Тема объем пирамиды кратко
Обновлено: 05.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Учитель: Аккиева Азизе усеиновна
Тема урока: Объем пирамиды.
Цель: формирование умений решать задачи на вычисление объема пирамиды.
развивающие - обеспечение условий для развития умений грамотного, четкого и точного выражения мыслей; условий для развития внимательности, наблюдательности, памяти, мышления, речи
воспитательные - формирование интереса к предмету, интереса к своей будущей специальности, способность овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности
Тип урока: Урок комплексного применения знаний, умений и навыков по теме
Этапы урока:
1) Организационный момент
2) Формулирование темы и цели урока
3) Повторение и актуализация пройденного материала
4) Проверка домашнего задания
5) Тестовая самостоятельная работа
6) Решение задач по готовым чертежам
7) Работа с учебником
8) Решение задач базового уровня
7) Домашнее задание
8) Выставление оценок. Рефлексия.
Речь преподавателя
Речь обучающихся
Организационный момент СЛАЙД№1
Формулирование темы и цели урока
Повторение и актуализация пройденного материала - 2,3 мин
Перед тем, как перейти к реализации темы сегодняшнего урока, вспомним пройденный материал.
Дайте определение пирамиды
Какая пирамида называется правильной?
Чему равен объем пирамиды?
Вспомните основные формулы для вычисления площадей правильных многоугольников( записать на доске)
Вспомните свойство медиан треугольника
Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный n -угольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая из них точкой пересечения делится в отношении 2:1, считая от вершины.
Проверка домашнего задания
Проверить у доски задачу №695,б)
5. Тестовая самостоятельная работа (во время проверки домашнего задания)- 5 мин- СЛАЙД №3
Укажите формулу для нахождения объема пирамиды:
Вычислите объем пирамиды с площадью основания 25 см 2 и высотой 6 см.
Из формулы объема пирамиды выразите высоту:
В основании пирамиды – квадрат со стороной 7 см. Найти объем пирамиды, если ее высота 10 см.
Из формулы объема пирамиды выразите площадь основания:
Закончите предложение
1. Если боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется…
2. Если боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания, то вершина пирамиды…
3. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то…
1. В центр окружности, описанной около основания.
2. Проецируется в центр окружности, описанной около основания.
3. Вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Устное решение задач по готовым чертежам
СЛАЙДЫ №4
Дано: DABC- правильная пирамида
АВ=3, AD=2 Ö 3. Найти: V
Учтите, что в основании равносторонний треугольник. Найдите площадь основания.
2. Найдите радиус СО, описанной около треугольника окружности.
3. Из треугольника DOC найдите высоту пирамиды DO.
4. Найдите объем пирамиды.
СЛАЙДЫ №5
Дано: FABCD- правильная пирамида
Ð FCO=45º, FO=2. Найти: V
1.Определите вид треугольника FOC и его углы. Сделайте вывод о длине ОС.
2. Найдите АС. АС=4
3.Вспомните формулу для нахождения площади квадрата по его диагоналям. Найдите площадь основания.
4.Вычислите объем пирамиды.
8. Решение задач по готовым чертежам
Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС прямоугольный, АВ-гипотенуза
АС=6, ВС=8. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45º. Найти: V
1.Найдите площадь прямоугольного треугольника АВС.
2. Вспомните, где расположен центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС.
3.Из прямоугольного треугольника АВС найдите АВ,ОВ.
4..Определите вид треугольника DOB и его углы. Сделайте вывод о длине ОD.
5.Вычислите объем пирамиды.
Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС равнобедренный АС=АВ=10, ВС=12. Каждый из двугранных углов при основании равен 45 о . Найти: V
1. Из треугольника АСМ найдите медиану АМ
2. АМ- высота, найдите площадь треугольника
3. Вспомните свойство точки пересечения медиан. Найдите длину ОМ.
4. Определите вид треугольника DOМ и его углы. Сделайте вывод о длине ОD.
5. Вычислите объем пирамиды
9. Работа с учебником
Решить задачу №696
Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ=20см, АС=29см, ВС=21см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60 о Найдите объем пирамиды.
В треугольнике АВС: , следовательно, треугольник АВС-прямоугольный.
АВ перпендикулярно ВС, DB -наклонная, АВ-её проекция, следовательно DB перпендикулярно к ВС (по теореме о трех перпендикулярах), т.е. треугольник DBC -прямоугольный.
10. Решение задания базового уровня
В основании пирамиды лежит правильный треугольник. В него вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра той же высоты, что и пирамида. Найдите объём пирамиды, если объём цилиндра равен .
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной
11. Практическое задание (работа в группах)
Предлагаю вам выполнить практическую работу в парах. У вас на партах находятся пирамиды. Измерьте длины необходимых элементов и найдите объемы фигур. Оформите задачи в рабочих тетрадях.
Домашнее задание
13. Выставление оценок. Рефлексия
Укажите формулу для нахождения объема пирамиды:
Вычислите объем пирамиды с площадью основания 25 см 2 и высотой 6 см.
Укажите формулу для нахождения объема конуса:
Найти объем конуса, радиус которого равен 4 см, а высота 9 см.
Диаметр конуса 12 см. Найти объем конуса, высота которого 8 см. Ответ: ____________
Из формулы объема пирамиды выразите высоту:
В основании пирамиды – квадрат со стороной 7 см. Найти объем пирамиды, если ее высота 10 см.
Радиус конуса в два раза меньше высоты. Найти объем конуса, если его высота 18 мм.
Из формулы объема пирамиды выразите площадь основания:
Из формулы объема конуса выразите высоту:
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam
- Курс добавлен 31.01.2022
- Сейчас обучается 29 человек из 18 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 611 599 материалов в базе
Материал подходит для УМК
80. Объем пирамиды
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 17.01.2020 4542
- DOCX 187.5 кбайт
- 461 скачивание
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Аккиева Азизе Усеиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие
Время чтения: 16 минут
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям
Время чтения: 2 минуты
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления объема пирамиды
1. Общая формула
Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.
- ABCD – основание;
- E – вершина;
- h – высота, перпендикулярная основанию.
2. Объем правильной треугольной пирамиды
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):
Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a 2 , где а – длина его стороны.
Следовательно, формулу объема можно представить в виде:
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):
С учетом этого, объем фигуры считается так:
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см 2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:
Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
 |
| Рис.1 |
Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:| V = | 1 | SоснH |
| 3 |
Определение. Полная поверхность пирамиды - это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.
Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:| Sb = | 1 | ph |
| 2 |
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Свойства правильной пирамиды
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/ n , где n - это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.
Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.
Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.
Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.
В этом уроке мы вспомним, какие фигуры мы называли пирамидой, усеченной пирамидой. Назовем основные элементы пирамиды, усеченной пирамиды. Затем выведем формулу для вычисления объема пирамиды и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Объем пирамиды"
Сегодня на уроке мы вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой, основные элементы пирамиды, выведем формулу для вычисления объёма пирамиды.
Давайте начнём с того, что вспомним, какую фигуру мы назвали пирамидой.
Определение:
Итак, рассмотрим многоугольник и точку , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку отрезками с вершинами многоугольника. В итоге получим треугольников: , , … , . Многогранник, составленный из -угольника и этих треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник называется основанием пирамиды.
Треугольники , , … , называются боковыми гранями пирамиды.
Точка – вершиной пирамиды, а отрезки , , … , – её боковыми рёбрами.
Пирамиду с вершиной и основанием называют -угольной пирамидой и обозначают так: .
Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.
Теперь давайте сформулируем и докажем теорему.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Сначала давайте докажем теорему для треугольной пирамиды.
Рассмотрим треугольную пирамиду с объёмом , площадью основания и высотой .
Давайте проведём координатную ось так, чтобы она проходила через высоту пирамиды.
Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной к оси и, значит, параллельной плоскости основания.
Обозначим через точку точку пересечения плоскости с осью , через обозначим площадь сечения.
Выразим площадь сечения через площадь основания пирамиды и высоту пирамиды .
По рисунку нетрудно увидеть, что . Это действительно так. Это подобие вытекает из того факта, что сечение параллельно плоскости основания.
Раз треугольники подобны, значит, отношения .
Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Так как сечение , значит, отрезки , отсюда, углы как соответственные углы. Значит, треугольники . Поэтому отношения . Длина отрезка , то есть отношения равны.
Поскольку в обоих равенствах присутствует отношение , то можно записать, что
То есть мы получили, что коэффициент подобия для треугольников
и равен . Тогда площади этих треугольников относятся .
Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел.
Границами интегрирования будут числа 0 и .
Получим, что объём равен .
Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной пирамиды с высотой и площадью основания . Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой , например, пятиугольную пирамиду можно разбить так.
Выразим объём каждой треугольной пирамиды по доказанной формуле.
Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Значит, объём пятиугольной пирамиды будет равен сумме объёмов треугольных пирамид.
Вынесем за скобку , в скобках получим сумму площадей оснований треугольных пирамид, а это есть ничто иное как площадь основания пятиугольной пирамиды.
Таким образом, объём произвольной пирамиды равен . Что и требовалось доказать.
Следствием из этой теоремы будет формула для вычисления объёма усечённой пирамиды.
Прежде чем сформулировать это следствие, давайте вспомним, какую пирамиду мы называем усечённой.
Пусть нам дана пирамида . Проведём секущую плоскость , параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые рёбра в точках , , …, . Плоскость разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду и многогранник.
Определение:
Многогранник, гранями которого являются и , расположенные в параллельных плоскостях и четырехугольников , и так далее называется усечённой пирамидой.
-угольники и называются соответственно верхним и нижним основанием.
Четырёхугольники , и так далее называются боковыми гранями.
, и так далее называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
Усечённую пирамиду обозначают так .
Возьмём на верхнем основании произвольную точку и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усечённой пирамиды.
Объём усечённой пирамиды, высота которой равна , а площадь оснований равны и , вычисляется по формуле:
Решим несколько задач.
Задача: найти объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна , а сторона основания равна .
Решение: поскольку пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный, то есть равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника со стороной 13 см равна .
Применим формулу для вычисления объёма, подставим числа, выполним элементарные преобразования и получим, что объём призмы равен .
Задача: в правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны и , а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна . Найти объём усеченной пирамиды.
Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды.
Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны и .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание.
Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции.
Основания трапеции – диагонали квадратов, то есть основания трапеции соответственно равны и . Получим, что высота трапеции равна .
Подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма усечённой пирамиды, мы получим, что объём усечённой пирамиды равен .
Сегодня на уроке мы вспомнили такие фигуры как пирамида, усечённая пирамида, вывели формулы для вычисления объёма пирамиды, усечённой пирамиды. Решили несколько задач.
Читайте также: