Требования к оформлению решения задач по геометрии в школе

Обновлено: 02.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 16 г. Новый Уренгой

Методические рекомендации по оформлению письменных работ учащихся по математике

г. Новый Уренгой, 2020 г.

Количество и назначение ученических тетрадей…………..3

Требования к ведению тетрадей…………………………….4

Порядок и сроки проверки письменных работ…………….6

Оформление решений заданий по математике…………….7

Требования к оформлению решений……………………….8

Вельчинская О.А., учитель математики и информатики

Вводная часть

На сегодняшний день нормативных требований к оформлению письменных работ учащихся нет, поэтому мы предлагаем рекомендации, которые отражают только положительный опыт в этом направлении (в том числе в вышеуказанном документе) и те позиции, которые, на наш взгляд, необходимо привнести в общую схему оформления работ. Все ненужное, надуманное, громоздкое, лишнее из данной схемы мы убрали. При составлении данных рекомендаций мы учитывали:

Воспитание культуры оформления письменных работ и формирование соответствующего навыка являются необходимыми, так как:

а) являются частью воспитания внутренней культуры учащихся;
б) воспитывают уважение у учащихся к тем, кто смотрит и проверяет их работы;
в) формируют навык самоконтроля, так как у учащихся, благодаря более аккуратному оформлению работ, систематически возникает потребность более часто и более внимательно проверять и перепроверять свою работу;
г) организуют учащихся для более внимательного выполнения работы.

Количество и назначение ученических тетрадей

Для выполнения всех видов обучающих, проверочных и контрольных работ учащимся надлежит иметь следующее количество тетрадей из расчета на каждого учащегося.

В тетрадях для контрольных работ, помимо самих контрольных работ, надлежит в обязательном порядке делать работу над ошибками. Ежедневная работа над ошибками должна представлять собой целостную систему, результативность которой должна прослеживаться изо дня в день.

Для выполнения всех видов обучающих работ ученики должны иметь следующее количество тетрадей:

Учебный предмет

Количество тетрадей

Период обучения

Комментарий

Прописи либо рабочие тетради

Период обучения грамоте

Помимо прописей, допускается наличие 1 – 2 тетрадей

в VII — IX классах — 3 рабочих тетради (2 по алгебре и 1 по геометрии);

в X – XI классах – 2 рабочие тетради, из них 1 по алгебре и началам анализа и 1 - по геометрии.

Для контрольных работ по математике выделяются специальные тетради, которые в течение всего учебного года хранятся в школе и выдаются ученикам для выполнения контрольных работ и работ над ошибками:

в V — VI классах — 1 тетрадь для написания контрольных работ;

в VII — IX классах — 2 тетради для контрольных работ (1 по алгебре и 1 по геометрии);

в X – XI классах – 2 тетради для контрольных работ (1 по алгебре и началам анализа и 1 по геометрии).

Требования к ведению тетрадей

Все записи в тетрадях учащиеся должны проводить с соблюдением

следующих требований: писать аккуратным, разборчивым почерком.

Единообразно выполнять надписи на обложке тетради: указывать,

для чего предназначена тетрадь (для работ по алгебре, для контрольных работ),

Образцы оформления надписи на обложке тетради:

по математике

г. Новый Уренгой

Васильченко Андрея

для контрольных работ

г. Новый Уренгой

Ивановой Ольги

Все записи в тетрадях следует оформлять каллиграфическим аккуратным почерком.

При определении каллиграфического письма необходимо строго соблюдать требования и рекомендации нейропсихофизиологов и методистов.

Не следует систематически использовать ценное время на уроке для фронтального чистописания всех учащихся.

Работа над каллиграфическим письмом должна строиться с учетом системы дифференцированных подходов. Нет смысла заниматься на уроке со всеми детьми одинаково безрезультативным прописыванием элементов, букв, цифр, слогов и слов.

Работу над каллиграфическим почерком следует осуществлять в течение всех четырех лет обучения в начальной школе.

Указывать дату выполнения работы. В тетрадях по математике число и месяц записываются цифрами на полях тетради. Например : 05.11.05г.

Писать на отдельной строке название темы урока.

Обозначать номер упражнения, указывать вид выполняемой работы (самостоятельная работа, тест), указывать, где выполняется работа

Соблюдать красную строку.

Между классной и домашней работой отступать 4 клеточки, между заданиями – 2 клеточки.

Чертежи и построения выполнять карандашом — с применением линейки и циркуля.

Между столбиками выражений, уравнений, равенств и неравенств и т.п. отступаем 3 клетки вправо, пишем на четвертой.

Все номера заданий и задач, которые выполняются в тетради, необходимо записывать в тетрадь. Мы рекомендуем писать номер задания по середине строки либо на полях, так как это:

а) экономит место;
б) позволяет более четко и быстро найти номер задания при проверке любой работы, а отсюда более ясно просматривается структура классной или домашней работы.

Число на полях также пишется на пятой клетке по вертикали, то есть на той же строчке, где и домашняя (классная) работа. В любой работе (классной или домашней) слева по горизонтали отступаем одну клетку от края.

В письменной работе допускается и другая форма оформления. Перед каждым заданием учащиеся сами определяют цель задания и пишут ее в тетрадь.

Необходимо с самого начала 1-го класса оформлять поля с внешней стороны страницы тетради. На поля следует отводить четыре клетки, проводить их простым карандашом.

При записи математических выражений все символы (знаки, цифры) фиксируются с учетом правил каллиграфии, то есть с соблюдением графики и соответствия количества клеток количеству записываемых символов.

Особенно соблюдение этого требуется при работе с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).

Порядок и сроки проверки письменных работ учителями

Тетради учащихся, в которых выполняются обучающие классные и домашние работы по математике, проверяются:

В начальной школе надлежит проверять ежедневно каждую работу учащихся.

Работа над ошибками проводится в той или иной форме ежедневно в тетрадях как для текущих, так и для контрольных работ.

Проверка тетрадей учителем осуществляется чернилами красного цвета. Так как чернила красного цвета как единственный цвет для проверки ученических тетрадей нормативно не оформлены, то допускается использование и чернил зеленого цвета.

Помимо стационарной ручки, в классной и домашней работах для выполнения других операций в тетрадях учащиеся используют только простой карандаш.

Проверка и возвращение учащимся контрольных работ по русскому языку и математике осуществляются к следующему уроку. В обязательном порядке тетради для контрольных работ показывают родителям (лицам, их заменяющим) с выдачей на дом.

Все классные и домашние работы учащихся проверяются учителем ежедневно и в обязательном порядке.

O 5 класс – в течение всего учебного года проверяются все домашние и классные работы у всех учеников;

O 6 класс – 1 полугодие – ежедневно проверяются работы у всех обучающихся;

O 7 – 9 классы – ежедневно проверяются работы у слабых и 2 раза в неделю - наиболее значимые – у всех остальных;

O 10 – 11 классы – ежедневная проверка работ у слабых обучающихся, у всех остальных проверяются наиболее значимые работы с таким расчетом, чтобы все тетради были проверены 2 раза в месяц.

Все виды контрольных работ проверяют у всех обучающихся.

Учитель соблюдает следующие сроки проверки контрольных работ:

O 5 – 8 классы – работы проверяются к уроку следующего дня;

O 9 – 11 классы – работы проверяются либо к уроку следующего дня, либо через один – два урока.

Учитель проводит работу над ошибками после проверки контрольных работ и хранит тетради контрольных работ обучающихся в течение учебного года.

В проверяемых работах учитель отмечает и исправляет допущенные ошибки, руководствуясь следующим:

- при проверке тетрадей и контрольных работ обучающихся V — XI классов по математике учитель только подчеркивает и отмечает на полях допущенную ошибку, которую исправляет сам ученик;

- подчеркивание ошибок производится учителем только красной пастой (красными чернилами, красным карандашом).

Все контрольные работы оцениваются учителем с занесением оценок в классный журнал. Оценки за самостоятельные работы (тесты), если они не запланированы на весь урок, могут выставляться выборочно на усмотрение учителя.

Классные и домашние письменные работы по математике оцениваются; оценки в журнал могут быть выставлены за наиболее значимые работы по усмотрению учителя.

При оценке письменных работ обучающихся учителя руководствуются соответствующими нормами оценки знаний, умений и навыков школьников.

После проверки письменных работ обучающимся дается задание по исправлению ошибок или выполнению заданий, предупреждающих повторение аналогичных ошибок.

Работа над ошибками, как правило, осуществляется в тех же тетрадях, в которых выполнялись соответствующие письменные работы.

Не допускаются записи вида:

Контрольная работа № 1.

Оформление решений заданий по математике

Оформление текстовых задач:

Краткая запись задачи выполняется по усмотрению учителя в любой удобной для этого форме: таблица, схема, словесная краткая запись и пр.

Решение задачи записывается по действиям или выражением с пропуском одной клетки между действиями.

Запись наименований обязательна, запись пояснений делается кратко, по усмотрению учителя.

Ответ к задаче записывается, начиная с числительного.

Принятые сокращения, такие как: см, кг, м и т.д. в ответе записываются кратко.

Оформление математических выражений и равенств :

Расстояние между выражениями вниз составляет 2 клетки.

Между столбиками выражений, неравенств, уравнений делаем отступ вправо на 4 клетки (пишем на пятой).

При вычислении выражений с несколькими математическими действиями их порядок фиксируется над знаком простым карандашом. Затем решение расписывается полностью под выражением с фиксацией конечного результата в записи выражения.

Оформление решения уравнения:

Решение уравнения записывается в столбик.

Вычисления проводятся справа на свободных клетках.

Проверка найденного значения неизвестного проводится письменно или устно по усмотрению учителя.

Оформление геометрической задачи:

Краткая запись делается исходя из условия задачи (Дано:… ).

Ответ в геометрической задаче записывается кратко с помощью символов.

Ответ: Р _АВСД = 12 см

- принятые международные сокращения такие как: кг, дм, см, га, м, дм, мм и т.д. в ответе записываются кратко. После сокращений точка не ставится.

Оформление математических выражений и равенств:
- расстояние между выражениями вправо составляет две клетки;
- при записи выражений со скобками или несколькими математическими действиями порядок действий фиксируется над знаком действия простым карандашом. Затем решение расписывается полностью под выражением.

Оформление записи решения уравнений:

х + 23 = 47,
х = 47 – 23,
х = 24.

Оформление геометрического материала в тетради:

Анализ экзаменационных письменных работ показал, что качество их выполнения в значительной мере зависит от того, как ученик владеет культурой математических записей, придерживается ли определенных норм графических работ, записи решения задач и упражнений. Предлагаемые рекомендации, касающиеся оформления решений задач по геометрии, способствуют более объективному оцениванию экзаменационных работ в целом.

Решение задач по геометрии, как правило, начинается с выполнения рисунка. Рисунокдолжен помочь ученику представить те абстрактные геометрические объекты, которые даются в условии задачи, разобраться во взаимном расположении всех линий, углов, плоскостей, о которых идет речь в условии. Основные требования к рисунку:

· Правильность. Существует такой способ проектирования, при котором изображение фигуры подобно полученной проекции. Как правило, на рисунке изображается параллельная проекция заданного тела на плоскость рисунка, а потому обязательным является соблюдение свойств параллельного проектирования. Необходимо учитывать следующие требования к изображению линий: сплошные линии используются для изображения видимого контура, штриховые – невидимого, штрих-пунктирные – для изображения осей симметрии, осей вращения. При изображении комбинации геометрических фигур допускается изображать вписанную фигуру штриховыми линиями (как невидимую) или сплошными вдвое тоньше, чем линии видимого контура, считая вписанную фигуру прозрачной. При построении двух и более рисунков, среди которых есть такие, которые изображают часть данной фигуры, буквенные обозначения должны быть идентичными, а рисунки пронумерованы.

· Наглядность. Образ фигуры создает тоже впечатление, что и ее прообраз, он должен быть достаточно крупным – ¼ часть страницы, удобным для решения задачи.

· Простота построения. При выполнении дополнительных построений желательно не использовать сложные вспомогательные приемы. При решении задач на комбинации тел можно обойтись рисунком осевого сечения. Например, в задачах на следующие комбинации тел: правильная пирамида с вписанным в нее шаром; конус с вписанным в него шаром; усеченный конус с вписанным в него шаром; шар с вписанным в него конусом; цилиндр с вписанным в него шаром; цилиндр с описанным около него шаром. При решении задач на комбинации многогранника и тела вращения также нет необходимости всегда выполнять полный рисунок данной комбинации, достаточно изобразить многогранник, сделать краткие пояснения к выполненному рисунку, с обязательным описанием положения центра шара и указанием его радиуса; или положения центра основания конуса, его высоты и радиуса; или положение центров основания цилиндра, его высоты и радиуса.

· Полнота. На рисунке должны быть размещены все элементы геометрической фигуры или ее части: линии, отрезки, углы и т.д., которые используются при решении задачи.

Условиезадачи переписывается лишь один раз, если есть ее полная запись, то сокращенную запись делать нецелесообразно. Лишним есть также и выделение в отдельный пункт объяснения к рисунку. Это должно входить в общее объяснение, сопровождающее решение задачи, и должно быть его составляющей частью.

В объяснениях в первую очередь внимание обращается на логическое обоснование основных соотношений между элементами фигуры, на которых основано решение (ортогональность, параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей, их свойства и т.д.). Особого внимания требуют объяснения, касающиеся непосредственно геометрической фигуры, о которой идет речь в условии задачи и взаимного расположения ее элементов (сечений сторон, ребер, граней, вершин, углов и т.д.). В процессе пояснения рисунка и решения задачи объяснения требуют:

· элементы, определяющие заданные фигуры (форма и расположение сечений, положение высот, медиан, биссектрис и т.д.);

· расстояние между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, гранями;

· углы между прямой и плоскостью, линейные углы двугранных углов;

· дополнительные построения, если они выполнялись;

· положение и элементы фигуры вращения;

· взаимное положение элементов фигур, входящих в комбинации фигур и не вытекающих из соответствующих определений.

Объяснять необходимо те геометрические свойства, которые будут использоваться при решении задачи. Исключение составляют лишь те свойства, что являются составными элементами или вытекают из определения заданной геометрической фигуры. Приведем примеры свойств фигур, которые не требуют обоснования:

· Для правильной пирамиды: все боковые грани пирамиды – равные треугольники; боковые ребра равны и образуют с плоскостью основания равные углы; плоские углы при вершине пирамиды равны; двугранные углы при сторонах основания равны; равны и двугранные углы при боковых ребрах; основание пирамиды – правильный многоугольник, центр которого есть ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость ее основания; высота, вписанного в нее конуса совпадает с высотой пирамиды, образующие с высотами боковых граней, а окружность основания является окружностью, вписанной в основание пирамиды; высота, описанного около нее конуса совпадает с высотой пирамиды, боковые ребра пирамиды совпадают с образующими конуса, а окружность основания конуса является окружность, описанной около основания пирамиды.

· Для призмы: боковые грани – параллелограммы; боковые ребра – параллельные и равные отрезки; основания – равные многоугольники, лежащие на параллельных плоскостях; соответствующие стороны и углы параллелограмма равны.

· Для конуса: образующие равна и образуют с плоскостью основания равные углы; вершина проектируется в центр круга основания.

· Для цилиндра: его основания – равные между собой круги, лежащие в параллельных плоскостях; образующие равны и параллельны между собой; образующие перпендикулярны плоскости основания.

Перечисление таких свойств можно продолжить. Записывая решение задачи, следует объяснить и обосновать существенное, не увлекаться чрезмерной детализацией. Однако нельзя ограничиваться в объяснениях только записью формул и вычислениями без промежуточных выкладок. Трудно дать исчерпывающие рекомендации к каждой геометрической задачи, какие положения в процессе решения задачи следует детально обосновывать, какие можно взять как общеизвестные, а о каких достаточно лишь вспомнить. Суть состоит в том, чтобы ученики поняли необходимые и достаточные условия, обеспечивающие существование данного соотношения или свойства, на основании которых установлена зависимость между элементами фигур. Например, чтобы установить равенство треугольников, достаточно указать равенство соответствующих угловых и линейных элементов, гарантирующих отношение равенства без обязательной формулировки и названия самого признака. Так, при применении теоремы Пифагора и её следствий достаточно установить, что данный треугольник прямоугольный, и указать прямой угол. Без ссылок на соответствующие теоремы или следствия применяются в процессе решения задач свойства и соотношения между сторонами, углами и диагоналями параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба), предварительно установив, если это неизвестно из условия задачи, вид четырехугольника. Аналогично необходимо подходить и к ссылкам на математические утверждения из стереометрии, в частности при построении проекций отрезка, прямой на плоскость, при использовании свойств параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей, теоремы о трех перпендикулярах и т.д. Часто на экзаменах можно видеть, что ученик, особенно претендент на медаль, значительно больше времени тратит на оформление записей, чем на решение задачи, что превращает объяснения в самоцель, порождает формализм. Так, например, вместо того, чтобы сразу написать необходимую формулу для вычисления квадрата а по гипотенузе с и углу α, то есть , ученики часто пишут соотношение , а потом уже приведенную формулу. Или же вместо ссылки на теорему, на основании которой сделан вывод, одиннадцатиклассники полностью ее формулируют, что также загромождает работу лишним текстом, забирает время.

1)об углах с соответственно параллельными (перпендикулярными) сторонами;

2)свойства диаметра окружности, перпендикулярного к хорде и проведенного через середину хорды;

3)о равенстве отрезков касательных от точки вне окружности до точек касания;

4)соотношение между отрезками пересекающихся хорд, отрезками секущих, проведенных из одной точки, отрезками секущей и касательной, проходящих через одну точку;

5)о величине угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания; о величине угла между секущими, проведенными из одной точки и между пересекающимися хордами;

6)о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

7)о пересечении в одной точке высот треугольника;

8)свойство медиан треугольника;

9)свойство биссектрисы угла треугольника;

10)соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике;

11)формулы площади треугольника: через сторону и высоту, проведенную к ней; через две стороны и угол между ними; через три стороны (формула Герона); через радиус описанной около него окружности; через радиус вписанной в него окружности;

12)свойство противолежащих углов, вписанного в окружность четырехугольника

13)свойство сторон четырехугольника, описанного около окружности;

14)о равенстве диагоналей, равенстве углов при основании равнобедренной (равнобокой) трапеции;

15)свойство диагоналей параллелограмма;

16)формулы площади параллелограмма: через сторону и высоту, проведенную к этой стороне; через его диагонали и синус угла между ними;

17)существование и единственность прямой, перпендикулярной к плоскости;

18)о перпендикулярности прямой пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости;

19)о плоскости, проходящей через прямую, параллельную другой плоскости;

20)о перпендикуляре, проведенном в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостях, к линии их пересечения;

21)о соотношении косинусов трех углов (угол между наклонной и ее проекцией на плоскость, угол между наклонной и прямой, проведенной через основание наклонной в данной плоскости, угол между этой прямой и проекцией данной прямой соответственно);

22)формула площади боковой поверхности и объема усеченной пирамиды;

23)формула объема усеченного конуса;

24)формула боковой поверхности пирамиды с равно наклоненными гранями к основанию имеет вид: , где α – величина двугранного угла при основании;

25)формула объема пирамиды, в которую можно вписать шар радиуса r.

26)если боковое ребро призмы образует со смежными сторонами основания равные углы, то оно проектируется на биссектрису угла, образованного этими сторонами;

27)если боковое ребро призмы проектируется на перпендикуляр к какой-нибудь стороне основания, то боковая грань, содержащая эту сторону, является прямоугольником;

28)– если боковые ребра пирамиды равны,

– если боковые ребра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания,

– если равны углы между боковыми ребрами и высотой пирамиды,

ТО вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около ее основания;

29) –если двугранные углы при основании пирамиды равны,

– если высоты боковых граней равны,

– если высоты боковых граней образуют равные углы с высотой пирамиды,

ТО вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в ее основание;

30)если боковая грань пирамиды перпендикулярна к плоскости основания, то высота этой пирамиды лежит в этой грани и проектируется на сторону основания этой грани;

31)если боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, то оно является высотой пирамиды, а грани, содержащие это ребро, перпендикулярны к основанию пирамиды;

32)если боковое ребро пирамиды образует со смежными сторонами основания равные углы, то высота пирамиды проектируется на биссектрису угла между этими сторонами;

33)высота правильной пирамиды проектируется на апофему боковой грани пирамиды;

34)если в призму (необязательно прямую) вписан шар, то

- высота призмы равна диаметру шара;

- точки касания шара с боковыми гранями лежат на сечении призмы, проходящей через центр шара перпендикулярно боковым ребрам, таким образом, точки касания боковых граней лежат на окружности большого круга шара;

35)если в призму можно вписать прямой круговой цилиндр, то призма прямая и ее боковое ребро равно образующей цилиндра, а в основании призмы можно вписать круг;

36)шар можно вписать в пирамиду, то биссектрисы линейных углов двугранных углов при основании пересекаются в одной точке – центре шара, который лежит на высоте пирамиды;

37)если в пирамиду можно вписать прямой круговой конус, то в основание пирамиды можно вписать круг, а высота пирамиды проходит через центр этого круга. Касание в этом случае происходит по образующим конуса, идущим в точки касания со сторонами основания; эти образующие служат высотами боковых граней пирамиды;

38)если призма вписана в шар, то призма прямая и около основания можно описать круг. Центр шара лежит на середине высоты, проведенной через центр описанного около основания круга;

39)если призма вписана в прямой круговой цилиндр, то она прямая и ее высота равна образующей цилиндра, а основание призмы является вписанным многоугольником в основании цилиндра;

40)если можно описать шар около пирамиды, то около ее основания можно описать круг, а центр шара лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр этого шара;

41)если пирамида вписана в прямой круговой конус, то она обладает следующими свойствами:

- боковые ребра пирамиды равны;

- боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания;

- боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;

- около основания пирамиды можно описать окружность, и высота пирамиды проходит через ее центр;

- двугранные углы при основании пирамиды равны.

При решении задач часто возникает ряд вопросов касающихся ответа, т.е. конечного результата. Остановимся на них.

Во-первых, исследование полученной в процессе решения формулы не является обязательным. Выполняется оно лишь тогда, когда такое требование предусмотрено условием задачи или возникает необходимость во время отдельных преобразований выражений, например, необходимо опустить знаки абсолютной величины выражений, под знаком квадратного корня стоит выражение со знаком минус и т.д.

Во-вторых. Полезно прививать ученикам умения и потребность по полученной общей формуле оценивать достоверность ответа, чтобы застраховать себя от возможных ошибок логического и механического характера.

В-третьих. Когда задача решена в общем виде, следует в формулу решения подставить значения параметров, если они даны и найти числовое значение искомой величины.

Этими рекомендациями естественно не исчерпываются все возможные случаи письменного объяснения решения геометрических задач, но всегда нужно добиваться четкости, лаконичности и полноты записей для того, чтобы работа более полно отражала уровень и качество усвоения учеником учебного материала.

Решение задач по геометрии, как правило, начинается с выполнения рисунка. Рисунок должен помочь ученику представить те абстрактные геометрические объекты, которые даются в условии задачи, разобраться во взаимном расположении всех линий, углов, плоскостей, о которых идет речь в условии. Основные требования к рисунку:

• Правильность. Существует такой способ проектирования, при котором изображение фигуры подобно полученной проекции. Как правило, на рисунке изображается параллельная проекция заданного тела на плоскость рисунка, а потому обязательным является соблюдение свойств параллельного проектирования. Необходимо учитывать следующие требования к изображению линий: сплошные линии используются для изображения видимого контура, штриховые – невидимого, штрих-пунктирные – для изображения осей симметрии, осей вращения. При изображении комбинации геометрических фигур допускается изображать вписанную фигуру штриховыми линиями (как невидимую) или сплошными вдвое тоньше, чем линии видимого контура, считая вписанную фигуру прозрачной. При построении двух и более рисунков, среди которых есть такие, которые изображают часть данной фигуры, буквенные обозначения должны быть идентичными, а рисунки пронумерованы.

• Наглядность. Образ фигуры создает тоже впечатление, что и ее прообраз, он должен быть достаточно крупным – ¼ часть страницы, удобным для решения задачи.

• Простота построения. При выполнении дополнительных построений желательно не использовать сложные вспомогательные приемы. При решении задач на комбинации тел можно обойтись рисунком осевого сечения. Например, в задачах на следующие комбинации тел: правильная пирамида с вписанным в нее шаром; конус с вписанным в него шаром; усеченный конус с вписанным в него шаром; шар с вписанным в него конусом; цилиндр с вписанным в него шаром; цилиндр с описанным около него шаром. При решении задач на комбинации многогранника и тела вращения также нет необходимости всегда выполнять полный рисунок данной комбинации, достаточно изобразить многогранник, сделать краткие пояснения к выполненному рисунку, с обязательным описанием положения центра шара и указанием его радиуса; или положения центра основания конуса, его высоты и радиуса; или положение центров основания цилиндра, его высоты и радиуса.

• Полнота. На рисунке должны быть размещены все элементы геометрической фигуры или ее части: линии, отрезки, углы и т.д., которые используются при решении задачи.

Условие задачи переписывается лишь один раз, если есть ее полная запись, то сокращенную запись делать нецелесообразно. Лишним есть также и выделение в отдельный пункт объяснения к рисунку. Это должно входить в общее объяснение, сопровождающее решение задачи, и должно быть его составляющей частью.

• элементы, определяющие заданные фигуры (форма и расположение сечений, положение высот, медиан, биссектрис и т.д.);

• расстояние между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, гранями;

• углы между прямой и плоскостью, линейные углы двугранных углов;

• дополнительные построения, если они выполнялись;

• положение и элементы фигуры вращения;

• взаимное положение элементов фигур, входящих в комбинации фигур и не вытекающих из соответствующих определений.

• Для правильной пирамиды: все боковые грани пирамиды – равные треугольники; боковые ребра равны и образуют с плоскостью основания равные углы; плоские углы при вершине пирамиды равны; двугранные углы при сторонах основания равны; равны и двугранные углы при боковых ребрах; основание пирамиды – правильный многоугольник, центр которого есть ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость ее основания; высота, вписанного в нее конуса совпадает с высотой пирамиды, образующие с высотами боковых граней, а окружность основания является окружностью, вписанной в основание пирамиды; высота, описанного около нее конуса совпадает с высотой пирамиды, боковые ребра пирамиды совпадают с образующими конуса, а окружность основания конуса является окружность, описанной около основания пирамиды.

• Для призмы: боковые грани – параллелограммы; боковые ребра – параллельные и равные отрезки; основания – равные многоугольники, лежащие на параллельных плоскостях; соответствующие стороны и углы параллелограмма равны.

• Для конуса: образующие равна и образуют с плоскостью основания равные углы; вершина проектируется в центр круга основания.

• Для цилиндра: его основания – равные между собой круги, лежащие в параллельных плоскостях; образующие равны и параллельны между собой; образующие перпендикулярны плоскости основания.

Перечисление таких свойств можно продолжить. Записывая решение задачи, следует объяснить и обосновать существенное, не увлекаться чрезмерной детализацией. Однако нельзя ограничиваться в объяснениях только записью формул и вычислениями без промежуточных выкладок. Трудно дать исчерпывающие рекомендации к каждой геометрической задачи, какие положения в процессе решения задачи следует детально обосновывать, какие можно взять как общеизвестные, а о каких достаточно лишь вспомнить. Суть состоит в том, чтобы ученики поняли необходимые и достаточные условия, обеспечивающие существование данного соотношения или свойства, на основании которых установлена зависимость между элементами фигур. Например, чтобы установить равенство треугольников, достаточно указать равенство соответствующих угловых и линейных элементов, гарантирующих отношение равенства без обязательной формулировки и названия самого признака. Так, при применении теоремы Пифагора и её следствий достаточно установить, что данный треугольник прямоугольный, и указать прямой угол. Без ссылок на соответствующие теоремы или следствия применяются в процессе решения задач свойства и соотношения между сторонами, углами и диагоналями параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба), предварительно установив, если это неизвестно из условия задачи, вид четырехугольника. Аналогично необходимо подходить и к ссылкам на математические утверждения из стереометрии, в частности при построении проекций отрезка, прямой на плоскость, при использовании свойств параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей, теоремы о трех перпендикулярах и т.д. Часто на экзаменах можно видеть, что ученик, особенно претендент на медаль, значительно больше времени тратит на оформление записей, чем на решение задачи, что превращает объяснения в самоцель, порождает формализм. Так, например, вместо того, чтобы сразу написать необходимую формулу для вычисления квадрата а по гипотенузе с и углу α , то есть, ученики часто пишут соотношение, а потом уже приведенную формулу. Или же вместо ссылки на теорему, на основании которой сделан вывод, одиннадцатиклассники полностью ее формулируют, что также загромождает работу лишним текстом, забирает время.

1) об углах с соответственно параллельными (перпендикулярными) сторонами;

2) свойства диаметра окружности, перпендикулярного к хорде и проведенного через середину хорды;

3) о равенстве отрезков касательных от точки вне окружности до точек касания;

4) соотношение между отрезками пересекающихся хорд, отрезками секущих, проведенных из одной точки, отрезками секущей и касательной, проходящих через одну точку;

5) о величине угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания; о величине угла между секущими, проведенными из одной точки и между пересекающимися хордами;

6) о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

7) о пересечении в одной точке высот треугольника;

8) свойство медиан треугольника;

9) свойство биссектрисы угла треугольника;

10) соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике;

11) формулы площади треугольника: через сторону и высоту, проведенную к ней; через две стороны и угол между ними; через три стороны (формула Герона); через радиус описанной около него окружности; через радиус вписанной в него окружности;

12) свойство противолежащих углов, вписанного в окружность четырехугольника

13) свойство сторон четырехугольника, описанного около окружности;

14) о равенстве диагоналей, равенстве углов при основании равнобедренной (равнобокой) трапеции;

15) свойство диагоналей параллелограмма;

16) формулы площади параллелограмма: через сторону и высоту, проведенную к этой стороне; через его диагонали и синус угла между ними;

17) существование и единственность прямой, перпендикулярной к плоскости;

18) о перпендикулярности прямой пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости;

19) о плоскости, проходящей через прямую, параллельную другой плоскости;

20) о перпендикуляре, проведенном в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостях, к линии их пересечения;

21) о соотношении косинусов трех углов (угол между наклонной и ее проекцией на плоскость, угол между наклонной и прямой, проведенной через основание наклонной в данной плоскости, угол между этой прямой и проекцией данной прямой соответственно);

22) формула площади боковой поверхности и объема усеченной пирамиды;

23) формула объема усеченного конуса;

24) формула боковой поверхности пирамиды с равно наклоненными гранями к основанию имеет вид , где α – величина двугранного угла при основании;

25) формула объема пирамиды, в которую можно вписать шар радиуса r.

26) если боковое ребро призмы образует со смежными сторонами основания равные углы, то оно проектируется на биссектрису угла, образованного этими сторонами;

27) если боковое ребро призмы проектируется на перпендикуляр к какой-нибудь стороне основания, то боковая грань, содержащая эту сторону, является прямоугольником;

28) – если боковые ребра пирамиды равны,

– если боковые ребра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания,

– если равны углы между боковыми ребрами и высотой пирамиды, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около ее основания;

29) – если двугранные углы при основании пирамиды равны,

– если высоты боковых граней равны,

– если высоты боковых граней образуют равные углы с высотой пирамиды, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в ее основание;

30) если боковая грань пирамиды перпендикулярна к плоскости основания, то высота этой пирамиды лежит в этой грани и проектируется на сторону основания этой грани;

31) если боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, то оно является высотой пирамиды, а грани, содержащие это ребро, перпендикулярны к основанию пирамиды;

32) если боковое ребро пирамиды образует со смежными сторонами основания равные углы, то высота пирамиды проектируется на биссектрису угла между этими сторонами;

33) высота правильной пирамиды проектируется на апофему боковой грани пирамиды;

34) если в призму (необязательно прямую) вписан шар, то

– высота призмы равна диаметру шара;

– точки касания шара с боковыми гранями лежат на сечении призмы, проходящей через центр шара перпендикулярно боковым ребрам, таким образом, точки касания боковых граней лежат на окружности большого круга шара;

35) если в призму можно вписать прямой круговой цилиндр, то призма прямая и ее боковое ребро равно образующей цилиндра, а в основании призмы можно вписать круг;

36) шар можно вписать в пирамиду, то биссектрисы линейных углов двугранных углов при основании пересекаются в одной точке – центре шара, который лежит на высоте пирамиды;

37) если в пирамиду можно вписать прямой круговой конус, то в основание пирамиды можно вписать круг, а высота пирамиды проходит через центр этого круга. Касание в этом случае происходит по образующим конуса, идущим в точки касания со сторонами основания; эти образующие служат высотами боковых граней пирамиды;

38) если призма вписана в шар, то призма прямая и около основания можно описать круг. Центр шара лежит на середине высоты, проведенной через центр описанного около основания круга;

39) если призма вписана в прямой круговой цилиндр, то она прямая и ее высота равна образующей цилиндра, а основание призмы является вписанным многоугольником в основании цилиндра;

40) если можно описать шар около пирамиды, то около ее основания можно описать круг, а центр шара лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр этого шара;

41) если пирамида вписана в прямой круговой конус, то она обладает следующими свойствами:

– боковые ребра пирамиды равны;

– боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания;

– боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;

– около основания пирамиды можно описать окружность, и высота пирамиды про-ходит через ее центр;

– двугранные углы при основании пирамиды равны.

Создать данную памятку возникла остррая необходимость при начальном обучении решению геометрических задач во 2 классе. Чтобы соблюсти преемственность, проконсультировалась со специалистами старшего звена, подкорректировала и вот получилось нужное.

Нахождение ПЕРИМЕТРА (Р).

Периметр – это сумма длин сторон какой-нибудь геометрической фигуры.

Кратко будем обозначать геометрические понятия следующим образом:

Рпр – это периметр прямоугольника;

Ркв - это периметр квадрата;

а - это длина большей стороны фигуры;

b - это ширина стороны фигуры (иногда буква может меняться на любую другую)

Нахождение периметра прямоугольника (Рпр ) можно находить 3 способами:

Рпр = а+ b +а+ b (этот способ применяется, когда нужно найти периметр любой другой геомет. фигуры)

Рпр = а ∙ 2+ b ∙ 2;

Рпр = (а+ b) ∙ 2 (этим способом мы будем пользоваться чаще!)

2. Нахождение сторон прямоугольника (а или b)

а = Рпр : 2 – b:

b = Рпр : 2 – а

Нахождение периметра квадрата (Ркв) по формуле:

Ркв = а ∙ 4

Нахождение стороны квадрата (а)

а = Ркв : 4

Оформление задачи в тетради

а = 5см b

(если нужно начертить чертёж, то его нужно чертить на этом месте, а решение начинать с середины листа, а если не требуется начертить чертёж, то решение выполнять нужно на этом месте)

Рпр = (а+ b) ∙ 2

Рпр = (5см +3см) ∙ 2 = 16 (см)

Ответ: 16 см.

(Аналогично выполняются подобные задачи геометрического характера.)

Нахождение ПЛОЩАДИ (S).

Площадь – это внутренняя часть какой-нибудь геометрической фигуры.

Кратко будем обозначать геометрические понятия следующим образом:

Sпр – это площадь прямоугольника;

Sкв - это площадь квадрата;

а - это длина большей стороны фигуры;

b - это ширина стороны фигуры (иногда буква может меняться на любую другую )

Нахождение площади прямоугольника (Sпр ) по формуле:

Sпр = а ∙ b

Нахождение сторон прямоугольника (а или b):

а = Sпр: b;

b = Sпр:а

Нахождение площади квадрата (Sкв) по формуле:

Sкв = а ∙ а

Нахождение стороны квадрата (а)

а = Sкв : а

Нахождение площади прямоугольного треугольника (Sтр) по формуле:

Sтр. = (а ∙ b):2

Оформление задачи в тетради

Например: ( данные могут быть разные, но оформление одинаковое)

Дано: Решение.

Прям-к Sпр = а ∙ b

а = 5см b = Sпр: а

Sпр = 15см 2 b = 15см2 : 5 см = (3 см)

Читайте также: