Устный счет в народной школе с а рачинского пример

Обновлено: 05.07.2024

Пожалуй, она сама по себе более известна, чем автор. В старых советских учебниках и занимательных книгах по математике для школьников ее обязательно можно найти.

Полотно интересно, прежде всего, реальностью действующих лиц, многие впоследствии узнавали в них своих отцов, дедушек и прадедушек.

На картине изображен учебный класс в школе села Татево Тверской области. Школа существовала до 1974 года. Сейчас в ней организован и действует краеведческий музей.

Идет урок математики, на доске задан пример для устного счета. Задачка уж очень заковыристая и все мальчишки с увлечением окунулись в ее решение.

Обычные деревенские дети в лаптях и рубахах, но сколько в их глазах пытливости, азарта, ума.

Кто-то из ребят стоит у доски в уме производя вычисления. Двое в сторонке справа обсуждают между собой возможное решение. Один из мальчиков, наверное, сообщает учителю готовый ответ.

Богданов-Бельский с любовью и теплом рисует сельских детей, которых всегда считал даровитыми, искренними и талантливыми.

Слева возле стены из тесаных бревен сидит учитель. Это реальный портрет основателя народных школ – Рачинского Сергея Александровича. Уникальнейший человек своего времени – происхождением из польских дворян, профессор университета Москвы, ученый-ботаник, математик, просветитель, педагог-энтузиаст – на свои средства создал народную школу с очень творческой атмосферой, прививая детям навыки мышления и обучая необходимым наукам.

Наук было не так уж и много, но в их число входило и обучение Закону Божиему. Рачинский считал, что знание церковно-славянской грамоты, церковных служб и пения, дает ключ к успехам в других науках и в жизни. Возможно, поэтому на стене мы видим и репродукцию иконы Богоматери и плакат с нотами.

Но, конечно, именно математика была любимым и главным предметом в системе обучения в школах Рачинского.

Богданов-Бельский этой картиной выразил признательность своему дорогому учителю, который сыграл в его жизни решающую роль, а также запечатлел милых его сердцу простых деревенских ребятишек, доказывая в очередной раз, что дети всегда одарённы независимо от их происхождения.

Картина находится в Третьяковской галерее и всегда возле нее останавливаются люди. Мимо нее нельзя пройти просто так. Останавливаются только для того, чтобы попробовать самому решить задачку со школьной доски.

Кстати, правильный ответ математической шарады очень простой – цифра два.

Знаменитый русский художник НИКОЛАЙ ПЕТРОВИЧ БОГДАНОВ-БЕЛЬСКИЙ

написал уникальную и невероятно жизненную историю в 1895 году.

а в полной версии

Картина написана маслом по холсту, на ней изображена сельская школа 19 века во время урока арифметики.

Простой русский класс, дети одеты в крестьянскую одежду: лапти, штаны и рубахи. Всё это очень гармонично и лаконично вписывается в сюжет, ненавязчиво неся миру тягу к знаниям со стороны простого русского народа.

Школьники решают интересный и сложный пример на решение дроби в уме. Они находятся в глубокой задумчивости и поиске верного решения. Кто-то думает у доски, кто-то стоит в сторонке и пытается сопоставить знания, которые помогут при решении задачи. Дети полностью поглощены поиском ответа на поставленный вопрос, они хотят доказать себе и миру, что могут это сделать.

На полотне изображено 11 человек детей и только один мальчик тихо шепчет учителю на ухо, возможно правильный ответ.

Рядом стоит учитель, реальный человек, Сергей Александрович Рачинский – знаменитый ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления.

Тёплая цветовая гамма несёт доброту и простоту русского народа, здесь нет зависти и фальши, нет зла и ненависти, дети из разных семей с разным достатком собрались воедино для принятия единственно верного решения.

Этого очень не хватает в нашей современной жизни, где люди привыкли жить совсем по другому, не считаясь, с мнением окружающих.

Николай Петрович Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского посвятил картину эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, своему учителю, великому гению математики, которого хорошо знал и уважал.

Сейчас картина находится в Москве в Третьяковской галерее, будете там, обязательно взгляните на перо великого мастера.

Задача, изображенная на картине, не могла быть предложена ученикам стандартной начальной школы: в программе одноклассных и двуклассных начальных народных училищ не предусматривалось изучение понятия степени.

Однако Рачинский не следовал типовому учебному курсу; он был уверен в отличных математических способностях большинства крестьянских детей и считал возможным существенное усложнение программы по математике.

РЕШЕНИЕ

Первый способ

Для того чтобы решить это выражение существует несколько способов. Если вы в школе учили квадраты чисел до 20 или до 25, то скорее всего она не вызовет у вас особого труда.

Второй способ

Если вы в школе не учили значения квадратов чисел до 20, то вам может пригодиться простой способ, основанный на применении опорного числа. Этот способ позволяет просто и быстро перемножать два любых числа, меньшие 20. Способ очень прост, нужно к первому числу прибавить единицу второго, умножить эту сумму на 10, а затем прибавить произведение единиц. Например: 11*11=(11+1)*10+1*1=121. Остальные квадраты находятся также: 12*12=(12+2)*10+2*2=140+4=144

Затем, найдя все квадраты, задание можно решить так же, как показано в первом способе.

Третий способ

Еще один способ предполагает использовать упрощение числителя дроби, основанное на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности.

Если попытаться выразить квадраты в числителе дроби через число 12, то получим следующее выражение. (12 - 2)2 + (12 - 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2 . Если вы хорошо знаете формулы квадрата суммы и квадрата разности, то вы поймете, как это выражение легко привести к виду: 5*122+2*22+2*12, что равняется 5*144+10=730. Чтобы 144 умножить на 5 достаточно просто поделить это число на 2 и умножить на 10, что равняется 720. Потом это выражение делим на 365 и получаем: 2.

Четвертый способ решения

Также эту задачу можно решить за 1 секунду, если вы знаете последовательности Рачинского.

в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции…

Трудно сказать, какой из предложенных способов расчета наиболее прост: каждый выбирает свой исходя из особенностей собственного математического мышления.

Работая в сельской школе,

Сергей Александрович Рачинский вывел в люди:

Богданова И. Л. — инфекциониста, доктора медицинских наук, члена-корреспондента АМН СССР;

Васильева Александра Петровича (6 сентября 1868 — 5 сентября 1918) — протоиерея, духовника царской семьи, пастыря-трезвенника, патриота-монархиста;

С.А. Рачинский (1833-1902), представитель древнего дворянского рода, родился и скончался в селе Татево Бельского уезда, а был меж тем членом-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской академии наук, посвятившим свою жизнь созданию русской сельской школы. В мае минувшего года исполнилось 180 лет со дня рождения этого выдающегося русского человека, подлинного подвижника, неутомимого делателя, забытого сельского педагога и поразительного мыслителя.

У которого Л.Н. Толстой учился строить сельскую школу,

П.И. Чайковский получал записи народных песен,

а В.В. Розанов был духовно наставляем в вопросах сочинительства.

К слову, автор упомянутой выше картины Николай Богданов - Бельский вышел из бедноты и был учеником Сергея Александровича, создавшего за тридцать лет на свои средства около трех десятков сельских школ и на свои же средства помогавшего профессионально реализоваться наиболее ярким своим ученикам, которые становились не только сельскими учителями (около 40 человек!) или художниками-профессионалами (3 воспитанника, включая Богданова), но и законоучителя царских детей, выпускника Петербургской духовной академии протоиерея Александр Васильев, и монахом Троице-Сергиевой лавры, как Тита (Никонова).

Сейчас эта проблема еще более актуализовалась, к ней приросла теперь и наркомания. Отрадно, что и трезвенническая стезя просветителя снова подхвачена, что снова появляются в России общества трезвости имени Рачинского

Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме.

Учитель – реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833–1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 .

Действительно, так как

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,

то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Википедия для подсчета значения числителя предлагает следующий способ:

10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 =

= 10 2 + (10 + 1) 2 + (10 + 2) 2 + (10 + 3) 2 + (10 + 4) 2 =

= 10 2 + (10 2 + 2·10·1 + 1 2 ) + (10 2 + 2·10·2 + 2 2 ) + (10 2 + 2·10·3 + 3 2 ) + (10 2 + 2·10·4 + 4 2 ) =

= 5·100 + 2·10·(1 + 2 + 3 + 4) + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

= 500 + 200 + 30 = 730 = 2·365.

Как по мне, – слишком мудрено. Проще поступить иначе:

10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 =

= (12 – 2) 2 + (12 – 1) 2 + 12 2 + (12 + 1) 2 + (12 + 2) 2 =

= 5·12 2 + 2·4 + 2·1 = 5·144 + 10 = 730,

Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно – 12 2 , конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 12 2 взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, – не сложно.

Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:

48 2 + 49 2 + 50 2 + 51 2 + 52 2 = 5·50 2 + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.

84 2 + 87 2 + 90 2 + 93 2 + 96 2 = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

Ряд Рачинского

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел

более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x 2 + (х + 1) 2 + (x + 2) 2 = (x + 3) 2 + (x + 4) 2 .

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x – 1) 2 + x 2 + (x + 1) 2 = (x + 2) 2 + (x + 3) 2 .

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x 2 – 10x – 11 = 0,

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

(–2) 2 +(–1) 2 + 0 2 = 1 2 + 2 2 .

Закончить я хотел бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье О квадратах двузначных чисел и не только о них…

– Два. – выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы.

– Да, действительно два, – подтвердил Леня.

– Как Вы считали? – спросила Любовь Иосифовна.

– Я никак не считал. Интуиция – ответил я под хохот всего класса.

– Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню – 730. Делим на 365 – получаем 2.

– Молодец! Но на будущее запомните – в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции…

Замечательно поработали мастера-плиточники и художники, которыми руководил Юрий Никитович Лабинцев!

Уроки Рачинского

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Актуальность моего исследования связана с тем, что и задачи Рачинского и пример,написанный на доске, предназначены как раз для учеников моего возраста.

Цель моего исследования – узнать как можно больше о герое картины – Сергее Александровиче Рачинском, о картине, на которой он изображён, о его знаменитом задачнике и о последовательностях чисел, названных его именем.

Для достижения этой цели я ставлю перед собой следующие задачи:

найти информацию об авторе картины и о её герое;

выяснить, что представляют собой и найти несколько последовательностей Рачинского;

Кто же герой картины?

Художник, написавший картину, Николай Петрович Богданов – Бельский, хорошо знал героев своей картины. В детстве он был простым пастушком. Ему посчастливилось попасть в школу Рачинского, его способности были замечены. Сергей Александрович сыграл огромную роль в судьбе художника, помог талантливому ученику получить художественное образование. Сегодня имя русского художника Николая Петровича Богданова – Бельского известно всему миру.

Задачи Рачинского.

Сергей Александрович придавал большое значение устному счёту крестьянских детей. И дети на уроках показывали очень высокие результаты. Ученики на уроках подходили к учителю и на ухо говорили ему ответ. Решившие задачу ученики находились справа от учителя, те, кто ещё решают – слева.

Для решения этой задачи необходимо знать, что в сутках 24 часа, а также пользоваться законами сложения.

1 + 2 + 3 + …. + 22 + 23 + 24= (1 + 24) + (2 + 23) + (3 + 22) + … + (12 + 13) = 25 ·12 = 300.

Ответ: 300 комаров.

Рассмотрим ещё несколько задач, к которым я приведу свои решения:

Решение: Узнаем, сколько минут в сутках. Для этого умножим 24 на 60, получим 1440. Значит, за сутки будет сделано перьев. Разделим это произведение на 144, получим , то есть 500.

Ответ: 500 гроссов.

Решение: Найдём скорость каждого писца. Для этого разделим 180 страниц на количество дней, необходимое для их распечатки. Скорость первого писца страниц в день, а второго страницы в день. Общая скорость страниц в день. 180 разделим на 9, получим 20 дней.

Решение: спичка стоит копейки. 2000 спичек стоят .

Ответ: 25 копеек.

Решение: Найдём разницу между ценами платков. Найдём разницу между вырученными деньгами. 24 + 12 = 36 рублей. Разделив 36 на 3, получим количество платков. У лавочника 12 платков. При продаже платков по 3 рубля, он получит 36 рублей. Так как он при этом будет в убытке на 12 рублей, значит, покупал он эти платки за рублей. А каждый платок стоил рубля.

Ответ: 12 платков, по 4 рубля.

Удивительные последовательности.

И вотИиии Давайте рассмотрим пример, над которым задумались ученики. Он довольно сложен для учеников сельской школы, в которой было всего три класса.

Для чисел 10, 11, 12, 13 и 14 характерна интересная особенность:

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 .

Действительно, так как 100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365, то легко рассчитать в уме, что значение написанного на доске выражения равно 2.

Сергей Александрович Рачинский часто сам придумывал задания для своих учеников. Возможно, и этот пример был составлен им самим.

Маленькая задача, написанная на доске, заставляет задуматься над более общей задачей. А нельзя ли найти другое количество чисел, обладающих подобным свойством?

Похожими свойствами обладает последовательность чисел: 3; 4; 5. Эту последовательность называют Пифагоровой тройкой. Сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату последнего.

Заметим, что для пифагоровой тройки для последовательности, представленной на картине Теперь я попытался найти последовательность Рачинского для

Я стал искать семь чисел, идущих подряд, таких, что сумма квадратов первых четырёх равна сумме квадратов последних трёх. Мне предстояла очень большая работа, но я нашёл способ уменьшить количество вычислений. Я стал подсчитывать суммы квадратов последних цифр. Для чисел, начиная с 17, я обнаружил совпадение. Действительно, последняя цифра суммы квадратов первых четырёх чисел равна 4, так как последняя цифра выражения равна 4. Так же и последняя цифра суммы квадратов последних трёх равна 4, так как совпадает с последней цифрой выражения .

Но я понимал, что этого недостаточно, чтобы данная последовательность была последовательностью Рачинского. Я стал подсчитывать значения выражений и и получил 1374 и 1454. Увидев, что требуемое равенство не выполнено, я огорчился, но работу не бросил и стал продолжать поиск. Я понял, что гипотезы иногда не подтверждаются, но это не повод опускать руки, и надо продолжать искать решение проблемы. Когда в следующий раз последние цифры совпали, равенство было полностью выполнено. Так я нашёл третью последовательность Рачинского, а затем и четвёртую. Вот равенства, в которые входят эти последовательности:

Придумываем примеры.

В загадочном примере Рачинского получался ответ 2. А я решил придумать свои примеры, в которых в результате арифметических действий с выражениями получаются значения 0; 1 или 3.

Мои примеры (я запишу их сразу с ответами):

Подобные примеры можно составить с числами других последовательностей Рачинского.

Когда я начинал работать над своим исследованием, я даже не предполагал, как много нового я смогу узнать. Прежде всего, я узнал о замечательном русском педагоге Сергее Александровиче Рачинском и его школе.

Я нашёл задачи, составленные Сергеем Рачинским, выбрал из них те, что мне особенно понравились, и самостоятельно решил их.

Я познакомился с особенными числовыми последовательностями. Две последовательности Рачинского широко известны, а я нашёл третью и четвёртую последовательности.

В процессе нахождения последовательностей я придумал метод, позволяющий упростить задачу. При использовании данного метода я столкнулся с ситуацией, когда моя гипотеза не подтвердилась, но не отказался от своего исследования и продолжил поиск.

В завершение работы я придумал несколько красивых примеров с числами из второй и третьей последовательностей Рачинского.

Мои выступления перед одноклассниками и по школьному телевидению были полезны и интересны для слушателей.

Наверное, нам следует учиться и этому.

Надо учиться быть благодарными своим учителям.

Библиография.

Никольский С.М. , 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций/С. М.Никольский, М. К. Потапев Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – 13 издание, - М-: Просвещение, 2014.

Читайте также: