Возрастающая функция это кратко

Обновлено: 06.07.2024

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале - π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид - π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

когда f ' ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 - ε ; x 0 ) и f ' ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
когда f ' ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 - ε ; x 0 ) и f ' ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на - , значит, точка называется максимумом;
когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

найти область определения;
найти производную функции на этой области;
определить нули и точки, где функция не существует;
определение знака производной на интервалах;
выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x - 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ' = 2 x + 1 2 x - 2 ' = 2 · x + 1 2 ' · ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 · ( x - 2 ) ' ( x - 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ' · ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 · 1 ( x - 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x - 2 ) - ( x + 2 ) 2 ( x - 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x - 5 ) ( x - 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = - 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = - 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ' ( - 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x - 5 ) ( x - 2 ) 2 x = - 2 = 2 · ( - 2 + 1 ) · ( - 2 - 5 ) ( - 2 - 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал - ∞ ; - 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ' ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2 0 y ' ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 - 5 ) ( 3 - 2 ) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 0 y ' ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 - 5 ) ( 6 - 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = - 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на - . По первому признаку имеем, что х = - 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( - 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · ( - 1 + 1 ) 2 - 1 - 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x - 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 - 2 = 24

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( - 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

- 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ' = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ' , x 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 ' , x > 0 y ' = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ' x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · ( 0 - 0 ) 2 - 4 · ( 0 - 0 ) - 22 3 = - 22 3 lim y ' x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 - 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · ( 0 - 0 ) 3 - 2 · ( 0 - 0 ) 2 - 22 3 · ( 0 - 0 ) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 - 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) - 8 = - 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

- 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x 0 D = ( - 4 ) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( - 4 ) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ' ( - 6 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · ( - 6 ) - 22 3 = - 4 3 0 y ' ( - 4 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · ( - 4 ) 2 - 4 · ( - 4 ) - 22 3 = 2 3 > 0 y ' ( - 1 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · ( - 1 ) 2 - 4 · ( - 1 ) - 22 3 = 23 6 0 y ' ( 1 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ' ( 4 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3 0 y ' ( 6 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графическое изображение

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ' ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f '' ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f '' ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ' = 8 x x + 1 ' = 8 · x ' · ( x + 1 ) - x · ( x + 1 ) ' ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) - x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 - 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · - x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y '' = 4 · - x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ' = = 4 · ( - x + 1 ) ' · ( x + 1 ) 2 · x - ( - x + 1 ) · x + 1 2 · x ' ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( - 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x - ( - x + 1 ) · x + 1 2 ' · x + ( x + 1 ) 2 · x ' ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · - ( x + 1 ) 2 x - ( - x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ' x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = - ( x + 1 ) 2 x - ( - x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y '' ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · - 4 8 = - 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ' ( x 0 ) = f '' ( x 0 ) = f ' ' ' ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x - 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ' = 1 16 x + 1 3 ' ( x - 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x - 3 4 ' = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x - 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 ( 3 x - 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 ( 7 x - 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = - 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y '' = 1 16 x + 1 2 ( x - 3 ) 3 ( 7 x - 5 ) ' = 1 8 ( x + 1 ) ( x - 3 ) 2 ( 21 x 2 - 30 x - 3 ) y '' ( - 1 ) = 0 y '' 5 7 = - 36864 2401 0 y '' ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = - 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ' ' ' = 1 8 ( x + 1 ) ( x - 3 ) 2 ( 21 x 2 - 30 x - 3 ) ' = = 1 8 ( x - 3 ) ( 105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93 ) y ' ' ' ( - 1 ) = 96 ≠ 0 y ' ' ' ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = - 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( - 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x - 3 ) ( 105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93 ) ' = = 1 2 ( 105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 - точкой минимума заданной функции.

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

№ 259 (1) Мерзляк 9 класс

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Как определить по графику, что функция возрастает

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Запомните!

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

При исследовании заданной функции особое внимание уделяется характеру ее поведения: возрастает, не возрастает, убывает, не убывает.

Монотонная функция -- это функция, которая меняется в одном и том же направлении.

Примеры монотонных функций приведены на рисунках:

Рисунок 1. Возрастающая функция

Рисунок 2. Убывающая функция

Монотонные функции делят на:

убывающие функции;
возрастающие функции.

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Математическая запись определения 2: $f(x):\uparrow x_

Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.

Математическая запись определения 3: $f(x):\downarrow x_ f(x_)$.

Определить характер функции $y=x^ +1$ на отрезке $[0;2]$

Следовательно, заданная функция возрастает на заданном отрезке $[0;2]$.

Готовые работы на аналогичную тему

Определить характер функции $y=\frac $ на отрезке $[1;2]$

Следовательно, заданная функция убывает на заданном отрезке $[1;2]$.

Функция является не возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее или равное значение заданной функции.

Математическая запись определения 4: $f(x): x_

Функция является не убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее или равное значение заданной функции.

Математическая запись определения 5: $f(x):x_

Постоянная функция -- это функция, которая не возрастает и не убывает.

Математическая запись определения 6: $f(x):x_

Определить характер функции $y=5$ на отрезке $[0;2]$

Следовательно, заданная функция постоянна на заданном отрезке $[0;2]$.

Не возрастающая, не убывающая и постоянная функции не являются монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

сумма двух и более возрастающих функций есть возрастающая функция;
произведение неотрицательных возрастающих функций является возрастающей функцией;
если возрастающая функция $f(x)$ сохраняет свой знак, то обратная функция $1/f(x)$ является убывающей;
если возрастающая функция $f(x)$ неотрицательна, то функция $f^ (x)$ также является возрастающей (n -- натуральное число);
для возрастающей функции $f(x)$ и константы $c$ имеем, что функции $cf(x)$, где $c>0$, и $f(x)+c$ возрастают, а функция $cf(x)$, где $c
Композиция двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Между монотонностью заданной функции и ее производной существует определенная связь, которая описывается следующими теоремами:

Если производная $f'(x)$ заданной функции положительная на некотором промежутке, то данная функция возрастает на рассматриваемом промежутке.

Если производная $f'(x)$ заданной функции отрицательна на некотором промежутке, то данная функция убывает на рассматриваемом промежутке.

Сформулируем обратные теоремы.

Теорема, обратная к теореме 1.

Если заданная функция является возрастающей на некотором промежутке, то производная данной функции неотрицательна или не существует.

Теорема, обратная к теореме 2.

Если заданная функция является убывающей на некотором промежутке, то производная данной функции неположительная или не существует.

Для постоянной функции имеет место следующая теорема:

Функция $y=f(x)$ является постоянной на некотором промежутке, если ее производная равна нулю для всех точек из этого промежутка.

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание включает следующие этапы:

нахождение производной заданной функции;
нахождение стационарных и критических точек ($f'(x)=0$ или не существует);
определение знака производной на каждом промежутке;
определение характера поведения функции на каждом промежутке.

Определить характер функции $y=\frac $ на интервале $(-\infty ;+\infty )$

Производная функции: $y'=\left(\frac\right)'=\frac> =\frac> =-\frac> $
Производная неопределенна при $x=2$. Стационарных точек нет.
Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.

Следовательно, заданная функция убывает на всей области определения

Определить характер функции $y=x^ -12x$ на интервале $(-\infty ;+\infty )$

Производная функции: $y'=\left(x^ -12x\right)'=3x^ -12$
Производная определенна на всем интервале. \[y'=0;\, \, \, 3x^ -12=0\Rightarrow 3x^ =12\to x^ =4\Rightarrow x=\pm 2\]

$x=\pm 2$ - стационарные точки

Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.

Следовательно, заданная функция убывает на $[-2;2]$, возрастает на $(-\infty ;-2]$ и $[2;+\infty )$.

Монотонная функция — функция, изменяющаяся исключительно в одном и том же направлении.

И убывающая, и возрастающая функции относятся именно к понятию монотонной.

Возрастающая функция — линейная функция, возрастающая при увеличении значения аргумента.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Убывающая функция — линейная функция, убывающая при увеличении значения аргумента.

Также важно знать, что существует постоянная функция, значение которой не меняется на всем промежутке графика.

Свойства и признаки, пример

Достаточными условиями для возрастания или убывания функций являются следующие признаки:

Если производная y=f(x) >0 для любого x из интервала X , то f возрастает на X.
Если производная y=f(x) для любого x из интервала X , то f убывает на X .

Кроме этого, у монотонных функций есть характерные особенности, называемые свойствами. Они помогают в решении задач различной сложности: начиная от функций с логарифмами и заканчивая неравенствами с функциями. Свойства:

Если функции f и g возрастают/убывают на интервале ( a , b ) , то их сумма также возрастает/убывает на этом интервале.
Если функция f возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , то функция -f убывает/возрастает на этом интервале.
Если функция f возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , то функция \frac1f убывает/возрастает на этом интервале.
Если функции f и g возрастают/убывают на интервале ( a , b ) , а f ≥ 0 , g ≥ 0 , то f\times g также возрастает/убывает на этом интервале.
Если функция g возрастает/убывает на интервале ( a , b ) , а функция f возрастает/убывает на интервале ( c , d ) , где g:(a,b) $\rightarrow$ (c,d) , то сложная функция y=f(g(x)) также возрастает/убывает на интервале ( a , b ) .

Рассмотрим пример-доказательство для убывающей функции:

Доказать, что f(x)=x 2 +1 возрастает при $x\geq0$ .

Возьмем точки x₁ и x₂, чтобы $0\leq x_1\leq x_2.$ Посмотрим на разность значений функции в данных точках.

Видим, что $x_2-x_1>0 $ и $ x_2+x_1>0$ . Следовательно, $f(x)=x^2+1$ — возрастающая.

Читайте также: