Работа электрического поля при перемещении заряда кратко

Обновлено: 03.07.2024

Рассмотрим ситуацию: заряд q₀ попадает в электростатическое поле. Это электростатическое поле тоже создается каким-то заряженным телом или системой тел, но нас это не интересует. На заряд q₀ со стороны поля действует сила, которая может совершать работу и перемещать этот заряд в поле.

Работа электростатического поля не зависит от траектории. Работа поля при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю. По этой причине силы электростатического поля называются консервативными, а само поле называется потенциальным.

Потенциал

Система "заряд - электростатическое поле" или "заряд - заряд" обладает потенциальной энергией, подобно тому, как система "гравитационное поле - тело" обладает потенциальной энергией.
Физическая скалярная величина, характеризующая энергетическое состояние поля называется потенциалом данной точки поля. В поле помещается заряд q, он обладает потенциальной энергией W. Потенциал - это характеристика электростатического поля.
Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.
Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.
В механике тела стремятся занять положение с наименьшей потенциальной энергией. В электричестве же под действием сил поля положительно заряженное тело стремится переместится из точки с более высоким потенциалом в точку с более низким потенциалом, а отрицательно заряженное тело - наоборот.
Потенциальная энергия поля - это работа, которую выполняет электростатическая сила при перемещении заряда из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом.
Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.
Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.

Разность потенциалов

Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов

Эту формулу можно представить в ином виде
Эквипотенциальная поверхность (линия) - поверхность равного потенциала. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Напряжение

Разность потенциалов называют еще электрическим напряжением при условии, что сторонние силы не действуют или их действием можно пренебречь.
Напряжение между двумя точками в однородном электрическом поле, расположенными по одной линии напряженности, равно произведению модуля вектора напряженности поля на расстояние между этими точками.
От величины напряжения зависит ток в цепи и энергия заряженной частицы.

Принцип суперпозиции

Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности

Работа сил электростатического поля. Понятие потенциала

Когда пробный заряд q перемещается в электрическом поле, можно говорить о работе, совершаемой в данный момент электрическими силами. Для малого перемещения ∆ l → формулу работы можно записать так: ∆ A = F · ∆ l · cos α = E q ∆ l cos α = E l q ∆ l .

Рисунок 1 . 4 . 1 . Малое перемещение заряда и работа, совершаемая в данный момент электрическими силами.

Теперь посмотрим, какую работу по перемещению заряда совершают силы в электрическом поле, которое создается распределенным зарядом, не изменяющимся во времени. Такое поле еще называют электростатическим. У него есть важное свойство, о котором мы поговорим в этой статье.

При перемещении заряда из одной точки электростатического поля в другую работа сил электрического поля будет зависеть только от величины этого заряда и положением начальной и конечной точки в пространстве. Форма траектории при этом не имеет значения.

У гравитационного поля есть точно такое же свойство, что неудивительно, поскольку соотношения, с помощью которых мы описываем кулоновские и гравитационные силы, одинаковы.

Исходя из того, что форма траектории не имеет значения, мы можем также сформулировать следующее утверждение:

Когда заряд в электростатическом поле перемещается по любой замкнутой траектории, работа сил поля равна 0 . Поле, обладающее таким свойством, называется консервативным, или потенциальным.

Ниже приведена иллюстрация силовых линий в кулоновском поле, образованных точечным зарядом Q , а также две траектории перемещения пробного заряда q в другую точку. Символом ∆ l → на одной из траекторий обозначается малое перемещение. Запишем формулу работы кулоновских сил на нем:

∆ A = F ∆ l cos α = E q ∆ r = 1 4 π ε 0 Q q r 2 ∆ r .

Следовательно, зависимость существует только между работой и расстоянием между зарядами, а также их изменением Δ r . Проинтегрируем данное выражение на интервале от r = r 1 до r = r 2 и получим следующее:

A = ∫ r 1 r 2 E · q · d r = Q q 4 π ε 0 1 r 1 - 1 r 2 .

Рисунок 1 . 4 . 2 . Траектории перемещения заряда и работа кулоновских сил. Зависимость от расстояния между начальной и конечной точкой траектории.

Результат применения данной формулы не будет зависеть от траектории. Для двух различных траекторий перемещения заряда, указанных на изображении, работы кулоновских сил будут равны. Если же мы изменим направление на противоположное, то и работа также поменяет знак. А если траектории будут соединены, т.е. заряд будет перемещаться по замкнутой траектории, то работа кулоновских сил будет нулевой.

Вспомним, как именно создается электростатическое поле. Оно представляет собой сочетание точечных разрядов. Значит, согласно принципу суперпозиции, работа результирующего поля, совершаемая при перемещении пробного заряда, будет равна сумме работ кулоновских полей тех зарядов, из которых состоит электростатическое поле. Соответственно, величина работы каждого заряда не будет зависеть от того, какой формы траектория. Значит, и полная работа не будет зависеть от пути – важно лишь местоположение начальной и конечной точки.

Поскольку у электростатического поля есть свойство потенциальности, мы можем добавить новое понятие – потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Выберем какую-либо точку, поместим в нее разряд и примем его потенциальную энергию за 0 .

Потенциальная энергия заряда, помещенного в любую точку пространства относительно нулевой точки, будет равна той работе, которая совершается электростатическим полем при перемещении заряда из этой точки в нулевую.

Обозначив энергию как W , а работу, совершаемую зарядом, как A 10 , запишем следующую формулу:

Обратите внимание, что энергия обозначается именно буквой W , а не E , поскольку в электростатике E – это напряженность поля.

Потенциальная энергия электрического поля является определенной величиной, которая зависит от выбора точки отсчета (нулевой точки). На первый взгляд в таком определении есть заметная неоднозначность, однако на практике она, как правило, не вызывает недоразумений, поскольку сама по себе потенциальная энергия физического смысла не имеет. Важна лишь разность ее значений в начальной и конечной точке пространства.

Чтобы вычислить работу, которая совершается электростатическим полем при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2 , нужно найти разность значений потенциальной энергии в них. Путь перемещения и выбор нулевой точки значения при этом не имеют.

A 12 = A 10 + A 02 = A 10 – A 20 = W p 1 – W p 2 .

Если мы поместим заряд q в электростатическое поле, то его потенциальная энергия будет прямо пропорциональна его величине.

Понятие потенциала электрического поля

Потенциал электрического поля – это физическая величина, значение которой можно найти, разделив величину потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле на величину этого заряда.

Он обозначается буквой φ . Это важная энергетическая характеристика электростатического поля.

Если мы умножим величину заряда на разность потенциалов начальной и конечной точки перемещения, то мы получим работу, совершаемую при этом перемещении.

A 12 = W p 1 – W p 2 = q φ 1 – q φ 2 = q ( φ 1 – φ 2 ) .

Потенциал электрического поля измеряется в вольтах ( В ) .

1 В = 1 Д ж 1 К л .

Разность потенциалов в формулах обычно обозначается Δ φ .

Чаще всего при решении задач на электростатику в качестве нулевой берется некая бесконечно удаленная точка. Учитывая это, мы можем переформулировать определение потенциала так:

Потенциал электростатического поля точечного заряда в некоторой точке пространства будет равен той работе, которая совершается электрическими силами тогда, когда единичный положительный заряд удаляется из этой точки в бесконечность.

Чтобы вычислить потенциал точечного заряда на расстоянии r , на котором размещается бесконечно удаленная точка, нужно использовать следующую формулу:

φ = φ ∞ = 1 q ∫ r ∞ E d r = Q 4 π ε 0 ∫ r ∞ d r r 2 = 1 4 π ε 0 Q r

С помощью нее мы также можем найти потенциал поля однородно заряженной сферы или шара при r ≥ R , что следует из теоремы Гаусса.

Изображение электрических полей с помощью эквипотенциальных поверхностей

Чтобы наглядно изобразить электростатические поля, кроме силовых линий используются поверхности, называемые эквипотенциальными.

Эквипотенциальная поверхность (поверхность равного потенциала) – это такая поверхность, у которой во всех точкам потенциал электрического поля одинаков.

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии на изображении всегда находятся перпендикулярно друг другу.

Если мы имеем дело с точечным зарядом в кулоновском поле, то эквипотенциальные поверхности в данном случае являются концентрическими сферами. На изображениях ниже показаны простые электростатические поля.

Рисунок 1 . 4 . 3 . Красным показаны силовые линии, а синим – эквипотенциальные поверхности простого электрического поля. На первом рисунке изображен точечный заряд, на втором –электрический диполь, на третьем – два равных положительных заряда.

Если поле однородное, то его эквипотенциальные поверхности являются параллельными плоскостями.

В случае малого перемещения пробного заряда q вдоль силовой линии из начальной точки 1 в конечную точку 2 мы можем записать такую формулу:

Δ A 12 = q E Δ l = q ( φ 1 – φ 2 ) = – q Δ φ ,

где Δ φ = φ 1 - φ 2 – изменение потенциала. Отсюда выводится, что:

E = - ∆ φ ∆ l , ( ∆ l → 0 ) или E = - d φ d l .

Это соотношение передает связь между потенциалом поля и его напряженностью. Буквой l обозначена координата, которую следует отсчитывать вдоль силовой линии.

Зная принцип суперпозиции напряженности полей, которые создаются электрическими разрядами, мы можем вывести принцип суперпозиции для потенциалов:

§ 3 – 1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

Как уже отмечалось, на электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q,

действует кулоновская сила. Поэтому при перемещении заряда q в поле совершается рабо-та,величина которой определяется выражением dA = F_ldlcosa, где a - угол между направ-

Рис.8. К расчету элементарной работы.

лениями силы и перемещения (см. рис 8).Учитывая, что Fcosa = F_l имеем dA = F_ldl. Для нашего случая F = qE; qE =

Из рис. видно, что dlcosa =dR, и малая работа в поле равна dA =

; A =

. Из полученной форулы следует, что работа по пере-мещению заряда в поле не зависит от формы пути, т.е. электростатические силы являются потенциальными. Следовательно, заряд в поле обладает потенциальной энергией. Работа при изменении расстояния от R₁ до R₂ равна

= .

Из независимости работы от формы пути перемещения следует, что работа электро-статических сил по замкнутому пути равна нулю. В этом случае в первом интеграле величину заряда q, вынесенную за знак интегрирования, можно сократить. Тогда

В этой формуле интеграл с кружком обозначает так называемую циркуляцию, т.е. он обоз-начает, что интегрировапние проводится по замкнутому контуру. Справедливость этого утверждения следует из непосредственного выражения для элементарной работы при прод-

вижении вдоль элементарного перемещения dl: dA = Edlcosa =E_l dl, где a - угол между направлением силы и перемещения.

§ 3 – 2 Потенциал электрического поля.

Как уже отмечалось, пробный заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Однако величина этой энергии зависит от величины заряда q. Для того, чтобы можно было охарактеризовать само поле, условились относить величину потенциальной энергии заряда q к величине этого заряда. Эту величину принято называть потенциалом электрического поля. Здесь необходимо напомнить, что само определение потенциальной энергии содержит в себе неоднозначность, т.к. эта энергия определена с точностью до некоторой постоянной. Для однозначной характеристики электрического поля принято определять эту постоянную при удалении заряда q на бесконечность. Считается, что два за-ряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю. Поэтому можно сказать, что по-тенциалом электрического поля j называется работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.Из выражения для работы А следует, что потенциал j равен

j =

Потенциал – величина скалярная, он удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. потенциал от суммы зарядов равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если заряд q равный 1 Кулону, перемещается из одной точки поля в другую, то соответствующую работу называют разностью потенциалов или напряжением U, т.е.

Dj =U =;

где R₁ и R₂ соответствуют начальному и конечному положению единичного положитель-ного зваряда. Единицей напряжения, как известно, служит один Вольт. При перемещении произвольного заряда q величина совершаемой работы увеличивается в q раз.

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

Связь между потенциалом и напряженностью поля легко установить из выражения для элементарной работы dA. Так dA можно записать через напряженность поля Е и перемещение dl: dA = qEcosbdl, где b - угол между Е и dl. С другой стороны, используя определение потенциала, работа dA = qdj . Из этих выражений следует, что dj = Ecosbdl =

j = .

Обратная связь между напряженностью и приращением потенциала должна иметь вид , однако следует отметить, что напряженность поля – вектор. Поэтому производная должна иметь смысл производной по направлению. Для положительного заряда вектора напряженности положительны и направлены от заряда и в сторону умень-шения потенциала. Поэтому перед производной необходимо поставить знак минус, т.е.

Из этого выражения видно, что величина производной зависит от угла между Е и dl. Так для направления, перпендикулярного Е , проекция E_l равна нулю; наоборот, для направле-ния вдоль Е производная по dl максимальна и равна Е, т.е.

_{в направлении Е} .

где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

В теории поля производная по направлению наибольшего изменения функции называется градиентом (grad ), т.е. связь между напряженностью и потенциалом имеет вид:

E = - grad j.

В направлении, перпендикулярном вектору Е, величина производной от потенциала рав-на нулю, т.е. в этом направлении потенциал остается постоянным. Линии или поверхности, соединяющие точки с одинаковыми потенциалами, принято называть эквипотенциальны-ми. Примером топологии эквипотенциалей может служить рис.2 предыдущей лекции. Соотношение Е = - Dj ¤Dl показывает, что напряженность поля можно измерять в единицахВольт / метр.

§ 3 – 1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

Как уже отмечалось, на электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q,

Рис.8. К расчету элементарной работы.

лениями силы и перемещения (см. рис 8).Учитывая, что Fcosa = F_l имеем dA = F_ldl. Для нашего случая F = qE; qE =

Из рис. видно, что dlcosa =dR, и малая работа в поле равна dA =

; A =

= .

вижении вдоль элементарного перемещения dl: dA = Edlcosa =E_l dl, где a - угол между направлением силы и перемещения.

§ 3 – 2 Потенциал электрического поля.

j =

Dj =U =;

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

j = .

_{в направлении Е} .

где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

E = - grad j.

§ 3 – 1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

Как уже отмечалось, на электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q,

Рис.8. К расчету элементарной работы.

лениями силы и перемещения (см. рис 8).Учитывая, что Fcosa = F_l имеем dA = F_ldl. Для нашего случая F = qE; qE =

Из рис. видно, что dlcosa =dR, и малая работа в поле равна dA =

; A =

= .

вижении вдоль элементарного перемещения dl: dA = Edlcosa =E_l dl, где a - угол между направлением силы и перемещения.

§ 3 – 2 Потенциал электрического поля.

j =

Dj =U =;

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

j = .

_{в направлении Е} .

где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

E = - grad j.

§ 3 – 1. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

Как уже отмечалось, на электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q,

Рис.8. К расчету элементарной работы.

лениями силы и перемещения (см. рис 8).Учитывая, что Fcosa = F_l имеем dA = F_ldl. Для нашего случая F = qE; qE =

Из рис. видно, что dlcosa =dR, и малая работа в поле равна dA =

; A =

= .

вижении вдоль элементарного перемещения dl: dA = Edlcosa =E_l dl, где a - угол между направлением силы и перемещения.

§ 3 – 2 Потенциал электрического поля.

j =

Dj =U =;

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

j = .

_{в направлении Е} .

где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

E = - grad j.

Читайте также: