Виды систем алгебраических уравнений изучаемых в школьном курсе математики
Обновлено: 06.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Прибылева Д.В., студентка ФИМиЕН
Ключевые слова: системы уравнений, методы обучения, средства обучения, формы обучения.
Forms, methods and means of teaching the topic "systems of algebraic equations" in the basic school algebra course
Annotation . The article reveals the forms, methods and means of teaching this topic in the course of basic school algebra.
The topic “Systems of equations” is studied in the intermediate school from the 7th form. Many mathematical models are based on situations from real life; one of such models is the system of equations. Systems of equations are a tool for solving many problems from adjacent disciplines related to mathematics. Problems of the topic “Systems of equations” are included in basic state exam.
Keyword: systems of equations, teaching methods, learning tools, forms of learning.
В этой статье моей задачей станет рассмотрение форм, методов и средств обучения теме исследования, как и следует из ее названия. Но прежде всего, важно определить сами понятия формы, методы и средства обучения.
Групповая форма обучения предусматривает, что учитель организует и управляет деятельностью нескольких групп класса. В данные учебные группы входят обучающиеся с различными способностями, что определяет наиболее плодотворный обмен информацией по теме урока. Учитель руководит данными группами непосредственно, а также опосредованно через помощников, назначенных им же. В ходе урока школьники работают самостоятельно, в группе проводятся обсуждения по теме урока и взаимопроверка результатов, при необходимости преподаватель дает группе указания по заданию.
Автор статей учитель В.И. Мохова характеризует коллективный способ обучения, как форму обучения, включающую в себя взаимодействие нескольких организационных форм: индивидуальную, парную, групповую и коллективную. Обучение осуществляется путем общения в динамических парах (парах сменного состава), когда каждый учит каждого, то есть все обучающиеся по очереди выполняют функции учителя.
В основу коллективного способа обучения автор включает следующие принципы: стремление достичь высоких конечных результатов; непрерывная передача друг другу полученных знаний; взаимовыгодные деловые отношения между учениками; дифференцированный способ работы: каждый работает в меру своих возможностей и способностей.
Рассмотрим разнообразные классификации методов и выделим одну из них, оптимально подходящую для использования в педагогической практике и обеспечения эффективности обучающе - познавательного процесса. Б.Т. Лихачёв [2] выделяет следующие классификации по: соответствию методов обучения логике общественно-исторического познания; соответствию методов обучения специфике изучаемого материала и форм мышления; их роли и значению в развитии сущностных сил, психических процессов, духовно-творческой активности; их соответствию возрастным особенностям детей; способам передачи и получения информации; степени эффективности их идейно-воспитательного воздействия; основным этапам обучающе - познавательного процесса.
В соответствии с основными этапами обучения вычленяются следующие группы методов обучения: методы этапа восприятия первичного усвоения ; методы этапа усвоения-воспроизведения , в состав которых входят методы собственно воспроизведения, закрепления, диагностики и получения обратной информации; методы этапа учебно- творческого выражения . Эти поэтапные группы методов обучения, индивидуально освоенные учителем, становятся основой его творческой методической системы.
Отметим, что методы всех трех этапов обучающего познания (восприятия-усвоения,усвоения-воспроизведения,воспроизведения-выражения) взаимосвязаны между собой и в живом обучающем процессе вступают в активное, взаимодополняющее взаимодействие; они обретают специфику в процессе преподавания науки, в изучении явлений искусства, в освоении трудовых процессов; эффективность методов возрастает, когда в методическом взаимодействии учителей и учащихся используются технические средства обучения, обучающие машины; в целях повышения обучающее - воспитательной эффективности методов обучения, их адаптации к собственной индивидуальности и особенностям детского коллектива каждый учитель создает из них свою творческую, глубоко продуманную и прочувствованную методическую систему.
Кроме того, по характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала Г.И. Саранцевым выделены следующие методы обучения: индуктивно-репродуктивный, индуктивно-эвристический, индуктивно-исследовательский, дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно- эвристический, дедуктивно-исследовательский, обобщённо-репродуктивный, обобщённо-эвристический, обобщённо-исследовательский.
Процессы обучения и воспитания представляют собой сложные системы взаимодействия: учитель – метод – знания, личный опыт общественных отношений – способы самовоспитания [2].
Методы обучения тесно связаны со средствами обучения. Чаще всего в понятие средства обучения включают учебные, а также наглядные пособия, технические средства, демонстрационные устройства и так далее [6].
При разумном использовании на уроке разнообразных средств обучения обучающимся легче воспринимать и усваивать математические знания. В противном случае, при слишком частом их использовании, у обучающегося может произойти задержка развития абстрактного мышления, а также привести к затруднению решения задачи, которая требует развитого пространственного представления.
Классификация средств обучения подразделяется на: зрительные (наглядные) такие как: учебники и учебные пособия, раздаточный материал, плакаты, чертежи, таблицы и так далее; слуховые (аудиальные) средства; зрительно-слуховые (аудиовизуальные) средства: мультимедийные учебники, слайды, компьютеры, учебные фильмы и так далее.
Как отмечает В.А. Сластенин [7], подбор средств обучения для урока зависит, прежде всего, от целей, поставленных учителем на уроке, методов учебной работы, также возраста обучающихся, а не только от материальной оснащенности школы.
В алгебре наиболее распространены визуальные средства, например,
презентации. Как известно, на уроке математики важной частью является не только изложение учителем нового материала, но и заинтересованность каждого обучающегося в получении данных знаний.
Опытный учитель никогда не будет придерживаться одного какого- либо метода обучения. Использование того или иного метода, а иногда и применение нескольких методов на протяжении урока, будет зависеть от характера темы или разбираемого вопроса, также от подготовленности обучающихся по данному предмету, от наличия предоставляемого времени для изучения темы.
Поэтому стоит помнить, что комплексное использование методов обучения на уроке поможет разнообразить учебно-познавательную деятельность. Это поспособствует привлечению обучающихся к активному участию в поиске решения задачи, самостоятельного вывода, доказательства и так далее.
Таким образом, знания обучающихся окажутся более прочными и сознательными, если они будут приобретаться в процессе активной учебно-познавательной деятельности, а не только путем пассивного восприятия.
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.
Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.
Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:
-решение простейших уравнений данного вида;
-анализ действий, необходимых для их решения ;
-вывод алгоритма решения и запоминание его;
-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;
-анализ действий, необходимых для их решения;
-формулировка частного приема решения;
-применение полученного частного приема по образцу
-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.
Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.
Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.
I I. Уравнения в курсе математики
Уравнением называется равенство с переменной.
Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.
Записываем решение задачи:
Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:
х=18 ; 18 слив было.
При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.
При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….
Составим и решим уравнение.
Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.
Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.
Рассмотрим это для решения уравнения:
Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).
Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.
Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.
После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах вх)∙с=d, (ах вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.
а) нахождение числа по его проценту:
Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?
Всего – 100% - 7 чел. 40% =0,4
Девочек – 40% - 20 чел.
Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:
х=50; 50 спортсменов было всего.
Ответ: 50 спортсменов.
б) нахождение процентов от числа:
Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?
Всего : 100% - 220 км.
1 день: ? % - 33 км.
Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.
х=15; 15% пройдено в первый день.
Эти задачи решаем и по действиям.
К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.
1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.
Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.
Ответ: нет корней. Ответ: х - любое число.
Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10
х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ
Ответ: 5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ
Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.
а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4
х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ
х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ
у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0
1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.
Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.
Содержание
Часть I: Системы уравнений в школьной программе.
Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.
1) Основные определения.
2) Алгебраические системы.
2.1 Системы уравнений первой степени
2.2 Нелинейные системы уравнений
3) Неалгебраические системы.
3.1 Системы, содержащие показательные уравнения
3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения
Вложенные файлы: 1 файл
Курсовая работа 2.docx
Часть I: Системы уравнений в школьной программе.
Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.
1) Основные определения.
2) Алгебраические системы.
2.1 Системы уравнений первой степени
2.2 Нелинейные системы уравнений
3) Неалгебраические системы.
3.1 Системы, содержащие показательные уравнения
3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения
По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.
Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.
Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.
Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.
А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.
Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.
На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.
Для достижения цели поставлены задачи:
изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;
Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;
Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.
Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.
I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ.
Все школы нашего района большинство работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей работе я в большей степени ссылаюсь на данный учебник.
Изучение систем уравнений в основной школе в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.
Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.
Цель первого урока: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.
Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:
Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?
Вводится понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.
Вначале в устной работе рассматриваются упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:
P Выразите переменную у через :
P Является ли линейной функция, заданная формулой:
P Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?
Далее рассматривается решение задачи из учебника:
решить систему уравнений
Вводится алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, рассматривается решение задачи по учебнику:
решить систему уравнений:
При закреплении материала отрабатывается метод на примере систем, у которых в одном из уравнений коэффициент при одном из неизвестных равен единице.
На втором уроке продолжается отработка способа подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.
На третьем уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися материала.
где – целые числа.
Изучение нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:
P решить системы уравнений: ,
Затем вводится алгоритм способа алгебраического сложения, далее рассматриваются решения задач в учебнике:
P решить системы уравнений: ,
Второй и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа алгебраического сложения к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.
P Принадлежит ли графику линейной функции точка А(0;0); В(0;4); С( ; 0)?
P Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ; ; ?
P Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.
P Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .
P Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:
P В какой точке прямая пересекает ось ОХ? Ось ОУ?
P Найти координаты точки пересечения прямых:
P Решить систему уравнений:
P Показать, что прямые и совпадают.
При закреплении материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое решение системы уравнений, в одном из уравнений которой выражена неизвестное .
На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.
На третьем уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.
P длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.
Сначала решаем задачу с помощью одной переменной, при этом можно опираться на знания учащихся по данной теме. После этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения задачи с помощью системы уравнений.
На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно включать задачи такого типа:
P На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?
P Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.
P Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?
P Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.
P Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?
P Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?
Итоговая проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.
Цель этих уроков: повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.
В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными, особое внимание уделив способу подстановки.
Затем изучить материал на странице 137, разобрав решение задачи из учебника:
P гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты.
Далее учитель объясняет решение способом подстановки системы уравнений задачи из учебника :
P решить систему уравнений:
На закрепление материала рассматриваются системы уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при каком-то неизвестном, равный единице. На этом же уроке рассматриваются простейшие задачи, типа: даны сумма и произведение чисел. Найти эти числа.
Цель второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений второй степени способом подстановки и способом сложения.
На третьем уроке учащиеся упражняются в решении более сложных систем уравнений, а также использовании систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.
Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.
Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.
Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:
Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.
Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.
Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.
А теперь можно сформулировать определение.
Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.
Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.
Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
Рассмотрим методы решения систем уравнений.
Методы решения систем уравнений.
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.
Решить систему уравнений
1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.
2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6
3. Решим полученное уравнение:
4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:
5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.
При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:
1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;
2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.
Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.
Тогда систему можно переписать в более простом виде:
Решением системы является две пары чисел.
Первая пара чисел:
Вторая пара чисел:
Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим
.
получим t² -1 - 2 = 0 t₁ =2, t₂ =-1.
Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:
Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.
Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) - решения исходной системы.
Решить систему уравнений
Сложим уравнения почленно.
Решим полученное уравнение с одной переменной.
Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения
в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.
Читайте также: