Работа газа физика кратко

Обновлено: 02.07.2024

В механике работа, которая выполняется силой F, равна произведению значения этой силы на перемещение x и на косинус угла между ними: A = Fx cos α.

Вычисление выполненной работы в термодинамике связывают с макропараметрами системы. Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре под поршнем площадью S (рис. 2.1, а).

Пусть на газ действует поршень, принуждая его сжиматься. Под действием силы F̅ поршень смещается вниз на высоту Δh = h₂ — h₁ (рис. 2.1, б), выполняя работу A = FΔh (направление действия силы совпадает с направлением перемещения, поэтому cos α = 1). Если перемещение поршня незначительное, то давление газа можно считать постоянным (p = const). Поршень будет двигаться до тех пор, пока не уравновесятся силы F̅ и F̅’, то есть согласно третьему закону Ньютона сила F по модулю должна равняться силе давления газа F’. Приняв во внимание, что F = pS, a SΔh = ΔV, получим:

Если под действием силы давления F’ газ расширяется (рис. 2.1, б), то есть сам выполняет работу A’ = pS(h₂ — h₁), то ее значение также равно pΔV. Вместе с тем в данном случае выполненная газом работа положительная, поскольку V₂ > V₁ и ΔV > 0:

Сначала определим, когда газ работает. Работа совершается, неважно, газом или еще кем (или чем), если что-то куда-то перемещено. Газ может переместить что-либо, только если изменит объем. Без изменения объема работа совершена быть не может. То есть, если в каком-то процессе объем не менялся, то и работы никакой нет. Определим элементарную работу газа A" />
, то есть о-очень маленькую. Пусть газ давит на некоторую пластину и перемещает ее на маленькое-маленькое расстояние x" />
, тогда работа газа A=Fx" />
. То есть газ должен давить на пластину с силой . Эту силу определим как произведение давления газа на площадь пластины S: . Как известно, газ одинаково давит во все стороны. То есть давление газа направлено нормально к нашей пластинке (перпендикулярно), направление действия силы совпадает с перемещением, угол, соответственно, равен " />
, а его косинус равен 1. Так как перемещение у нас совсем маленькое, то считаем, что давление газа не изменилось. Запишем тогда, что у нас получается для работы: A=pSx" />
. Если подумать, то произведение площади пластинки на малое перемещение ее x" />
– это ни что иное, как изменение объема сосуда. Тогда окончательно A=pV" />
. Не забываем, что мы нашли только очень маленькую часть работы (элементарную работу), чтобы найти полную работу, надо сложить маленькие-маленькие работки в одну макроработу (такую ощутимую уже работу :).

Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции (площадь под кривой). Если объем газа в цикле сначала растет (работа положительна), а потом уменьшается (работа отрицательна), то в итоге газ совершает работу, которая пропорциональна площади фигуры, ограниченной линиями цикла (см. рисунок)

Здесь газ переходит сначала из состояния 1 в состояние 2, не совершая работы (изохорно), затем он переходит в сосотояние 3 изобарно, работа, которую он при этом совершает, равна площади голубого прямоугольника. Работа положительна, так как объем газа растет. Затем следует переход в точку 4, и снова работа газом не совершается. Из точки 4 газ возвращается в первоначальное состояние, работа, совершаемая им отрицательна (объем становится меньше, то есть газ сжимают внешние силы, работа которых как раз положительна). Отрицательная работа газа показана фиолетовым прямоугольником Таким образом, вся работа, совершенная в этом цикле – это площадь прямоугольника 1-2-3-4.

1. При переходе из состояния 1 в состояние 3 температура газа

1) увеличилась в 2 раза; 2) уменьшилась в 2 раза; 3) увеличилась в 4 раза; 4) уменьшилась в 4 раза.

заключаем, что температура газа прямо зависит от произведения его давления и объема. В состоянии 1 это произведение равно 0,01, а в состоянии 3 – 0,04, что больше в 4 раза, значит, и температура газа больше в 4 раза в третьем состоянии, чем в первом.

2. При переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

1) 2 кДж; 2) 4 кДж; 3) 6 кДж; 4) 8 кДж.

На рисунке процесс 1-2 – изобарный, выше мы записали, как рассчитать работу газа в таком процессе: Дж, или 2 кДж. Из состояния 2 в состояние 3 газ переходит изохорно, его объем не меняется, поэтому работа не совершается.

3. В каком из процессов перехода идеального газа из состояния 1 в состояние 2 газ совершает наибольшую работу?

1) А 2) Б 3) В 4) Во всех трех процессах совершаемая работа одинакова

Вспоминаем, что работа газа в осях p-V есть интеграл, а интеграл – это площадь криволинейной трапеции. Площадь такой трапеции максимальна при переходе газа из начального состояния в конечное по траектории А.

4. В двух сосудах находится одинаковое количество азота. С газами в сосудах происходят процессы, показанные на pV-диаграммах 1 и 2. Сравните работы, совершенные над газами в сосудах.

Так как ни в первом, ни во втором случае объем газа не меняется (тип газа нам тоже не важен), то работы никакой газы не совершают.

5. Какую работу совершил одноатомный газ в процессе, изображенном на диаграмме?

1) 250 Дж 2) 150 Дж 3) 300 Дж 4) 400 Дж

$A=\int^<V_2> _ \qquad (1)$

где – начальный объем системы; – конечный объем. Работа считается большей нуля, если работу выполняет система (газ) над внешними силами.

Работу можно вычислить исходя из первого начала термодинамики:

где – количество теплоты, которое система получает; – изменение внутренней энергии системы. Если в качестве термодинамической системы выступает идеальный газ, то выражение (2) можно записать как:

$A=\Delta Q-\frac \nu R\Delta T\ \qquad(3)$

$\nu =\frac<m> где i – число степеней свободы молекулы идеального газа; <\mu >$
– количество вещества; m – масса газа; – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; – изменение температуры газа в рассматриваемом процессе. Выражения (1),(2) и (3) записаны в интегральном виде.

Элементарная работа идеального газа ( ) равна:

Или из первого начала термодинамики в дифференциальном виде следует, что:

$\delta A=\delta Q-\frac \nu RdT\ \qquad(5)$

Работа идеального газа в частных случаях

При изохорном процессе ( ) работа газа равна нулю.

В изобарном процессе ( ) работу вычисляют как:

где – конечный и начальный объемы газа; p – давление газа.

При изотермическом процессе ( ) работу газа можно найти как:

$A=<\mathbf \nu > RTln\ \left(\frac\right)=<\mathbf \nu >RTln\ \left(\frac\right) \qquad(7)$

При адиабатном процессе работу газ совершает за счет уменьшения своей внутренней энергии, и она равна:

$A=\frac \nu R\ \left(T_1-T_2\right)$

$A=\frac<\nu RT_1> <\gamma -1>\ \left(1-<\left(\frac<V_1>\right)>^<\gamma -1>\right) \qquad(8)$

$\gamma =\frac<i+2> где$
– показатель адиабаты.

Задание	Идеальный газ занимал объем равный $V_1=12\cdot <10>^m^3$ и находился под давлением Па. Его изобарно нагрели от температуры K до температуры K. Какую работу (A) совершил газ?
Решение	В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления работы в этом процессе :

$A=p\left(V_2-V_1\right) \qquad(1.1)$

где . Начальный объем газа нам известен из условий задачи, следует найти конечный объем газа. Для этого воспользуемся уравнением Гей-Люссака для изобарного процесса, запишем его в следующем виде:

$\frac<V_1> =\frac \qquad(1.2)$

Из (1.2) выразим конечный объем газа( , имеем:

$V_2=\frac<V_1T_2> \qquad(1.3)$

Подставим полученное выражение для объема (1.3) в выражение для работы (1.1):

$A=p_1V_1\left(\frac<T_2> -1\right)$

Проведем вычисления работы газа:

$A= ^5\cdot 12\cdot ^\left(\frac-1\right)=400\ (J)$

$dS=\frac<\delta Q> \qquad(2.1)$

Следовательно, количество теплоты, получаемое идеальным газом можно найти как:

$\Delta Q=\int<TdS> \qquad(2.2)$

Исходя из геометрического смысла интеграла, количество теплоты, полученное системой в одном цикле ( равно площади фигуры, которая изображена на диаграмме То есть в нашем случае площади эллипса. Площадь эллипса равна:

$a=\frac<400-100> где – главные полуоси эллипса. В нашем случае из рис.1 следует, что =150\ (K);\ b=\frac=300\ \left(\frac\right).$

Из первого начала термодинамики, теплота, подводимая к газу, расходуется на совершение им работы и изменение внутренней энергии:

$\Delta Q=A+\Delta U\ \qquad(2.4)$

Однако, из рисунка 1 видно, что цикл замкнутый, а внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно, за полный цикл ее изменение равно нулю . Получаем, что в нашем процессе:

Значит, работа газа за один цикл равна:

$A=\pi \cdot 150\cdot 300=1,413\cdot <10> ^5(J)$

Внутренняя энергия тела может изменяться, если действующие на него внешние силы совершают работу (положительную или отрицательную). Например, если газ подвергается сжатию в цилиндре под поршнем, то внешние силы совершают над газом некоторую положительную работу A'. В то же время силы давления, действующие со стороны газа на поршень, совершают работу A = –A'. Если объем газа изменился на малую величину ΔV, то газ совершает работу pSΔx = pΔV, где p – давление газа, S – площадь поршня, Δx – его перемещение.

При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой:

или в пределе при ΔV_i → 0:

В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0.

В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением:

A = p (V₂ – V₁) = pΔV.

В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0.

Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением Q = A.

Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам.

Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называютсяадиабатическими оболочками, а процессы расширения или сжатия газа в таких сосудах называются адиабатическими.

Работа газа в адиабатическом процессе выражается через температуры T₁ и T₂ начального и конечного состояний:

A = C_V (T₂ – T₁).

Молярная и удельная теплоемкость газа.

Молярная теплоемкость

Молярная теплоемкость — теплоемкость 1 моля идеального газа.

Теплоемкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть . При изменении объема температура и давление меняются, то есть . Следовательно, теплоемкость идеального газа в адиабатическом процессе также равна нулю: С_адиаб=0.

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть . При изменении объема газу передается (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоемкость идеального газа стремится к бесконечности:

Изохорный

В изохорическом процессе постоянен объем, то есть . Элементарная работа газа равна произведению изменения объема на давление, при котором происходит изменение (δA = δVP). Первое Начало Термодинамики для изохорического процесса имеет вид:

А для идеального газа

где i — число степеней свободы частиц газа.

Изобарный

В изобарном процессе ( ):

Уде́льная теплоёмкость (Удельная теплота нагревания на один градус, обозначается как c) вещества определяется как количество тепловой энергии, необходимой для повышениятемпературы одного килограмма вещества на один градус.

Единицей СИ для удельной теплоёмкости является Джоуль на килограмм - Кельвин. Следовательно, удельную теплоёмкость можно рассматривать как теплоёмкость единицы массывещества. На значение удельной теплоёмкости влияет температура вещества. К примеру, измерение удельной теплоёмкости воды даст разные результаты при 20 °C и 60 °C.

Формула расчёта удельной теплоёмкости: , где — удельная теплоёмкость, — количество теплоты, полученное веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении), — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества, — разность конечной и начальной температур вещества.

т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С_V равна изменению внутренней энергии одного моль газа при повышении его температуры на 1 К. Поскольку U_m=(i/2)RT , то

(5)

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (3) можно представить в виде

Учитывая, что (U_m/dT) не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от p, ни от V, а определяется лишь температурой Т) и всегда равна С_V (см. (4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона — Менделеева pV_m=RT (42.4) по T (p=const), получаем

(6)

Выражение (6) называется уравнением Майера; оно говорит о том, что С_p всегда больше С_V ровно на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, чтобы осуществить нагревание газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (5), формулу (6) можно записать в виде

(7)

При исследовании термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение С_p к С_V :

(8)

Из формул (5) и (7) следует, что молярные теплоемкости зависят лишь от числа степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, которое проявляется в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

По закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, для комнатных температур С_V = (7/2)R. Из качественной экспериментальной зависимости молярной теплоемкости С_V водорода (рис. 1) следует, что С_V следующим образом зависит от температуры: при низкой температуре (≈50 К) С_V = (3/2)R, при комнатной — C_V = (5/2)R (вместо расчетных (7/2)R) и при очень высокой — С_V= (7/2)R. Это можно объяснить, сделав предположение, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение молекул, при комнатных — добавляется их вращение, а при высоких — к данным двум видам движения добавляются еще колебания молекул.

II начало термодинамики

Второе начало термодинамики — физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами.

Второе начало термодинамики гласит, что невозможен самопроизвольный переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому.

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не должна равняться 0.

Второе начало термодинамики является постулатом, не доказываемым в рамках термодинамики. Оно было создано на основе обобщения опытных фактов и получило многочисленные экспериментальные подтверждения.

Существуют несколько эквивалентных формулировок второго начала термодинамики:

Эквивалентность этих формулировок легко показать. В самом деле, допустим, что постулат Клаузиуса неверен, то есть существует процесс, единственным результатом которого была бы передача тепла от более холодного тела к более горячему. Тогда возьмем два тела с различной температурой (нагреватель и холодильник) и проведем несколько циклов тепловой машины, забрав тепло Q₁ у нагревателя, отдав Q₂ холодильнику и совершив при этом работу A = Q₁− Q₂. После этого воспользуемся процессом Клаузиуса и вернем тепло Q₂ от холодильника нагревателю. В результате получается, что мы совершили работу только за счет отъёма теплоты от нагревателя, то есть постулат Томсона тоже неверен.

С другой стороны, предположим, что неверен постулат Томсона. Тогда можно отнять часть тепла у более холодного тела и превратить в механическую работу. Эту работу можно превратить в тепло, например, с помощью трения, нагрев более горячее тело. Значит, из неверности постулата Томсона следует неверность постулата Клаузиуса.

Таким образом, постулаты Клаузиуса и Томсона эквивалентны.

Другая формулировка второго начала термодинамики основывается на понятии энтропии:

Такая формулировка основывается на представлении об энтропии как о функции состояния системы, что также должно быть постулировано.

Второе начало термодинамики в аксиоматической формулировке Рудольфа Юлиуса Клаузиуса (R. J. Clausius, 1865) имеет следующий вид [2] :

Для любой квазиравновесной термодинамической системы существует однозначная функция термодинамического состояния S = S(T,x,N), называемая энтропией, такая, что ее полный дифференциал dS = δQ / T.

В состоянии с максимальной энтропией макроскопические необратимые процессы (а процесс передачи тепла всегда является необратимым из-за постулата Клаузиуса) невозможны.

Ограничения

С точки зрения статистической физики второе начало термодинамики имеет статистический характер: оно справедливо для наиболее вероятного поведения системы. Существованиефлуктуаций препятствует точному его выполнению, однако вероятность сколь-нибудь значительного нарушения крайне мала.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U = ∑ E k 0 = N E k 0 = m N A M . · i k T 2 . . = i 2 . . · m M . . R T = i 2 . . ν R T = i 2 . . p V

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Δ U = 3 2 . . · m M . . R T = 3 2 . . ν R T = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 )

Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p V 2 − p V 1 ) = 3 2 . . p Δ V

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p 2 V − p 1 V ) = 3 2 . . V Δ p

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p 2 V 2 − p 1 V 1 )

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A ‘ = p ( V 2 − V 1 ) = p Δ V > 0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A ‘ = p ( V 2 − V 1 ) = p Δ V 0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A ‘ = ν R Δ T = ν R ( T 2 − T 1 ) = m M . . ν R Δ T

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Читайте также: