Школа россии система счисления начальная школа
Обновлено: 04.07.2024
Сегодня, конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число.
Оценить 3231 0
1.1. Цели и задачи изучения темы…………………….……..……………. 6
1.2. Требования к знаниям и умениям…………………………….……. ….6
2. История систем счисления …………………………………………………. ….7
2.2 Древнеегипетская десятичная непозиционная система………………..8
2.3 Вавилонская шестидесятеричная система …………………..…………9
2.4 Римская система…………. 9 3. Представление о системах счисления.….……………………………………. 103.1. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую……. 12
3.2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в
3.3 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную…….………13
3.4 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную………….….14
3.5 Правила перевода правильных дробей…………………………………14
3.6 Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в
3.7 Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную…………….15
3.8 Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную……………..16
4. Правила выполнения простейших арифметических действий……………….17
5. Проектирование урока по требованиям новых образовательных
5.1. План-конспект урока «Различные позиционные системы счисления.
5.2. Структура и ход урока «Различные позиционные системы счисления.
5.3. Технологическая карта урока ««Различные позиционные системы
5.4. Электронная презентация урока ««Различные позиционные системы
Список использованной литературы ……………………………..…………. 35
Приложение 2. Где применяются и используются системы счисления. 37
Модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей.
Рассматриваемый материал входит в базовый уровень, предлагается на выпускных экзаменах по информатике. Решение систем счисления у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение систем счисления можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение.
Задачамипроекта являются:
– выделение универсальных и специальных предметных учебных действий, формируемых в процессе изучения темы;
– разработка плана-конспекта и технологической карты урока по теме с выделением формируемых УУД;
– разработать трехуровневую систему заданий по теме, отражающую различные уровни усвоения материала (ЗЗ – знакомая задача, МЗ – модифицированная задача, НЗ – незнакомая задача).
Теория решения систем счисления в научно-методической литературе разработана достаточно подробно. Но пока в этой теории не ставилась задача выделения и формирования учебных действий.
В обязательный минимум содержания программы по информатике профильного уровня входит решение и исследование систем счисления .
Изучение темы может быть продолжено как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и являющегося развитием системы ранее приобретенных знаний в элективном курсе. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направленных на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.
1. Методологические основы изучения темы
1.1. Цели и задачи изучения темы
– усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задании систем счисления;
– формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной и творческой деятельности, определённых новыми государственными стандартами.
Достижение поставленных целей возможно через решение заданий систем счисления, что позволяет решать следующие задачи:
– обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися основ систем счисления знаний и умений при решении примеров на перевод чисел из одной системы в другую, выполнении арифметических действии различных систем;
– обеспечение прочной подготовки к ГИА;
– накопление базы задач, решаемых с помощью систем счисления.
1.2. Требования к знаниям и умениям
В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие учебные действия:
– исследовать и решать основные понятия систем счисления ;
– исследовать и решать как переводить числа между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления;
– исследовать и решать перевод чисел из любой системы счисления в десятичную и обратно;
- быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную ,
- как выполнять арифметических операции в двоичной системе счисления.
1.3. Формы контроля
При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы контроля:
– промежуточные и итоговые тесты;
– самостоятельное решение задач КИМ ГИА.
2. История систем счисления
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.
Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами
Но что же люди понимают тогда под словом "число"?
Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.
Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.
Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?
Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.
Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.
Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
2.1 Единичная система
Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).
Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.
Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.
Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.
2.2 Древнеегипетская десятичная непозиционная система
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.
2.3 Вавилонская шестидесятеричная система
Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации -вавилонской - люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
Шестидесятеричная вавилонскаясистема - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.
Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).
2.4 Римская система
Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и Mсоответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:
сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);
сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.
Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).
Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).
Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").
3. Представление о системах счисления.
Система счисления(далее СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1. 9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленноемножество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:
возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
простоту оперирования числами;
В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления).Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
На практике также используют другие СС:
№ слайда 1
№ слайда 2
Цель Дать представление о понятии система счисления Познакомить с различными СС (позиционными и непозиционными) Сформировать начальный навык работы в традиционных позиционных СС
№ слайда 3
Требования: Изучить материал лекции письменно ответить на вопросы
№ слайда 4
Опр: Система счисления - это комплекс правил наименования и записи чисел. Число в математике и информатике - это величина, а не символьная запись. Опр: Цифры – это символы, с помощью которых в данной системе счисления записываются все числа. Опр: Алфавит – совокупность различных цифр, используемых для записи чисел. Основные понятия
№ слайда 5
Системы счисления: позиционные непозиционные 352, 23 VII, XIX величина числа зависит от номера позиции цифры при его записи каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа
№ слайда 6
Непозиционные системы счисления Пример: РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Значение цифры не зависит от ее положения в числе, например: ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30 В качестве цифр используются некоторые буквы. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000
№ слайда 7
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность чисел. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 XCIX = -10 + 100 – 1 + 10
№ слайда 8 Описание слайда:
Используя римскую систему счисления выпишите числа от 95 до 105 100 =
№ слайда 9
№ слайда 10
№ слайда 11
Позиционные системы счисления Опр: Количество цифр, которые используются в данной системе счисления, называется основанием данной системы счисления и обозначается буквой р. В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Опр:Позиция цифры называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево. 2 1 0 542 нумерация разрядов
№ слайда 12
позиционные системы счисления Традиционные: P-ичные Базис системы – геометрическая прогрессия с основанием p: …, p-2, p-1, p0, p1, p2, p3, p4, p5, … Десятичная система Основание: 10 Алфавит: 0, 1 Базис: …, 10-2, 10-1, 1, 101, 102, 103, … , 10n Пример: 25310 Пример: 1001102 Двоичная система Основание: 2 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Базис: …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23, 24, 25, …) 1 2 4 8 16 32 64 128 20 21 22 23 24 25 26 27
№ слайда 13
№ слайда 14
Нетрадиционные Фибоначчиевая система Алфавит: 0, 1 Базис: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Пример: 10000100ф = 3 + 34 =3710 Смешанные: P-Q-ичные Каждая цифра числа, заданного в Q-ичной системе, заменяется ее представлением в P-ичной системе. Двоично-десятичная система 3580910 = 0011 0101 1000 0000 10012-10 позиционные системы счисления
№ слайда 15
Системы счисления позиционные непозиционные традиционные нетрадиционные смешанные единичная древнеегипетская вавилонская римская алфавитная 10001010Ф 0011 0101 2-10 колода 1000100112 X X X I I
№ слайда 16
Как расшифровать эту странную автобиографию?
Оказалось, что запись чисел была дана в пятеричной системе, то есть математик окончил школу не в 33 года, а в 18 лет, институт закончил не в возрасте 42 лет, а в возрасте 22 лет и т. д.
Нашу систему счисления называют позиционной потому, что каждый из знаков (цифр), обозначающих каждое натуральное число, имеет различное значение в зависимости от того места, какое он занимает (его позиция). Например, каждая цифра 2 в числе 222 имеет различное числовое значение: первая слева обозначает 2 сотни, вторая – 2 десятка, третья – 2 единицы, то есть 222 = 2 ? 102 + 2 ? 10 + 2.
За основания системы счисления может быть принято любое число. В разное время употреблялись или предлагались системы счисления, отличные от десятеричной. У вавилонян основанием системы счисления было число 60, двадцатеричная система была распространена у древних римлян, у индейских племен Северной Америки, у народов Центральной и Южной Америки. У народов Африки встречались пятеричная и двадцатеричная системы и т. д. деление окружности на 360º, одного часа на 60 минут, а одной минуты на 60 секунд – это остатки вавилонской системы счисления.
Объяснение темы.
Всякое число десятеричной системы можно написать в системе с любым основанием. Запишем, например, число 338 в 6-ричной системе. Выясним, сколько в нашем числе шестерок (единиц второго разряда) и сколько простых единиц. Для этого поделим 338 на 6. В нашем числе 56 единиц второго разряда (частное 56) и две единицы (остаток 2) первого разряда. Каждые 6 единиц второго разряда составляют единицу третьего разряда. Чтобы узнать, сколько единиц третьего разряда содержится в 56 единицах второго разряда, нужно разделить 56 на 6. Остаток (2) дает число единиц второго разряда, частное (9) – число единиц третьего разряда. Аналогично находим число единиц 4-го разряда. Остаток (3) дает число единиц 3-го разряда, а частное (1) – число единиц 4-го разряда. Итак, число 338 в шестеричной системе запишется как 1322(6)(остатки и последнее частное нужно переписать в обратном порядке)
Теперь решим обратную задачу.
Пусть дано число 1322(6) и нужно написать его в десятеричной системе. Для этого нужно каждую цифру умножить на соответствующее значение разряда и полученные произведения сложить. Получаем:
1? 63 + 3? 62 + 2? 6 + 2 = 216 + 108 + 12 + 2 = 338.
Практическая часть.
6) 1 ? 5 + 2 = 7; 7) 3 ? 5 + 2 = 17,
то есть 1) 33(5) = 18; 2) 42(5) = 22; 3) 20(5) = 10; 4) 10(5) = 5; 5) 100(5) = 25;
2) овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов; 3) приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач; 4) умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные; 5) приобретение первоначальных представлений о компьютерной грамотности.
Умк перспективная начальная школа Числа от 6 до 10 изучаются на аддитивной основе с опорой на число 5. Числа второго десятка и все остальные натуральные числа изучаются на основе принципов нумерации (письменной и устной) десятичной системы счисления.
Школа 2100 В тесной связи с понятием числа формируется понятие о десятичной системе счисления. Раскрывается оно постепенно, в ходе изучения нумерации и арифметических операций над натуральными числами. При изучении нумерации деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц.
Воспитательные возможности урока в общеобразовательных классах начальной школы в период изучения нумерации чисел первого десятка.
Основным методом изучения в этот период является: практический метод а так же дидактические игры. При проработке отношений "больше", "меньше", "столько же", "поровну", "непоровну" важно научить детей способам установки взаимно-однозначного соответствия. Большинство детей шестилетнего возраста, которые приходят к школе, владеют навыками счета, хотя ошибки возможны. Например, после числа семь, называется число девять. Поэтому для овладения операцией счета, ученики должны прежде всего заучить порядок слов-числительных. Этому способствуют однотипные упражнения, которые начинаются со слова, : "Сколько". При этом следует иметь в виду, что для детей, которые уже владеют знаниями порядка слов-числиельных, выполнять такие упражнения не интересно. Поэтому учитель должен сочетать задание на проработку порядка слов-числительных с заданиями, которые выполняют другую цель, с заданиями развивающего характера. Для этого периода при изучении отлично подходит метод сравнения чисел. Изучение чисел первого десятка проходит монографическим способом, то есть каждое число изучается отдельно, и вместе с тем связано с понятиями построения последовательности натуральных чисел в пределах данного числа. На первом этапе очень важно показать ученикам, что слова-числительные можно заменить математическими символами – цифрами (1,2,3 и т.д.). Это позволяет познакомить учеников с натуральным рядом чисел.
Для усвоения закономерности построения натурального ряда чисел (каждое число в натуральном ряду больше предыдущего и меньше следующего на 1), при изучении каждого нового числа учитель проводит однотипные упражнения.
Методы и приемы развития мотиваций учебно-познавательной деятельности на уроках математики в начальной школы в период изучения нумерации чисел в пределах 100 и тысячи.
Изучение нумерации чисел в пределах 100 идет в таком же плане, как и в пределах 20: сначала изучается устная, затем письменная нумерация.
На основе счета десятков (1 дес., 2 дес., и т.д) раскрывается образование и название чисел 20, 30 и т.д.,а затем на основе счета десятков и единиц образование и название чисел вида 25, 37.
Усвоению десятичного состава чисел способствуют упражнения в образовании и разложении чисел(сколько десятков и единиц в числе 62? И т.п.)
При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что, например, в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц или иначе можно сказать: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда.Полезно при этом использовать карточки с разрядными числами.
С целью систематизации знанийпо нумерации полезно в конце работы над темой включать задания по характеристике заданных чисел. Характеризуя, например, число 33, учащиеся могут назвать его десятичный состав, сказать о месте этого числа в натуральной последовательности, об особенностях записи этого числа.
Усвоение нумерации требует длительных упражнений , поэтому в дальнейшем, при изучении сложения и вычитания в пределах 100,систематически включают в устные упражнения задания по устной и письменной нумерации чисел.
При изучении письменной нумерации необходимо использовать трехразрядные абаки, что аналогичные двухразрядным. На абаках ученики учатся выкладывать трехзначные числа, наглядно видят, что цифра нового третьего разряда, разряда сотен, которая обозначает количество сотен, должна быть записана на третьем месте, если считать справа налево; что отсутствие единиц первого или второго разрядов помечают цифрой 0.
Чтобы ученики не ошибались в определенные в числе количества единиц, десятков и сотен, необходимо научить их рассуждать:
«Число 728 содержит 728 единиц, потому что в разряде единиц 8 единиц, в разряде десятков еще 20 единиц, в разряде сотен еще 700 единиц, всего 728 единиц".
Задания на сравнения, классификацию и на закономерности.
Читайте также: