Ученики школы пифагорчик учились считать в позиционных системах счисления
Обновлено: 05.07.2024
1 Лекция 2 Системы счисления
3 Систе́ма счисле́ния это способ записи чисел по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы : 1) позиционные ( мультипликативные ), 2) непозиционные ( аддитивные ).
4 Основание системы счисления – это число, на основе которого ведётся счет : 2,3,8,10,
5 Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления = 3*1+3*10+3*100+3*1000 = 3* * * *10 3 Пусть a - основание системы счисления ; x 0, x 1, x 2, …, x n – некоторый алфавит, то каноническая форма записи числа : x n x n-1 …x 1 x 0 = = x 0 *a 0 +x 1 *a 1 + …+ x n-1 *a n-1 + x n *a n
6 2.2. Непозиционные системы счисления Единичная система счисления У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких - либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.
7 На каком курсе учатся курсанты училища железнодорожных войск ?
8 Римская пятеричная I1 V5 X10 L50 C100 D500 M Непозиционные системы счисления.
10 В Санкт - Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число : MDCCLXXXII = * = 1782 год. Это год открытия памятника.
11 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке Непозиционные системы счисления.
12 До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
13 Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение :
14 Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа. Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.
15 2.3. Позиционные системы счисления Древнекитайская десятеричная.
16 В древнекитайская десятеричной системе, числа записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого - то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду.
18 . Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления.
19 . В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
24 Расшифруете : Еще в младших классах он проявлял себя весьма смышленым ребёнком. С задачами, которые сверстники решали полчаса, он справлялся за какие - то минут. Одарённый недюжинным умом и неиссякаемой энергией он закончил вуз за 11 лет, и в возрасте лет возглавил научно - исследовательскую лабораторию.
25 101 2 =1* * *2 2 = = 0* * *2 2 = = 1* *2 1 = = 0* * * * *2 4 =
26 Восьмеричная система счисления. Основание: 8, Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6, = 3* * *8 2 = = =123 10
27 Какая система счисления была принята на Пандоре ?
28 Шестнадцатеричная система счисления. Основание 16. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. A0F9 = A0F9 16 = 9* F* * A*16 3 = 9* * * *16 3 =
29 2.5. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Правила перевода целых чисел Из десятичной системы счисления - в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную ( общий алгоритм ): 1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим частное, меньшее, чем основание системы счисления. 2. Получить искомое двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. (… И последние будут первыми …)
30 Проверка : = = Пример 1. Выполнить перевод числа в двоичную систему счисления:
31 Пример 2. Перевести в восьмеричную систему исчисления : Проверка : = = =259
32 Пример 3. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления: Проверка: = = 3+16=19
34 Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления : ( Алгоритм перевода дробных десятичных чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления ) Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы счисления до тех пор, не получим нулевую дробную часть ( или не будет достигнута требуемая точность вычислений ). Получить искомую двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности. Правила перевода дробей.
В электронных таблицах Excel, разработать таблицу умножения. По горизонтали числа от 1 до 9, по вертикале числа от 1 до 9. Формула продумывается таким образом, что она вводится только один раз и за счет копирования вниз и вправо вся таблица умножения автоматически выполняется. Для формирования формулы используется смешанная адресация.
1. Данные объемом 60 Мбайт передаются из пункта А в пункт Б по каналу связи, обеспечивающему скорость передачи данных 220 бит в секунду, а затем из пункта Б в пункт В по каналу связи, обеспечивающему скорость передачи данных 223 бит в секунду. От начала передачи данных из пункта А до их полного получения в пункте В прошло 10 минут. Сколько времени в секундах составила задержка в пункте Б, т.е. время между окончанием приема данных из пункта А и началом передачи данных в пункт В?
3. Петя решил создать слайшоу со звуковым сопровождением. В слайдшоу последовательно воспроизводятся неповторяющиеся изображения, размером 1024*768 точек, кодированные с использованием палитры, содержащей 2(степень 24) цветов. Каждый слайд проигрывается 5 секунд (переключение слайдов является мгновенным). На протяжении всего слайдшоу проигрывается фрагмент стереофонической музыкальной композиции, кодированной с частотой дискретизации 48000 Гц и 65536 уровнями квантования. Продолжительность музыкального фрагмента равна общему времени показа всех изображений. Известно, что сжатия изобажений и музыкального фрагмента не проводилось, а вся служебная информация о кодировании изображений и звука и организации слайдшоу занимает 40 Кбайт. Какое максимальное количество изображений может быть в слайдшоу, если объем занимаемой им памяти не должен превышать 30 Мбайт? В ответе укажите целое число.
1. Книга, состоящая из 272 страниц, занимает объем 2 Мбайта. Часть страниц книги полностью заняты текстом. Каждая такая страница содержит ровно 1024 символа. Другая часть страниц полностью заполнена изображениями с разрешением 768 на 1024 точек. Известно, что страниц с текстом в 16 раз больше, чем страниц с изображениями. Сколько цветов в палитреизображений, если известно, что текстовые символы кодируются двухбайтной кодировкой Unicode?
2. При шифровании текста использовался шестибитовый метод кодирования символов. Оцените объем следующего предложения в этой кодировке.
1) Какой минимальный объём памяти (в Кбайт) нужно зарезервировать, чтобы можно было сохранить любое растровое изображение размером 512 на 128 пикселей при условии, что в изображении могут использоваться 16 различных цветов? В ответе запишите только целое число, единицу измерения писать не нужно.
2) Рисунок размером 128 на 128 пикселей занимает в памяти 16 Кбайт (без учёта сжатия). Найдите максимально возможное количество цветов в палитре изображения.
3) После преобразования растрового графического файла его объем уменьшился в 2 раза. Сколько цветов было в палитре первоначально, если после преобразования было получено растровое изображение того же разрешения в 16-цветной палитре.
1. Два текста содержат одинаковое количество символов. Первый текст составлен в алфавите мощностью 16 символов, а второй текст – в алфавите из 256 символов. Во сколько раз количество информации во втором тексте больше, чем в первом.
3. Текст, кодированный с помощью двухбайтной кодировки Unicode, занял 1024 байта памяти. Петя проанализировал этот текст и понял, что в нем используются далеко не все символы, доступные при кодировании в Unicode. Он составил таблицу символов, состоящую только из тех символов, которые хотя бы раз встречаются в тексте, и закодировал текст с ее использованием, кодируя каждый символ минимально возможным одинаковым для всех символов количеством бит. В результате получился файл, размером 448 байт.Вася более внимательно посмотрел на текст и обнаружил, что его можно разделить на две равные половины. Причем в первой половине текста используется ровно половина от общего количества символов в кодовой таблице, которую построил Петя, а во второй половине текста встречаются все символы из кодовой страницы Пети. Тогда Вася решил создать для первой половины текста новую кодовую таблицу и закодировать первую половину текста, кодируя каждый символ минимально возможным одинаковым количеством бит, используя свою таблицу, а вторую половину оставить кодированной по Петиной таблице. В результате Вася получил файл, состоящий из двух половинок, закодированный с использованием двух таблиц кодов символов. Какой размер в байтах получился у этого файла? Файлы, кодированные с использованием всех указанных в задаче таблиц, не содержат никакой дополнительной информации, кроме собственно кодируемого текста. В ответе укажите целое число.
1. Выражение F(A,B,C) называется логическим следствием из выражения G(A,B,C), если выполняется следующее условие: на
тех наборах переменных (A,B,C), где выражение G принимает истинное значение, выражение F также принимает истинное
значение.
Укажите номера выражений:
1. F(A,B,C)=А or (not С→ not В)
2. F(A,B,C)=not А or (not С →В)
3. F(A,B,C)=А or (not С→ В)
4. F(A,B,C)=А and (not С → not В)
5. F(A,B,C)=(С → В) → A
которые являются логическим следствием выражения G(A,B,C)= А and (В → not С).
В ответе укажите номера выражений через пробел в порядке возрастания.
3.
На уроке на доске был приведен фрагмент таблицы истинности для выражения
F=A →not (B →C).
Коля не успел переписать заголовки столбцов с названиями переменных. Определите, какой столбец в приведенной таблице, соответствует какой из трех переменных. В ответе напишите через пробел сначала переменную, которой соответствует первый столбец, затем переменную, которой соответствует второй столбец, и затем переменную, которой соответствует третий столбец.
1) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Все мы хотим, чтобы из наших детей получались натуры творческие и одаренные. Прекрасно понимая, что многим из ребят не хватает порой даже внимания родителей, а не только их понимания и уж тем более творческого воспитания, убеждаемся, что, к сожалению, современное обучение развивает в детях только одну сторону – исполнительские способности, а более сложная и важная сторона – творческие способности, умение логически мыслить, найти нестандартное решение отдаются воле случая и у большинства остаются на плачевном уровне. Поэтому особенное внимание необходимо уделять заданиям к которым необходим творческий подход, умение найти интересное, необычное решение, вызывают интерес у учащихся.
1. Определить в какой системе счисления ведется рассказ:
Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим:
Ответ: двоичная с/с.
Любое натуральное число от 1 до 63 можно записать при помощи 6 знаков в двоичной системе счисления. Массе гирьки соответствует позиционный вес цифры в двоичном числе. (1 – гирька используется, 0 – нет).
Ответ. Гирьки выбираются массой: 1, 2, 4, 8, 16, 32 грамма.
Ответ. Минимально достаточно задать 7 вопросов.
63q = 30q + 21q + 5q + 4q
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах счисления
6q + 3 = 3q + 2q + 1 + 5 + 4
q = 7
всего деревьев – 6 . 7 + 3 = 45
яблонь – 3 . 7 = 21
груши – 2 . 7 + 1 = 15
слив – 5
вишен – 4
Ответ. Система счисления – семеричная, яблонь – 21, груш – 15, слив – 5, вишен – 4, всего – 45.
- Основание системы счисления не может быть меньше 6 ( т.к. при записи чисел используется цифра 6)
- Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7 + 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство выполняется ? это решение верно.
- Аналогично можно рассуждать для любой системы счисления, основание которой больше 7 .
Для заполнения половины пробирки понадобится t – 1 секунда, при условии удвоения особей, то есть 15 секунд. Через 7 секунд в пробирке было 27 особей. То есть 128 штук.
Ответ: 15 секунд, 128 штук.
Исходное число – 1XY
Новое число – YX1
Соотношение 7 . (1XY) = YX1 + 48 где X, Y – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
7(10 2 + X . 10 1 + Y . 10 0 ) = Y . 10 2 + X . 10 1 + 1 . 10 0 + 4 . 10 1 + 8 . 100
7 . 10 2 + 7 . X . 10 1 + 7 . Y . 10 1 – 1 многочлен
Y . 10 2 + (X + 4) . 10 1 + (1 + 8) . 10 0 – 2 многочлен
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда 7 . Y = 9 + p . 10, где p = 0 6, это возможно только при Y = 7, p = 4
2) 7 . X + p = X + 4
7 . X + 4 = X + 4
7 . X = X при X = 0
Ответ. Исходное число – 107.
Исходное число – 1ABCDE
Новое число – ABCDE1
Соотношение 1ABCDE = ABCDE1 . 3 где A, B, C, D, E – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
(1 . 10 5 + A . 10 4 + B . 10 3 + C . 10 2 + D . 10 1 + E . 10 0 ) . 3 = A . 10 5 + B . 10 4 + C . 10 3 + D . 10 2 + E . 10 1 + 1 . 10 0
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда 3 . E = 1 + p . 10, где p = 0 2, в данном случае это возможно только при E = 7, p = 2
2) для разряда десятков
3 . D + p = E + p1 . 10, где p1 = 0 2
3 . D + 2 = 7 + p1 . 10 это возможно только при D = 5 p1 = 1
3) для разряда сотен
3 . C + p1 = D + p2 . 10, где p2 = 0 2
3 . C + 1 = 5 + p2 . 10 это возможно только при C = 8 p2 = 2
4) для разряда тысяч
3 . B + p2 = C + p3 . 10, где p3 = 0 2
3 . B + 2 = 8 + p3 . 10 это возможно только при B = 2 p3 = 0
5) для разряда десятков тысяч
3 . A + p3 = B + p4 . 10, где p4 = 0 2
3 . A + 0 = 2 + p5 . 10 это возможно только при A = 4 p5 = 1
Все логические предположения о пригодности коэффициентов делаются на основании таблицы умножения.
Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->
Задание 1. Что такое система счисления?
Системой счисления называется способ записи чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
Задание 2. В чем основное различие позиционных и непозиционных систем счисления?
Основное различие в том, что в непозиционных системах счисления не зависит положение (позиция) знака в записи числа от количественного значения. А в позиционной системе счисления, наоборот, зависит.
Задание 3. Чему равно основание системы счисления?
Задание 4. Почему арабская система записи чисел называется десятичной позиционной?
Задание 5. Каково наименьшее основание позиционной системы?
Задание 6. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами: XI; IX; LX; СLX; MDCXLVIII?
XI = 10 + 1 = 11
IX = 10 – 1 = 9
LX = 50 + 10 = 60
CLX = 100 + 50 + 10 = 160
MDCXLVIII = 1000 + 500 + 100 + (–10 + 50) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1648
Задание 7. Запишите римскими цифрами числа, равные следующим десятичным: 13; 99; 666; 444; 1692.
13 = 10 + 1 + 1 + 1 = XIII
99 = 100 - 1 = IC
666 = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = DCLXVI
444 = (-100 + 500) + (-10 + 50) + (-1 + 5) = CDXLIV
1692 = 1000 + 500 + 100 + (-10 + 100) + 1 + 1 = MDCXCII
Задание 8. Запишите последовательность двадцати чисел натурального ряда, начиная от единицы, для позиционных систем с основаниями 2, 3, 5, 8. Оформите результаты в виде таблицы.
Задание 9. Постройте таблицы умножения для однозначных чисел в двоичной и троичной системах счисления.
Двоичная система счисления:
Троичная система счисления:
Читайте также: