Токарева и а формирование математических понятий в школьном курсе математики

Обновлено: 02.07.2024

1 Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе математики ТМОМ Методические основы обучения математике

2 План 1.Математические понятия (сведения из логики) a)Сущность математических понятий; b)Логические характеристики понятий: содержание, объем; c)Пути конструирования понятий; d)Классификация понятий 2.Определения математических понятий a)Способы определения, структура определения; b)Виды определений c)Требования к корректности определений 3.Методики изучения понятий и схемы их применения a)Методы формирования понятий; b)Организация усвоения понятий (этапы формирования); c)Основные приемы действий с понятиями; d)Система упражнений, направленная на формирование понятия.

3 Сущность математических понятий Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира. Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира. В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

4 Признаки понятия Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными признаки существенныенесущественные Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

5 Образование понятия Выделение с помощью анализа признаков объекта Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

6 Логические характеристики понятия Содержание понятия - совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием. Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено. Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

7 Закон обратного отношения Чем уже объем понятия, тем шире его содержание; Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

9 Виды понятий (по соотношению объемов) Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия). Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают. Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают. Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

10 Характеристики признаков понятия Пусть понятие А включает класс объектов Х Признак а называется необходимым или основным признаком понятия А, если признаком а обладает любой объект из Х. Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х. Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

11 Конструирование новых понятий Осуществляется с помощью трех логических операций: обобщения, ограничения, классификации.

12 Обобщение понятий Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию). Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

13 Ограничение понятий Ограничением понятий - логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию). Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

14 Классификация понятий Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств) Классификации считается правильной, если: признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые; сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия; в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

15 Виды классификаций дихотомическая ( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия; иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием; последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям. При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

17 Что значит определить понятие? С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание. В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

18 Типы определения понятия Определения Вербальные ЯвныеНеявные Аксиоматические (косвенные) Описательные Невербальные (остенсивные)

19 Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через показ, демонстрацию. Вербальное определение – описание объекта словами. Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно. Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).

21 Виды определений ( в зависимости от определяемого объекта ) Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов. Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.

22 Виды определений ( в зависимости от способа выделения видовых отличий ) Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия. Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия. Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества. Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.

23 Формально-логические требования корректности определений признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других; количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия; признаки должны быть независимыми.

24 Логико – математический анализ определения понятия определение способа получения нового понятия; определение типа и вида определения; определение структуры определения; раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия); определение корректности определения.

26 Формирование понятия – длительный процесс Начальные этапы работы с понятием Профессиональный – выполнение логико- математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания. Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация. Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

27 Введение понятия и его определения Подходы к введению понятия Конкретно- индуктивный метод Движение мысли от частного к общему Абстрактно – дедуктивный метод Движение мысли от общего к частному

28 Схема применения конкретно- индуктивного метода анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование; через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие; на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие; рассматриваются примеры и контрпримеры; понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.

29 Схема применения абстрактно- дедуктивного метода формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия; через рассмотрение частных примеров и контрпримеров осуществляется конкретизация определения; понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

30 Усвоение понятия Методы организации усвоения Раздельный метод Компактный метод Алгоритмический метод

31 Раздельный метод – сначала происходит запоминание формулировки определения. А затем формируется навык ее применения. Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению. Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

32 Этапы организации усвоения понятия (в соответствии с концепцией обогащающей модели обучения М.А. Холодной) Мотивировка - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта. Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия. Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания. Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания. Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

33 Организация обучения учащихся работе с понятиями ( в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина ) формирование мотивации введения нового понятия; представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД; организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат; организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.

34 Основные приемы действий с определениями понятий Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином. Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.

35 Система упражнений, направленная на формирование понятий Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий. Системообразущий фактор Этапы формирования понятия (система Г.И. Саранцева) Структура понятийной познавательной деятельности (система М.А. Холодной)

36 Система задач Г.И. Саранцева на мотивацию (практического характера); на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам; на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия; на выделение следствий из определения понятия; на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия; на применение понятий в разных ситуациях; на систематизацию понятий.

37 Система задач М.А. Холодной на формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности; на выделение признаков усвояемого понятия; на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями; на развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия; на подключение предметного опыта учащихся.

Статистические данные, представленные в таблице 3 свидетельствуют, что все средние оценки учащихся, обучавшихся по экспериментальной методике, выше оценок контрольной группы. Значения рассматриваемых параметров свидетельствуют, что выборки можно сравнивать между собой и делать соответствующие выводы.

Для заключительного обобщения были характерны особенности: сведение сформированных знаний к единым теоретическим основаниям. С этой целью проверялась сформированность у обучаемых следующих учебных умений: 1) установление содержательных и процессуальных связей между понятиями систем; 2) установление границ применимости имеющихся в распоряжении теоретических знаний и способов действий; 3) осуществление научно-мировоззренческого и методологического осмысления теоретических знаний.


В целом учащиеся экспериментальных классов показали высокий уровень сформированности теоретических знаний. 91,1-94,4% учащихся могли применять знания в различных учебных ситуациях, что свидетельствует, во-первых, об успешном решении учебных задач и сформированности в их ситуациях систем фундаментальных математических понятий; во-вторых, об эффективности разработанной нами концепции, которая сочетает в себе системный и деятельностный подходы.

Таким образом, в ходе исследования были решены его основные задачи, получены теоретические и экспериментальные данные, подтверждающие выдвинутую гипотезу, что позволило сделать обобщающие выводы:

1. Выполненное педагогическое исследование имеет теоретико-экспериментальный характер. На основе глубокого и всестороннего анализа было установлено несоответствие между требованиями общества к развитию личности и уровнем образования в современной школе. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно. Такой подход дает положительный эффект лишь в усвоении многих частных понятий и не способствует формированию целостных систем понятий. Низкий уровень системности, обобщенности и функциональности фундаментальных математических понятий обусловил постановку вопроса о повышении качества их изучения, о необходимости интеграции в теоретические системы понятий.

2. Многоаспектная, полифункциональная и деятельностная природа фундаментальных математических понятий потребовала пересмотра механизмов их образования, дальнейшего развития и интеграции в процессе обучения. В этой связи представлена логико-гносеологическая характеристика фундаментальных математических понятий, определена их природа, выделены функции, механизмы образования, развития и интеграции систем фундаментальных понятий.

3. В диссертации разработаны теоретические основы формирования систем понятий, отражающие метод восхождения от абстрактного к конкретному, направленные на развитие творческого мышления и усиления содержательного обобщения, активности понятийно-теоретической деятельности учащихся, повышение функциональности теоретических знаний в процессе обучения математике.

5. На основе целостного понимания процесса обучения и выявленных путей совершенствования процесса формирования систем понятий (структурирование понятийного содержания; повышения роли и эвристичности знаков языка науки; формирование понятий с целью использования интегративных и эвристических функций; развития и активизации понятийно-теоретической деятельности), нами была разработана принципиально новая концепция продуктивного формирования систем фундаментальных математических понятий, реализующая в единстве системный и деятельностный подходы. На основе данной концепции были реализованы ведущие функции фундаментальных понятий: объяснительная, систематизирующая, обобщающая, развивающая, эвристическая, прогностическая, а также сформированы системы фундаментальных математических понятий, которые впоследствии на основе теоретического анализа, синтеза, сравнения, обобщения и моделирования были сведены в единую теоретическую систему знаний.

6. В диссертации определены и раскрыты принципы отбора математических задач (алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические, эвристические), предназначенные для включения учащихся в активную понятийно-теоретическую деятельность по формированию фундаментальных понятий и их систем.

7. Выполненное теоретико-экспериментальное исследование показало эффективность разработанной концепции по формированию теоретических систем понятий. Внедрение результатов исследования в практику работы общеобразовательных школ открывает новые направления и перспективы в плане образования, воспитания и развития личности обучаемых.

8. Подтверждена гипотеза исследования относительно того, что целенаправленное формирование фундаментальных математических понятий и их систем в рамках системного и деятельностного подходов, служащих альтернативой индуктивно-эмпирическому подходу и оптимизирующим фактором в плане формирования личности новой формации, способной к активному и творческому овладению знаниями через специально организованный педагогический процесс, определяемый совокупностью педагогических условий: разработка концепции продуктивного формирования теоретических систем понятий; создание прогностической модели целостного процесса формирования понятий и их систем, учитывающей их логико-познавательную природу, закономерности возникновения, развития, интеграции; реализация психолого-дидактических принципов развивающего обучения в образовательном процессе; получение высоких результатов, так как 91,1-94,4% учащихся могли применять полученные знания в различных учебных ситуациях через длительный период времени.

9. Проведенное нами теоретико-экспериментальное исследование вносит определенный вклад в теорию и практику обучения, открывает широкие возможности для модернизации математического образования в образовательном пространстве. Выполненное исследование не исчерпывает всего круга проблем, связанных с реализацией процесса формирования математических понятий и их систем. Исследование в большей мере предполагает теоретико-методологические ориентиры для дальнейших исследований в области дидактики, теории и методики обучения математике и других частных методик. В этой связи актуальной представляется следующая проблематика: реализация концепции продуктивного формирования систем понятий на материале других предметов, создание на основе разработанной концепции механизма его развития и внедрения в учебный процесс средних специальных и высших учебных заведений.

Материалы диссертационного исследования изложены в 147 публикациях, в т.ч., монография, 24 (учебно-методические пособия, учебные программы, методические рекомендации), 84 статьи, 38 тезисов, общим объемом свыше 150 печатных листов.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора.

Монографии

1. Токарева, Л. И. Формирование систем понятий при обучении математике [Текст] : монография / Л. И. Токарева ; Башк. гос. пед. ун-т им. М. Акмуллы. – Уфа, 2008. – 392 с. (24 п. л.).

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских исследований

2. Токарева, Л. И. К вопросу о выполнении методического анализа школьных математических задач [Текст] / Л. И. Токарева // Математика в школе. – 1991. – № 3. – С. 39-42. (0,6 п. л.).

3. Токарева, Л. И. Формирование систем математических понятий в концепции системно-деятельностного подхода [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Челяб. гос. пед. ун-та. Серия 2, Педагогика. Психология. Методика преподавания. – 2005. – № 9. – С. 185-192. (1 п. л.).

4. Токарева, Л. И. Этапы в деятельности учителя математики по формированию теоретических систем знаний школьников [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Поморского ун-та. Серия : Физиологические и психолого-педагогические науки. – 2004. – № 2(6). – С. 63-71. (0,9 п. л.).

5. Токарева, Л. И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Челябинского гос. пед. ун-та. Серия 2, Педагогика. Психология. Методика преподавания. – 2005. – № 10. – С. 287-299. (1,3 п. л.).

6. Токарева, Л. И. Формирование теоретических систем понятий в условиях развивающего обучения (на материале математики) [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Костромского гос. ун-та им. Н. А. Некрасова. Серия : Психологические науки. Акмеология образования. – 2005. – Т. 11, № 4. – С. 23-28. (0,9 п. л.).

7. Токарева, Л. И. Методология формирования фундаментальных понятий и их систем в обучении математике [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Поморского университета. Серия : Физиологические и психолого-педагогические науки. – 2006. – № 1(9). – С. 132-137. (0,85 п. л.).

8. Токарева, Л. И. Модели содержания систем понятий – как ориентиры организации процесса обучения математике [Текст] / Л. И. Токарева // Наука и школа. – 2008. – № 3. – С. 33-36. (0,5 п. л.).

9. Токарева, Л. И. Формирование теоретических систем понятий у учащихся общеобразовательных школ [Текст] / Л. И. Токарева // Наука и школа. – 2008. – № 4. – С. 21-23. (0,5 п. л.).

10. Токарева, Л. И. Содержание современного школьного математического образования [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. Серия 20, Педагогическое образование. – 2008. – № 3. – С. 45-54. (1 п. л.).

11. Токарева, Л. И. Моделирование понятий и их систем в школьном курсе [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Московского государственного областного университета. Сер. Педагогика. – 2008. – № 3. – С. 185-190. (0,7 п. л.).

12. Токарева, Л. И. Модели целостного процесса формирования понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Тамбовского университета. Серия : Гуманитарные науки. – Тамбов, 2008. – Вып. 12 (68). – С. 113-122. (1,3 п. л.).

13. Токарева, Л. И. Теоретические основы формирования фундаментальных понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. Серия 20, Педагогическое образование. – 2009. – № 4. – С. 25-34. (1 п. л.).

Учебные, учебно-методические пособия, методические рекомендации, учебные программы

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Блинова Светлана Михайловна

МБОУ Кайдаковская СОШ

Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления . Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы – формирование понятийного аппарата темы.

Понятие - форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Роль понятий при изучении математики сложна и многообразна. С одной стороны, на понятия мы опираемся в процессе доказательства, с другой – во всяком доказательстве мы раскрываем понятия, углубляем и уточняем знания о понятиях. Само определение понятий также основывается на уже известных понятиях. Поэтому столь важна формулировка определения понятия, которая может быть дана различными способами. Отсюда следует, что одна из основных целей методики преподавания математике – выявить наиболее рациональные способы, с помощью которых можно дать определение того или иного понятия. От этого зависит, насколько хорошо у учащихся сформируется представление о новом понятии.

Введение понятий абстрактно-дедуктивным методом. При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить абстрактно-дедуктивный метод. Особенность этого метода состоит в том, что каждое определение вводится сразу, в готовом виде, без предварительного разъяснения на конкретных примерах и образцах. Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:

Дать определение нового понятия (уравнение вида а x 2 – bx + c =0, где а≠ 0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).

Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия ( x 2 + px + q =0, ax 2 + c =0, ax 2 + bx =0, ax 2 =0), проведя своеобразную классификацию этого понятия. В данном случае классификация может быть такой:

Привести некоторые контр примеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bx +с= 0 неполным квадратным уравнением).

Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами ( x 2 –7 x +12 =0, 2 x 2 – 32 =0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.

Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу можно рассмотреть как квадратное уравнение ; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).

Введение понятий конкретно-индуктивным методом. Сущность конкретно-индуктивного метода заключается в том, что на основе рассмотрения частных примеров учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения.

Например, ознакомление учащихся с простыми и составным числами можно провести следующим способом:

На доске написать такие два ряда чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, …

Выявление и отбор существенных признаков данных понятий. Например, учитель может дать учащимся такое задание: найти все делители каждого из чисел, содержащихся в первом ряду, и найти все делители каждого из чисел, содержащихся во втором ряду.

Формулировка определения этих понятий; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся).

Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся).

Таким образом, пользуясь конкретно-индуктивным методом, учитель дает учащимся такие конкретные примеры, в которых на первый план выступают существенные признаки данного понятия, и привлекает учащихся к этим признакам.

Конкретно-индуктивный метод находит большое применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.

В одних случаях можно составить такие упражнения, чтобы на их основе учащиеся легко и быстро сформулировали определение нового понятия. В других случаях этого добиваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к восприятию нового определения. Например, приступая к изучению геометрической прогрессии, учитель предлагает следующие упражнения.

Выпишите несколько первых членов последовательности ( х n ) , у которой х 1 = 2, х n +1 = x n ∙ 3. Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать определение геометрической прогрессии.

Упражнение учащиеся выполняют свободно, опираясь на аналогию с уже известным им определением арифметической прогрессии. Когда же вводится понятие арифметической прогрессии, то путем дополнительных вопросов также можно добиться самостоятельного формулирования учащимися определения. Но здесь на аналогию они не опираются, так как с подобным определение встречаются впервые. Поэтому с целью экономии учебного времени лучше изменить упражнение, исключив из него требование о самостоятельном формулировании определения, например:

Выпишите несколько последовательных членом последовательности ( х n ), у которой х 1 = 4, х n +1 = x n + 3. Далее учитель говорит, что такая последовательность называется арифметической прогрессией, и сам сообщает ее определение.

Таким образом, метод ознакомления учащихся с новым определением выбираю в зависимости от характера изучаемого материала, наличие учебного времени, уровня развития учащихся и других факторов.

Учитывая, что упражнения являются основным средством формирования понятий в средней школе, сопоставим в виде схемы каждый этап формирования понятия и соответствующие ему виды упражнений:

Упражнения на применение изученных понятий и теорем.

Упражнения практического характера.

Выделение существенных свойств понятия

Упражнение на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам.

Усвоение логической структуры определения понятия

Упражнения с моделями фигур.

Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия.

Упражнения на выделение следствий из определения понятия.

Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий).

Упражнения на составление родословной понятия.

Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями

Упражнения на применение понятия в различных ситуациях.

Упражнения на систематизацию понятий.

Итак, формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

1. мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);

2. выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

3. формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

C писок литературы

Никитин В.В., Рупасов К.А. Определения математических понятий в курсе средней школы: Пособие для учителей. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1963.

Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе.//Математика в школе. 1998 - №6 – с.27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет педагогического образования, к. 349.

доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Гаврилов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования . В современных условиях углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество образования и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебного процесса в средней школе.

В последние годы ученых-математиков, дидактов, психологов особенно волнует проблема поиска эффективных средств изучения предмета математики.

Специфика предмета математики состоит в том, что: 1) понятия этого предмета представляют собой сложную логико-гносеологическую категорию высокого уровня абстракции по сравнению с предметами естественнонаучного цикла; 2) процесс образования, развития и применения математических понятий – сложный, длительный, многоуровневый и многоэтапный процесс.

В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания, модельные представления. Вместе с тем до настоящего периода времени не преодолены многие недочеты и противоречия в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в существующих подходах формирования математических понятий. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно и при этом в основном применяется индуктивно-эмпирическая схема обобщения.

Требуется перестройка процесса обучения математике, с целью формирования у учащихся целостных систем понятий. Важнейшими ее стимулами становятся: перспективные социально-педагогические требования, успехи и тенденции развития методологии математической науки, достижения педагогической теории и практики обучения, их противоречия.

Проблеме формирования понятий посвящены многочисленные исследования философов, логиков, математиков, педагогов, психологов, методистов М.Н. Алексеева, Ф. Кумпф, В.Ф. Асмуса, В.Г. Афанасьева, А.С. Арсеньева, Е.К. Войшвилло, Н.К. Вахтомина, Д.П. Горского, Б.М. Кедрова, Г.А. Курсанова, Ю.А. Петрова, Н.И. Кондакова, А.Д. Александрова, В.Ф. Бутузова, Н.Х. Розова, А.Я. Хинчина, Г.В. Дорофеева, А.И. Маркушевича, Ю.К. Бабанского, В.П. Беспалько, А.В. Брушлинского, А.М. Матюшкина, В. Оконя, А. Крыговской, М. Вертгеймера, Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича, Ю.М. Колягина, А.А. Столяра, Г.И. Саранцева и других.

Анализ имеющихся исследований показал, что в них недостаточно исследован вопрос о поиске путей возникновения, дальнейшего развития и применения понятий в условиях развивающего обучения. Современные дидактические и психолого-педагогические концепции еще медленно внедряются в теорию и практику обучения.

Актуальность постановки проблемы математического образования в средней школе и ее решение конкретизируется в четырех взаимосвязанных аспектах , образующих проблемное поле данного диссертационного исследования.

Первый аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем понятий у учащихся общеобразовательных школ. Данный аспект испытывает потребность в педагогическом профессионализме и способности проектирования ситуаций математического развития. Исследованиями многих ученых установлено, что в системе математического образования приоритет отдается умениям решать математические задачи. Становление учителя математики как субъекта деятельности требует категориального и практического разрешения ряда нерешенных проблем по формированию математических понятий (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, B.C. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.Н. Тихонов, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Г.В. Дорофеев, Л.В. Канторович, Ю.М. Колягин, В.Н. Осинская, З.И. Слепкань, Е.И. Лященко, В.А. Тестов и др.)

Второй аспект обусловлен социально-педагогической значимостью идеи формирования систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ. Поэтому важно проделать серьезную работу по структурированию и группировке понятий вокруг ведущих идей и научных теорий, по активному использованию функций понятий (систематизирующей, прогностической, эвристической и др.) в учебно-познавательной деятельности учащихся. Следует коренным образом перестроить процесс формирования фундаментальных математических понятий, раскрывая их как теоретические системы знаний, отразив передовой опыт школ, а также современные достижения математической науки и наук психолого-педагогического цикла (А.Д. Александров, А.И. Берг, В.Г. Болтянский, А.А. Ляпунов, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, Г.Ю. Ризниченко, Л.Д. Кудрявцев, В.Ф. Бутузов, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Е.М. Вечтомов, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович, Г.А. Китайгородская, Л.Я. Зорина, З.И. Калмыкова, А.В. Усова, Г. Клаус, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов и др).

Анализ образовательных программ в системе обучения школьников показал, что их разработчики по-прежнему ориентируются на предметно-знаниевый подход, где формированию приемов учебно-познавательной деятельности, обобщенных способов действий почти не уделяется внимания.

Четвертый аспект актуальности проблемы представленного исследования определяется, во-первых, необходимостью рассмотрения механизмов возникновения, формирования и интеграции математических понятий (В.В. Давыдов, А.К. Маркова, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, Д.Х. Рубинштейн, А.В. Усова и др.), во-вторых, необходимостью формирования систем математических понятий на основе инновационных технологий обучения, которые непосредственно направлены на формирование творческого мышления обучаемых.

Состояние изученности проблемы . Базовыми для построения теоретических основ формирования систем математических понятий у учащихся являются:

- учения о диалектике понятий, диалектическая концепция развивающегося понятия (Л.Д. Арестова, А.С. Арсеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров, Н.К. Вахтомин, Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, В.В. Мадер, Ю.А. Петров, Г. Пиппиг, Г.И. Рузавин, А.К. Сухотин, С.А. Шапоринский, А.Н. Шимина и др.);

- концептуальные положения по теории познания (Л.С. Выготский, П.П. Блонский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Ю.А. Самарин, А.Ф. Эсаулов и др.);

- исследования выдающихся математиков, математиков-методологов, математиков-психологов (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, В.С. Владимиров, Л.С. Понтрягин, А.И. Маркушевич, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Г.П. Матвиевская, В.А. Садовничий, Н.Х. Розов, Н.Ф. Талызина, А.Я. Хинчин, А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, А. Крыговская, А.М. Сохор, М.Б. Волович, Г.А. Буткин и др.);

- исследования по теории системного подхода (А.И. Уемов, Э.Г. Юдин, В.А. Штофф, Л.Я. Зорина, Г.Д. Кириллова, В.П. Беспалько, А.М. Сохор, Н.Ф. Талызина, И.П. Калошина, Г.А. Китайгородская, А.В. Усова, А.Н. Шимина и др.);

- исследования по теории деятельностного подхода (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, В.В. Давыдов, Л.В. Берцфаи, Д.Б. Эльконин, Н.Г. Салмина, А.З. Рахимов, А.К. Маркова, И. Ломпшер, В. Оконь, Т.И. Шамова и др.).

При изучении предмета математики учащимся приходится выполнять одновременно несколько видов деятельностей по: 1) обнаружению, постановке учебных проблем и целенаправленному поиску выхода из создавшихся проблемных ситуаций; 2) выделению данного понятия из ряда других понятий по наличию существенных признаков; 3) конструированию математических объектов с заданными свойствами; 4) осуществлению поиска решения математических задач и выделению блока необходимых теоретических знаний для выполнения самого процесса решения; 5) применению имеющихся знаний в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, новых. Ведь в современных условиях необходим человек новой формации, способный к активному творческому овладению знаниями, умеющий анализировать, обобщать, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности и делать аргументированные выводы.

Самостоятельное применение знаний учащимися в измененных и нестандартных учебных ситуациях станет возможным в том случае, если они овладеют теоретически обобщенными структурами понятий, систем понятий, различными видами математических утверждений и методами их доказательства, методами решения различных типов математических задач.

Объектом исследования выступает математическое образование в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования составляют теоретические основы и методы формирования фундаментальных математических понятий и их систем в школьном курсе математики.

Структурирование содержания школьного курса математики: представление его в виде взаимосвязанных, взаимообусловленных блоков: содержательного (понятийного), логико-формирующего, блока средств (дидактических и методических).

Необходимость выделения, формирования и интеграции фундаментальных математических понятий и их систем обусловлена современными требованиями к образованию, воспитанию и развитию учащихся.

В современных условиях, когда происходит частая смена учебных программ и учебников, существенное значение приобретает качественное усвоение инвариантов теоретических систем понятий, которые при соответствующей подготовленности учащихся, можно легко конкретизировать и творчески применять в различных учебных ситуациях.

Формирование фундаментальных математических понятий и их систем должно строиться с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов, диалектического метода, содержательного обобщения и включать в себя продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся.

Моделирование процесса формирования математических понятий и их систем должно осуществляться с целью проявления в обучении двуединой сущности: способности концептуально отражать математическую природу и быть одновременно мыслительной деятельностью.

Деятельностная природа систем фундаментальных понятий школьного курса математики предполагает отражение в их содержании и структуре адекватной им деятельности обучающего и обучаемых. Это позволяет использовать структурно-логические модели инвариантов систем понятий в качестве прогностических основ деятельности учителя по формированию структурно-организованных и действенных знаний учащихся, по самостоятельному построению ими и усвоению этих теоретических конструктов, по реализации их разнообразных функций в процессе активного учения.

В соответствии с объектом, предметом и концепцией исследования была сформулирована гипотеза , направляющая весь ход данного исследования:

процессы обучения математике, развития учащихся, будут эффективными и результативными, если они будут опираться на модель целостного процесса формирования математических понятий и их систем, включающую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный;

если в обучении полноценно реализовать принципы развивающего обучения, алгоритмическую деятельность учащихся сочетать с эвристической;

если формирование фундаментальных математических понятий и их систем строить с учетом их логико-гносеологической природы с позиций системного и деятельностного подходов;

если развивать способности концептуально отражать математическую природу и одновременно формировать мыслительную деятельность учащихся, то это даст ожидаемые результаты;

если формирование систем математических понятий осуществлять с помощью диалектического метода, содержательного обобщения и включать их в продуктивную понятийно-теоретическую деятельность учащихся, то это позволит сформировать такие качества знаний, как гибкость, осознанность, глубина, критичность мышления.

Задачи исследования были поставлены в соответствии с проблемой, концепцией и гипотезой:

Проанализировать состояние теории и практики формирования фундаментальных математических понятий и их систем у учащихся средних общеобразовательных школ в свете новых требований, которые предъявляет общество к образованию, воспитанию и развитию личности обучаемых.

Выполнить логико-гносеологический анализ процесса возникновения, развития и применения фундаментальных математических понятий и их систем в современном обучении математике.

Представить общую методологию формирования фундаментальных математических понятий и их систем на основе использования системного и деятельностного подходов.

На основе выполненного анализа современного состояния теории и практики школьного математического образования выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции продуктивного формирования математических понятий и их систем.

Спроектировать на основе разработанной концепции прогностическую модель целостного процесса формирования понятий и их систем, содержащую компоненты: содержательно-целевой, процессуально-деятельностный, контрольно-оценочный и оценочно-результативный.

Осуществить экспериментальную проверку выдвинутой гипотезы и эффективности теоретически обоснованной методики формирования фундаментальных математических понятий и их систем, выявить ее влияние на развитие творческого мышления учащихся, на сформированность учебных умений устанавливать содержательные и процессуальные связи между понятиями, системами понятий.

Выполнить статистическую и качественную обработку полученных результатов и сделать обоснованные выводы с целью окончательного подтверждения гипотезы исследования.

Методологическую основу исследования составляют научные положения диалектики о социально-деятельностной сущности человека, о единстве эмпирического и теоретического, о развитии личности школьника в процессе учебной деятельности.

Высший философский уровень методологии исследования основан на диалектическом методе познания; отражение философских категорий всеобщего, особенного, единичного как в самом математическом образовании, так и в формировании систем математических понятий.

Общенаучный уровень методологии опирается на общенаучные принципы и формы исследования и включает следующие теории и научные концепции: теорию познания; диалектическую концепцию развивающегося понятия (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн. А.Н. Леонтьев, B.C. Библер, И.В. Блауберг, Б.М. Кедров).

Конкретно-научный уровень методологии исследования представляют системный и деятельностный подходы, а также современные психолого-педагогические, дидактические концепции обучения (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, П.П. Блонский, Е.Н. Кабанова-Меллер, А.А. Люблинская, Л.В. Занков, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Л.В. Берцфаи, В.В. Давыдов, А.З. Рахимов и др.)

Ведущая идея теоретической концепции исследования заключается в следующем: качественное усвоение систем фундаментальных математических понятий и развитие творческого мышления учащихся достигается через отражение в содержании и структуре теоретических знаний и целостной модели их формирования характера и структуры соответствующей познавательной деятельности обучаемых, активизируемой и развиваемой целенаправленным руководством обучающего.

Для решения поставленных в исследовании задач, а также подтверждения исходных положений и проверки гипотезы исследования использовалась совокупность взаимодополняющих методов исследования :

теоретических : изучение и теоретический анализ литературы в области математики и истории математики, философии и логики, дидактики и теории и методики обучения математике (и других частных методик); нормативных документов, монографий, диссертаций, материалов международных, всероссийских и республиканских научно-практических конференций, связанных с проблемой исследования, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся средней школы; теоретико-методологический анализ содержания современного школьного математического образования; логико-дидактический и системно-структурный анализы учебного материала; научное моделирование систем фундаментальных математических понятий;

э мпирических : изучение и обобщение массового и передового педагогического опыта учителей математики; сравнение, обобщение, классификация, синтез психолого-педагогических концепций обучения; анализ многолетней педагогической деятельности автора исследования; анкетирование, тестирование, интервьюирование (учащихся и учителей); педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанной методики формирования теоретических систем понятий; статистическая и качественная обработка полученных результатов.

На основе анализа научно-методической литературы, собственного опыта педагогической деятельности была построена логика исследования, состоящая из четырех этапов, на каждом их которых рассматривалась одна из частных проблем в тесной связи с другими.

Второй этап (поисково-теоретический) – (1994-1999 гг.). Уточнение гипотезы исследования, изучение многих аспектов проблемы; определение теоретических основ и направлений совершенствования процесса формирования фундаментальных математических понятий и их систем; проведение констатирующего эксперимента и обработка его результатов; экспериментальная проверка результативности разработанной методики в общеобразовательных учреждениях различных городов и регионов.

Четвертый этап (аналитический, завершающий) – (2003-2009 гг.). Завершен формирующий эксперимент, произведены систематизация и обобщение научных результатов, их качественно-статистический анализ; сформулированы выводы; осуществлена публикация основных результатов исследования в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ; осуществлено внедрение в учебный процесс теоретических основ и целостной методики формирования теоретических систем понятий.

Опытно-экспериментальной базой исследования были общеобразовательные учреждения гг. Великого Новгорода, Новгородской области, Саратова, Саратовской области (гг. Петровск, Аткарск), Магнитогорска, Уфы, ряда регионов Башкортостана (Мелеузовский, Аургазинский, Абзелиловский и др.), Алматы, Рязани, Нальчика и др.


Понятия и их определения — это достаточно сложные категории, тем более, в математике. Поэтому их изучение в начальной школе требует от учителя продуманной работы, знания теоретических основ их изучения и умения применять их на практике.

На необходимость теоретического освещения методических вопросов определений школьных математических понятий первым в советской методике указал А. Я. Хинчин. В дальнейших исследованиях по данной тематике можно выделить некоторые направления.

Первое связано с изучением психологических особенностей младших школьников при усваивании понятий и их определений. При рассмотрении этой проблемы, её обосновании, большую роль сыграли труды психологов Ж.Пиаже, а так же Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова.

Учёные показали, что в формировании научных понятий принимает участие определённая система психологических процессов, которая формируется с ведущим участием вербально-логических операций.

Второе направление связано с исследованием логических приёмов, которые способствуют усвоению определений понятий. Сюда относятся исследования Н. Ф. Талызиной, И. Л. Никольской, Т. А. Кондрашенковой, О. В. Алексеевой, Г. А. Буткина. В них ставится и решается проблема управления деятельностью или отдельными действиями учащихся при работе с понятиями и их определениями.

В настоящее время данная проблема исследуется мало. В программах начального курса математики о работе над определениями ничего не сказано, но определения играют большую роль в обучении учащихся и должны занимать исключительно важное место в курсе математики начальной школы. Поэтому рассматриваемая тема остаётся актуальной на данный момент.

Основная цель изучения понятий — это правильное усвоение школьниками содержания понятий и использование последних в своей учебной деятельности.

Достижение этой цели — длительный процесс. Формирование понятий у школьников, т. е. процесс усвоения понятий, идёт через использование учащимися формируемых понятий в своей деятельности. Поэтому включение учащихся в активную деятельность — умственную или практическую — важнейший и единственный путь формирования у них изучаемых понятий.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, Л. П. Стойлова делит на 4 группы. [1, с.271] Первую группу составляют понятия, связанные с числами и операциями над ними. К ним относится следующее: число, сложение, слагаемое, больше и другие. Во вторую — Алгебраические понятия: выражения, равенство, уравнения и другие. К третьей группе относятся геометрические: прямоугольник, отрезок, треугольник и так далее. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Учащиеся должны усвоить все эти понятия. Для этого учителю самому надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

Но, если мы обратимся к математическим понятиям, то увидим, что они обладают рядом особенностей. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура.

Даем учащимся следующее задание — вставить пропущенные слова:

А) квадрат — ……………., у которого все стороны равны

Б) ………… — это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти

В) ………. … — это …………. у которого все углы прямые.

Данный пример позволяет нам сделать вывод, что ученики не имеют достаточных знаний о математических понятиях. Несформированность умения работать с определениями на необходимом уровне влечёт за собой в дальнейшем большие затруднения у учащихся и неспособность к овладению в достаточном объёме материалом в среднем и старшем звене.

Первостепенной задачей, которую мы поставили перед собой — формирование, уточнение представлений о самом понятии.

Особенный интерес вызвало у детей занятие в форме математической сказки. Они быстро вспомнили понятие прямоугольника, назвали существенные признаки прямоугольника, сформулировали определение, изготовили модель прямого угла.

По результатам проведенного исследования можно сделать вывод, что при специально организованной дополнительной работе по формированию математических понятий можно добиться улучшения результатов.

Основные термины (генерируются автоматически): начальная школа, изучение, начальный курс математики, пятиминутка, работа, учащийся, ученик, формирование.

Читайте также: