Российская электронная школа экстремумы функции

Обновлено: 02.07.2024

Теорема 3. Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке $X$ и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) > 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы:

1. найдём производную f ′ ( x ) .

2. Определим стационарные и критические точки.

3. Нанесём стационарные и критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы $1$, $2$ и $4$, определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;

2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;

Производная этой функции — f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , значит, критические точки функции — это $x=0$ и $x=2$. Точка $x=1$ не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак первого интервала положительный (например, f ′ $(-1)=0.75$). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

В точке $x=0$ она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции $f(0)=0$.

В точке $x=2$ она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции $f(2)=4$.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х 2 -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t 2 − 48t + 15, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 м\c

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

В этом видеоуроке мы выясним, какая точка называется точкой максимума функции, а также узнаем, какая точка называется точкой минимума функции. Сформулируем теорему Ферма. Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Экстремумы функции"

Сегодня на уроке мы выясним, какая точка называется точкой максимума функции, а также узнаем, какая точка называется точкой минимума функции. Сформулируем теорему Ферма. Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на нашем прошлом занятии мы исследовали на возрастание и убывание функцию .

Сейчас вы видите график этой функции.

Давайте рассмотрим окрестность точки , то есть некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что существует такая окрестность точки , что наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке . Например, на интервале функция принимает наибольшее значение, равное , в точке . Таким образом, точку называют точкой максимума функции.

Рассмотрим окрестность точки . Из рисунка видно, что существует такая окрестность точки , что наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке . Например, на интервале функция принимает наименьшее значение, равное , в точке . Точку называют точкой минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Так, например, точка является точкой максимума функции , так как и при всех значениях верно неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Например, точка является точкой минимума функции , так как и при всех значениях верно неравенство .

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Теперь познакомимся с теоремой Ферма. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет производную в этой точке. Тогда сформулируем утверждение, которое и называют теоремой Ферма.

Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то .

Доказательство этой теоремы приводится в курсе высшей математики.

Геометрический смысл теоремы

Например, рассмотренная выше функция имеет максимум в точке . .

Функция имеет минимум в точке . , .

Таким образом, мы убедились, что значение производной в точке экстремума функции равно нулю.

Но отметим, что если , то этого недостаточно, чтобы утверждать, что обязательно является точкой экстремума функции .

Так, например, производная функции равна . Производная равна 0 в точке 0. Однако точка не является точкой экстремума, так как данная функция возрастает на всей числовой оси.

Получается, что не всегда корень уравнения является точкой экстремума. Но точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней уравнения .

Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными.

Из предыдущих занятий вам известно, что функция не имеет производной в точке . При этом эта точка является точкой минимума данной функции.

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

То есть точка – критическая точка функции .

Таким образом, чтобы точка была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции.

Теперь приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума. Это будут условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой максимума или минимума.

Итак, пусть функция дифференцируема на интервале , и . Тогда:

Давайте найдём точки экстремума функции и значения функции в этих точках.

Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке " width="18" height="11" />
максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки " width="18" height="11" />
— -\delta ,\; x_ +\delta \right)" width="127" height="18" />
, что для всех из этой окрестности, отличных от " width="18" height="11" />
выполняется неравенство .

Точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

$x_<0> Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке \in \left(a,\, b\right)$
функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

Для исследования функции на экстремум необходимо:

Примеры исследования функции на экстремум

Задание	Найти экстремум функции
Решение	Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции

приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

$3x^ -3=0\Rightarrow x^ -1=0\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x_ =-1,\quad x_ =1$

$x_<1> Получили две критические точки =-1;\ x_ =1$
. Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.

$y_<\max > =y\, \left(-1\right)=\left(-1\right)^ -3\cdot \left(-1\right)+1=-1+3+1=3$

$y_<\min > =y\, \left(1\right)=1^ -3\cdot 1+1=1-3+1=-1$

$y=x^ -\frac$

Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки

Приравниваем к нулю производную

$2x+\frac<2> > =0\Rightarrow \frac +2> > =0\Rightarrow 2\left(x^ +1\right)=0\Rightarrow x^ =-1$

Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах

$y_<\min > =y\, \left(1\right)=1^ -\frac =-1$

Читайте также: