Теоретические основы понятия натурального числа кратко
Обновлено: 02.07.2024
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами
Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов [24, с.67]. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. Соответственно, натуральные числа определяются как:
- числа, используемые при перечислении (нумеровании) предметов: 1, 2, 3, … (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России.
- числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются.
Натуральные числа имеют две основные функции:
q характеристика количества предметов;
q характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.
В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).
Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…
Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.
Основные свойства натуральных чисел:
Дистрибутивность умножения относительно сложения.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
a + b = b + a - переместительное свойство сложения
(a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения
ab = ba - переместительное свойство умножения
(ab)c = a(bc) - сочетательное свойство умножения
a(b + c) = ab + ac - распределительное свойство умножения относительно сложения
Результатом сложения и умножение двух натуральных чисел всегда является натуральное число.
Если m, n, k натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное.
Признаки делимости натуральных чисел .
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0.
Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 [5, с.174 ].
Таким образом, натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Изучение натуральных чисел на уроках математики в начальной школе представляет для младших школьников некоторые трудности. Для того, чтобы учащиеся освоили материал, необходимо развивать у них познавательную активность, этому могут способствовать уроки с использованием дидактических игр.
Следующая глава будет посвящена экспериментальному изучению дидактической игры как средства развития познавательной активности при изучении чисел первого десятка.
Раздел: Педагогика
Количество знаков с пробелами: 90035
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 0
Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия.
Натуральные числа естественным образом можно расположить в порядке возрастания: каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. При этом записанные в порядке возрастания числа и обозначаемые символами , , , , , , , , , , , . образуют натуральный ряд. Как видно из записи, наименьшее натуральное число — единица.
Если имеется совокупность каких-нибудь предметов, то ее называют множеством, а предметы — элементами множества. Множество может содержать только один элемент и даже не иметь ни одного элемента (пустое множество).
А что означает многоточие в конце ряда?
Многоточие означает, что натуральный ряд можно продолжать бесконечно, т.е. множество всех натуральных чисел бесконечно. Наибольшего натурального числа нет, потому что, какое бы большое число мы не взяли, к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.
Значит весь натуральный ряд на компьютере не изобразить.
А можно построить ряд натуральных чисел, например, до ?
Можно изобразить натуральный ряд от до
А чтобы не через ? А скажем через (по пятилеткам).
Множество натуральных чисел обозначают так:
А зачем двойная палочка посередине?
Это делается для того, чтобы не спутать с латинской буквой N. Наша же буква из алфавита Double-Struck. Вот он как выглядит:
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
— множество натуральных чисел
— множество целых чисел
— множество рациональных чисел
— множество иррациональных чисел
— множество вещественных(действительных) чисел
— множество комплексных чисел
.
Обратите внимание.
Единица — наименьшее натуральное число.
не является натуральным числом!
Натуральный ряд не имеет наибольшего числа .
Как показывают научные данные по истории математики, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практической деятельностью возникла потребность как-то количественно оценивать совокупности. Сначала количество элементов в множествах не отделялось от самих множеств, воспринималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), но и мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно потому, что отдельные предметы четко отличались по своим признакам.
Итак, на этой стадии развития понятие числа представляло собой отдельные числа-свойства и числа-качества конкретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.
С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые совокупности, но и создавать совокупности определенного количества. Для этого предметы определенной совокупности сопоставлялись по одному непосредственно с предметами другой совокупности или с помощью некоторого эталона (зарубки, узелки, части тела человека и др.) Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так, практически, человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.
Основным понятием элементарной математики в детском саду является понятие числа. Работа по формированию у детей этого понятия ведётся на протяжении дошкольного возраста и далее продолжается в начальных классах школы. Процесс формирования представлений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.
ознакомление детей с числами подготавливается практическими упражнениями, объединяющими две группы предметов, выделяющими соответствия между элементами двух совокупностей. От практических действий с предметами дети постепенно переходят к счёту, знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда (их названиям, последовательностью, выясняют с помощью этих чисел, как образуется каждое число, учатся сравнивать их.
Обучение счёту- центральная задача в работе с дошкольниками. Особое ее значение обусловлено тем, что именно в недрах счётной деятельности, в процессе постепенного ее освоения у ребёнка формируется и совершенствуется тот комплекс элементарных знаний (о равенстве и неравенстве количественных групп, о числе, об образовании чисел натурального ряда и т. д., который станет в дальнейшем первоосновой освоения вычислительной деятельности.
СЧЁТ- установление взаимооднозначного соответствия между элементами множеств и отрезком натурального числа.
ЦЕЛЬ СЧЁТА В ДОШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ :
1. различение большего и меньшего множества
2. определение количества
3. сравнение численности
4. определение итога счёта
5. определение порядкового значения элемента и результата измерения.
ИТОГОВОЕ ЧИСЛО- число названное последним при пересчёте и характеризующее количество элементов данного множества.
В старшем дошкольном возрасте количественные представления в процессе обучения формируется под влиянием овладения счётной и измерительной деятельностью. Число выступает как результат счёта, характеристика эквивалентных, равночисленных множеств, как результат измерения.
Научиться считать -значит уметь определять общее количество чего-то. При осуществлении счётной операции дети усваивают основные правила счё та: числительные называются по порядку; каждое названное числительное соотносится с одним объектом или одной группой, последнее числительное соотносится с одним предметом, но является показателем общего количества объектов счёта.
параллельно с показом образования числа детей знакомят с цифрами. Соотносят определенную цифру с числом, образованным тем или иным количеством предметов, воспитатель рассматривает изображение цифры, анализируя его, сопоставляет с уже знакомыми числами. дети производят образные сравнения.
В течении всего года дети упражняются в счёте в пределах десяти. они пересчитывают игрушки, отсчитывают из большего количества предметов меньшее, отсчитывают предметы по заданному числу, по цифре, по образцу.
В старшем дошкольном возрасте количественные представления в процессе обучения формируются под влиянием счётной и измерительной деятельностью. Число выступает как результат счёта, характеристика эквивалентных, равночисленных множеств, как результат измерения.
Формирование у дошкольников представлений о Солнечной системе Программное содержание: • Расширять и обобщать представления детей о Солнечной системе и планетах. • Способствовать развитию речевого общения.
Формирование элементарных математических представлений дошкольников на основе занимательного материала Дошкольный возраст – это начало длинной дороги в мир познания, в мир чудес. Ведь именно в этом возрасте закладывается фундамент для дальнейшего.
Формирование у дошкольников представлений об опасных ситуациях в окружающем мире природы и способах поведения в них Консультация для педагогов Тема: Формирование представлений у дошкольников представлений об опасных для человека и окружающего мира природы,.
Читайте также: