Релятивистский закон сложения скоростей кратко

Обновлено: 30.06.2024

Новым релятивистским представлениям о пространстве и времени соответствует новый закон сложения скоростей. Очевидно, что классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, так как он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме.

Если поезд движется со скоростью и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительно Земли должна равняться опять-таки , а не . Новый закон сложения скоростей и должен приводить к требуемому результату.

Мы запишем закон сложения скоростей для частного случая, когда тело движется вдоль оси Х₁ системы отсчета К₁, которая в свою очередь движется со скоростью относительно системы отсчета К. Причем в процессе движения координатные оси Х и Х₁ все время совпадают, а координатные оси Y и Y₁, Z и Z₁ остаются параллельными (рис. 42).

Обозначим скорость тела относительно К₁ через u₁, а скорость этого же тела относительно К через u₂. Тогда релятивистский закон сложения скоростей будет иметь вид

Замечательным свойством релятивистского закона сложения скоростей является то, что при любых скоростях u₁ и u (конечно, не больших с) результирующая скорость u₂ не превышает с.

Одним из следствий постулатов Теории Относительности явилась зависимость расстояний от скорости движения. В результате релятивистский закон сложения скоростей заметно отличается от классического. Кратко рассмотрим этот закон.

Сложение скоростей и Теория Относительности

По классическим представлениям механики, если скорость материальной точки в принятой Системе Отсчета равна $v$, а скорость самой Системы Отсчета относительно покоящегося наблюдателя равна $v_$, то скорость материальной точки относительно покоящегося наблюдателя равна:

Рис. 1. Классическое сложение скоростей.

В соответствии с постулатами Теории Относительности, скорость света является константной для всех Систем Отсчета, а значит, если движущийся наблюдатель посылает световой сигнал в сторону движения, то для покоящегося наблюдателя скорость светового сигнала, в соответствии с этой формулой, должна превысить скорость света. А если световой сигнал посылается в противоположную сторону – то скорость светового сигнала должна быть меньше скорости света.

Возникает противоречие, которое в рамках Теории Относительности решается через изменение представлений о самом пространстве и времени.

Релятивистский закон сложения скоростей

Для определения высоких скоростей необходимо использовать не преобразования Галилея, а преобразованиями Лоренца. В этом случае противоречия не возникнет, но сам закон будет сложнее.

Рис. 2. Преобразования Лоренца.

Если материальная точка в рассматриваемой движущейся Системе Отсчета за время $Δt$ пройдет расстояние $Δx$, то, согласно преобразованиям Лоренца, для покоящегося наблюдателя материальная точка переместится на расстояние:

Напомним, $v_$ – это скорость Системы Отсчета относительно покоящегося наблюдателя. И произойдет это по часам покоящегося наблюдателя за время:

Отношение этих величин равно:

В правой части и в числителе и в знаменателе вынесем за скобки время $Δt$, и сократим их:

Заметим, что отношение $Δxover Δt$ – это скорость материальной точки, измеренная в движущейся Системе Отсчета. А отношение over Δt_> – это скорость той же точки, измеренная покоящимся наблюдателем.

Таким образом, мы получаем формулу релятивистского закона сложения скоростей:

Особенности релятивистского сложения скоростей

Из полученного закона можно сделать важные выводы.

Если скорости в формуле гораздо меньше скорости света ($v ll c$ и $ v_ ll c$), то релятивистский закон сложения скоростей превращается в классический.
Чем ближе скорости к скорости света, тем меньше значение играет их сложение. В пределе, если одна из скоростей равна скорости света – то независимо от того, какой будет вторая скорость, сумма скоростей все равно будет равна скорости света.
Скорость света – это максимальная скорость, с которой могут перемещаться материальные предметы и взаимодействия.

Рис. 3. Можно ли превысить скорость света.

Если объект нематериален, и направление передачи информации от него к наблюдателю не совпадает с направлением его движения – то видимая скорость движения такого объекта может превысить скорость света. Такими объектами являются, например, тень, точка пересечения режущих кромок ножниц или обычный солнечный зайчик.

Что мы узнали?

Из постулатов Теории Относительности следует, что классический закон сложения скоростей работает лишь на низких скоростях. На высоких скоростях необходимо пользоваться релятивистским сложением скоростей, выведенным на основе преобразований Лоренца. Из этого закона следует, что скорость света – это максимальная скорость, возможная в Природе.

Сложение скоростей и Теория Относительности

Рис. 1. Классическое сложение скоростей.

Релятивистский закон сложения скоростей

Рис. 2. Преобразования Лоренца.

Отношение этих величин равно:

В правой части и в числителе и в знаменателе вынесем за скобки время $Δt$, и сократим их:

Заметим, что отношение $Δx\over Δt$ – это скорость материальной точки, измеренная в движущейся Системе Отсчета. А отношение \over Δt_> – это скорость той же точки, измеренная покоящимся наблюдателем.

Таким образом, мы получаем формулу релятивистского закона сложения скоростей:

Особенности релятивистского сложения скоростей

Из полученного закона можно сделать важные выводы.

Если скорости в формуле гораздо меньше скорости света ($v \ll c$ и $ v_ \ll c$), то релятивистский закон сложения скоростей превращается в классический.
Чем ближе скорости к скорости света, тем меньше значение играет их сложение. В пределе, если одна из скоростей равна скорости света – то независимо от того, какой будет вторая скорость, сумма скоростей все равно будет равна скорости света.
Скорость света – это максимальная скорость, с которой могут перемещаться материальные предметы и взаимодействия.

Если объект нематериален, и направление передачи информации от него к наблюдателю не совпадает с направлением его движения – то видимая скорость движения такого объекта может превысить скорость света. Такими объектами являются, например, тень, точка пересечения режущих кромок ножниц или обычный солнечный зайчик.

Что мы узнали?

Классическая механика, законы которой были сформулированы Ньютонов в конце XVII века, около двухсот лет считалась все объясняющей и непогрешимой. Вплоть до XIX столетия ее принципы казались всемогущими и составляли основу физики. Однако к указанному периоду начали появляться новые факты, которые невозможно было втиснуть в привычные рамки известных законов. Со временем они получили иное объяснение. Случилось это с появлением теории относительности и загадочной науки – квантовой механики. В данных дисциплинах радикальному пересмотру подверглись все ранее принятые представления о свойствах времени и пространства. В частности, релятивистский закон сложения скоростей красноречиво доказал ограниченность классических догм.

Простое сложение скоростей: когда это возможно?

Классика Ньютона в физике и поныне считается верной, а законы ее применяются для решения многих задач. Только следует учитывать, что действуют они в привычном для нас мире, где скорости самых разных объектов, как правило, не бывают значительными.

Представим ситуацию, что поезд едет из Москвы. Скорость его перемещения составляет 70 км/час. А в это время по ходу движения из одного вагона в другой путешествует пассажир, пробегая 2 метра за одну секунду. Чтобы узнать быстроту его перемещения относительно домов и деревьев, мелькающих за окном поезда, указанные скорости следует просто сложить. Поскольку 2 м/с соответствуют 7,2 км/час, то искомая скорость окажется 77,2 км/час.

Мир высоких скоростей

Другое дело фотоны и нейтрино, они подчиняются совершенно другим правилам. Для них-то и действует релятивистский закон сложения скоростей, а показанный выше принцип считается для них совершенно неприменимым. Почему?

Согласно специальной теории относительности (СТО), любой объект не может перемещаться со скоростью быстрее света. Она в крайнем случае только способна приблизительно быть сравнимой с этим параметром. Но если на секунду представить (хотя на практике это невозможно), что в предыдущем примере поезд и пассажир двигаются примерно таким образом, то скорость их относительно покоящихся на земле предметов, мимо которых проезжает состав, оказалась бы равной практически двум световым. А этого быть не должно. Как же производят расчеты в этом случае?

Известный из курса физики 11 класса релятивистский закон сложения скоростей представляется формулой, приведенной ниже.

Что это значит?

Если имеются две системы отсчета, скорость некоего объекта относительно которых V₁и V₂, то для расчетов можно пользоваться указанным соотношением, независимо от значения определенных величин. В случае когда обе они значительно меньше скорости света, знаменатель в правой части равенства практически равен 1. Это значит, что формула релятивистского закона сложения скоростей превращается в самую обычную, то есть V₂= V₁+ V.

Следует также обратить внимание, что когда V₁= C (то есть скорости света), при любом значении V, V₂ не превысит эту величину, то есть тоже окажется равной С.

Из области фантастики

С – это фундаментальная константа, величина ее равна 299 792 458 м/с. Со времен Эйнштейна считается, что ни один объект во Вселенной не может превзойти движение света в вакууме. Именно так можно определить кратко релятивистский закон сложения скоростей.

Однако писатели-фантасты не захотели с этим смириться. Они придумывали и продолжают сочинять множество потрясающих историй, герои которых опровергают подобное ограничение. В мгновение ока их космические корабли перемещаются в далекие галактики, находящиеся за много тысяч световых лет от старушки Земли, сводя на нет при этом все установленные законы мироздания.

Но почему Эйнштейн и его последователи уверены, что на практике подобного не может случиться? Следует поговорить о том, по какой причине так незыблем световой предел и неприкосновенен релятивистский закон сложения скоростей.

Связь причин и следствий

Свет – носитель информации. Он является отражением реальности Вселенной. А световые сигналы, достигающие наблюдателя, воссоздают в его сознании картины действительности. Так бывает в привычном для нас мире, где все идет своим чередом и подчиняется обычным правилам. И мы с рождения приучены к тому, что не может быть иначе. Но если представить, что все вокруг изменилось, и некто отправился в космос, путешествуя на сверхсветовой скорости? Поскольку он опережает фотоны света, мир начинает видеться ему как в кинопленке, прокрученной назад. Вместо завтра для него наступает вчера, потом позавчера и так далее. А завтрашний день он никогда не увидит, пока не остановится, конечно.

Кстати, подобную идею тоже активно взяли на вооружение писатели-фантасты, создавая по таким принципам аналог машины времени. Их герои попадали в прошлое и путешествовали там. Однако рушились причинно-следственные связи. И оказывалось очевидно, что на практике такое вряд ли возможно.

Другие парадоксы

Причина не может опережать следствие. Это противоречит нормальной человеческой логике, ведь во Вселенной должен быть порядок. Однако СТО предполагает и другие парадоксы. Она вещает, что, если даже поведение объектов подчиняется строгому определению релятивистского закона сложения скоростей, в точности сравняться в быстроте перемещения с фотонами света ему тоже невозможно. Почему? Да потому что начинают происходить в полном смысле волшебные превращения. Масса бесконечно увеличивается. Размеры материального объекта в направлении движения неограниченно приближаются к нулю. И опять же пертурбаций со временем избежать полностью не удается. Оно хоть и не движется назад, но при достижении скорости света полностью останавливается.

Затмение Ио

СТО утверждает, что фотоны света являются самыми быстрыми объектами во Вселенной. В таком случае, как же удалось измерить их скорость? Просто человеческая мысль оказалась проворней. Она смогла решить подобную дилемму, а следствием ее и стал релятивистский закон сложения скоростей.

Подобные вопросы решались еще во времена Ньютона, в частности, в 1676 году датским астроном О. Ремером. Он сообразил, что скорость сверхбыстрого света возможно определить лишь только в том случае, когда он проходит огромные расстояния. Подобное, как он подумал, бывает возможным только на небе. А случай воплотить указанную идею в жизнь вскоре представился, когда Ремер наблюдал в телескоп затмение одного из спутников Юпитера под названием Ио. Промежуток времени между входом в затемнение и появлением в поле зрения этой планеты в первый раз составил около 42,5 часа. И на этот раз все примерно соответствовало предварительным расчетам, проведенным согласно известному периоду обращения Ио.

Через несколько месяцев Ремер вновь произвел свой эксперимент. В этот период Земля значительно удалилась от Юпитера. И оказалось, что Ио опоздал показать свой лик на 22 минуты в сравнении со сделанными ранее предположениями. Что это значило? Объяснение было в том, что спутник совсем не задержался, а вот световым сигналам от него понадобилось некоторое время, чтобы преодолеть значительное расстояние до Земли. Произведя на основе этих данных расчеты, астроном подсчитал, что скорость света очень значительна и составляет около 300 000 км/с.

Опыт Физо

Предвестник релятивистского закона сложения скоростей – опыт Физо, произведенный почти двумя веками позже, подтвердил правильно догадок Ремера. Только известный французский физик в 1849 году провел уже лабораторные опыты. А для реализации их был придуман и сконструирован целый оптический механизм, аналог которого можно увидеть на рисунке ниже.

Свет, исходил от источника (это был этап 1). Потом он отражался от пластины (этап 2), проходил между зубцами вращающегося колеса (этап 3). Далее лучи попадали на зеркало, расположенное на значительном расстоянии, измеряемом в значении 8,6 километра (этап 4). В заключении свет отражался обратно и проходил через зубцы колеса (этап 5), попадал в глаза наблюдателя и фиксировался им (этап 6).

Вращение колеса осуществлялось с разной скоростью. При медленном передвижении, свет был виден. При увеличении скорости, лучи начинали исчезать, не достигая зрителя. Причина в том, что на перемещение лучам требовалось некоторое время, а за данный период, зубья колеса немного сдвигались. Когда же скорость вращения снова возрастала, свет опять достигал глаза наблюдателя, ведь теперь зубья, перемещаясь быстрее, вновь позволяли лучам проникать сквозь зазоры.

Принципы СТО

Релятивистская теория впервые была представлена миру Эйнштейном в 1905 году. Посвящена данная работа описанию событий, происходящих в самых разных системах отсчета, поведению магнитных и электромагнитных полей, частиц и объектов при движении их, максимально сравнимом со скоростями света. Великий физик описал свойства времени и пространства, а также рассмотрел поведение других параметров, размеров физических тел и их масс в указанных условиях. Среди основных принципов Эйнштейн назвал равноправие любых инерциальных систем отсчета, то есть он имел в виду сходство процессов, протекающих в них. Другой постулат релятивистской механики – закон сложения скоростей в новом, неклассическом варианте.

Пространство, согласно данной теории, представляется, как пустота, где функционирует все остальное. Время определяется как некая хронология происходящих процессов и событий. Оно же впервые называется в качестве четвертого измерения самого пространства, получающего теперь наименование "пространство-время".

Преобразования Лоренца

Подтверждают релятивистской закон сложения скоростей преобразования Лоренца. Так принято называть математические формулы, которые в окончательном своем варианте представлены ниже.

Эти математические соотношения занимают центральное место в теории относительности и служат для преобразования координат и времени, будучи написаны для четырехместного пространства-времени. Указанное наименование представленные формулы получили по предложению Анри Пуанкаре, которые разрабатывая математический аппарат для теории относительности, заимствовал у Лоренца некоторые идеи.

Подобные формулы доказывают не только невозможность преодоления сверхзвукового барьера, но и незыблемость принципа причинности. Согласно им, появилась возможность математически обосновать замедление времени, сокращение длин объектов и прочие чудеса, происходящие в мире сверхвысоких скоростей.

Мы говорили, что скорость света — максимально возможная скорость распространения сигнала. Но что будет, если свет испускается движущимся источником в направлении его скорости V ? Согласно закону сложения скоростей, следующему из преобразований Галилея, скорость света должна быть равна c + V. Но в теории относительности это невозможно. Посмотрим, какой закон сложения скоростей следует из преобразований Лоренца. Для этого запишем их для бесконечно малых величин:

По определению скорости ее компоненты в системе отсчета K находятся как отношения соответствующих перемещений к временным интервалам:

Аналогично определяется скорость объекта в движущейся системе отсчета K', только пространственные расстояния и временные интервалы надо взять относительно этой системы:

Следовательно, разделив выражение dx на выражение dt, получим:

Разделив числитель и знаменатель на dt', находим связь x-компонент скоростей в разных системах отсчета, которая отличается от галилеевского правила сложения скоростей:

Кроме того, в отличие от классической физики, меняются и компоненты скоростей, ортогональные направлению движения. Аналогичные вычисления для других компонент скоростей дают:

Таким образом, получены формулы для преобразования скоростей в релятивистской механике. Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на нештрихованные и обратно и заменой V на –V.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале данного раздела. Пусть в точке 0' движущейся системы отсчета K' установлен лазер, посылающий импульс света в положительном направлении оси 0'х'. Какой будет скорость импульса для неподвижного наблюдателя в системе отсчета К? В этом случае скорость светового импульса в системе отсчета К' имеет компоненты

Применяя закон релятивистского сложения скоростей, находим для компонент скорости импульса относительно неподвижной системы К :

Мы получаем, что скорость светового импульса и в неподвижной системе отсчета, относительно которой источник света движется, равна

Тот же результат получится при любом направлении распространения импульса. Это естественно, так как независимость скорости света от движения источника и наблюдателя заложена в одном из постулатов теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей — следствие этого постулата.

При этом ход течения времени и длина линейки будут одинаковы в обеих системах отсчета. Таким образом, законы классической механики применимы, если скорости объектов много меньше скорости света. Теория относительности не зачеркнула достижения классической физики, она установила рамки их справедливости.

Пример. Тело со скоростью v₀ налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью v. Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найдем скорость v₁ тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела.

Воспользуемся формулами, выражающими релятивистский закон сложения скоростей.

Направим ось х вдоль начальной скорости тела v₀ и свяжем систему отсчета K' со стенкой. Тогда v_x = v₀ и V = –v. В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость v'₀ тела равна

Поскольку стенку можно считать бесконечно массивной, по закону сохранения энергии после упругого удара тело отскочит в обратном направлении с тем же (относительно стенки) абсолютным значением скорости:

Вернемся теперь назад в лабораторную систему отсчета К. Подставляя в релятивистский закон сложения скоростей v'₁ вместо v'_x и учитывая опять же V = –v, находим после преобразований:

Проанализируем теперь предельные случаи.

Скорость шара после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат не годится. В частности, при v₀ = v = с/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна v₁ = –с, чего не может быть.

Пусть теперь на стенку налетает тело, двигающееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от двигающегося зеркала). Подставляя v₀ = с в найденное соотношение, получаем

Иными словами, скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, как и должно быть.

Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью. В этом случае найденное соотношение дает нам

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

Наконец, подставим в найденное соотношение значения v₀ = v = с/3 :

В отличие от классической механики, теория относительности дает для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

Напоследок посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью (v = –v₀). Имеем в этом случае:

Как и в классической механике, тело стенку не догонит, и его скорость не изменится.

Читайте также: