F(x,y,p) = xp - y 2

Простейшие ДУ первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y' = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.

После интегрирования получим такое выражение:

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

ДУ с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y' = y(x 2 + e x )

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Линейные неоднородные ДУ первого порядка

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y' + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.

Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.

На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.

Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x 2 + 1, которое соответствует равенству С₂ - С₁=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

Задача Коши для ДУ

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n') = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость X_oy, где должна быть задана некая точка D₀, имеющая координаты (x₀, y₀) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D₀(x₀, y₀) – это означает, задание начального условия y(x₀) = y₀. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.

Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y' = xy 2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Дифференциальные уравнения Бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y' + b(x)y = c(x)y n

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.

Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на

и выполним необходимые преобразования:

Произведем замену параметра х на параметр у:

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.

Общий вид таких уравнений таков:

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y" + ry' + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5.

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y" + ry' + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y" + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y" - y = 0.

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k 2 + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k₁ = -i и k₂ = i.

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

Для неоднородных справедлив другой формат:

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.

Читайте также: