Производственная функция кобба дугласа кратко
Обновлено: 05.07.2024
Чтобы произвести что-нибудь, нужны ресурсы: сырьё, материалы, оборудование, энергия, информация, деньги, труд людей.
Факторы производства – это используемые в процессе производства ресурсы.
В простейшей модели производства рассматривают два основных фактора:
- Труд ( L - labor);
- Капитал ( K - capital).
Результат производства – это некоторое количество Q выпущенного продукта.
Производственная функция – это зависимость количества выпущенного продукта от величины затрат факторов производства:
Пусть $Q = 1,5 \sqrt$.
Тогда при затратах K = 100 ед. капитала и L = 16 ед. труда, будет получено $Q = 1,5 \cdot \sqrt = 1,5 \cdot 10 \cdot 4 = 60$ ед. продукции.
Степенная производственная функция Кобба-Дугласа
Производственные функции можно строить по-разному.
Часто используется модель, в которой оба фактора – труд и капитал – входят в виде произведения степеней:
где A – технологический коэффициент (зависит от применяемой технологии);
$0 \le a \le 1$ - коэффициент эластичности.
Такие производственные функции называют функциями Кобба-Дугласа в честь американских исследователей, которые получили:
в 1927 году для обрабатывающей промышленности США.
Свойства производственной функции Кобба-Дугласа:
1. Если K = 0 или L = 0, то Q = 0, т.е. производство невозможно при отсутствии хотя бы одного фактора производства.
2. При увеличении затрат фактора производства, величина выпуска продукции возрастает: $K \uparrow \Rightarrow Q \uparrow, L \uparrow \Rightarrow Q \uparrow$
Тогда при затратах K=81 ед. капитала и L=16 ед. труда, будет получено $Q = 2,5 \cdot \sqrt[4] = 2,5 \cdot 3 \cdot 8 = 60$ ед. продукции.
Изокванты – линии равного выпуска
Пусть предприятие планирует выпустить $Q_0$ единиц продукции.
В этом случае, мы можем найти зависимость затрат капитала от затрат труда.
Эту зависимость можно изобразить на плоскости LOK в виде кривой.
Для каждого плана выпуска будет отдельная кривая.
Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одному плану выпуска, называют изоквантой или линией равного выпуска .
Построим изокванты для $Q_0 = \$ единиц готовой продукции.
Свойства изоквант
1. Чем больше используется труда, тем меньше нужно капитала для производства заданного количества продукции. И наоборот: чем меньше труда, тем больше капитала. Труд и капитал взаимно заменяют друг друга.
2. Через каждую точку (L;K) проходит единственная изокванта.
3. Изокванты, соответствующие разным количествам продукции $Q_1 \neq Q_2$, не пересекаются.
Изокосты – линии равной стоимости
Согласно полученному выше графику, произвести $Q_0$ = 100 единиц продукции можно потратить 50 единиц труда и 20 единиц капитала, или же по 40 единиц труда и капитала, или же множество других сочетаний L и K.
Как нам определить, какое из сочетаний будет самым удачным? Очевидно, исходя из цены каждого ресурса. Пусть r - цена единицы капитала, а w – цена единицы труда. Тогда для некоторого набора ресурсов (L,K ), их общая стоимость:
На плоскости LOK это будет прямая с угловым коэффициентом $k = -\frac$.
Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одной величине затрат на ресурсы (бюджету), называют изокостой или линией равной стоимости .
Пусть цена ресурсов r = 5, w = 3.
Построим изокосты для общей суммы затрат C =
$$ \frac = \frac = 0,6, \frac = \frac = 0,2C, K = -0,6L+0,2C $$
Свойства изокост
1. Угловой коэффициент изокосты равен отношению цен на ресурсы $k = -\frac$.
2. Изокоста для данного бюджета затрат C проходит через точки $(\frac,0)$ и $(0;\frac)$.
3. Для заданных цен на ресурсы изокосты для $C_1 \neq C_2$ являются параллельными прямыми.
План производства с минимальными затратами на ресурсы
Теперь поставим главную задачу:
При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, найти такое сочетание труда L и капитала K, при котором затраты на эти ресурсы минимальны:
$$ <\left\< \begin Q_0 = A \cdot K^a L^ \\ C = wL+rK \rightarrow min \end \right.> $$
При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, затраты на ресурсы будут минимальными в точке $(L_0,K_0)$, в которой изокоста $C_0 (L_0,K_0)$ является касательной для изокванты $Q_0 (K,L)$, т.е. имеет с ней только одну общую точку.
Величина затрат для оптимальной изокванты:
Оптимальный объем ресурсов:
Пусть $Q = 2,5 \cdot K^\frac L^\frac$. План выпуска продукции $Q_0 = 100$ единиц.
Цена ресурсов r = 5, w = 3.
Найти оптимальное отношение труда к капиталу $\frac$, при котором затраты на ресурсы будут минимальными.
$$ = 40 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[4] = 160 \sqrt[4] $$
Оптимальный объем ресурсов:
Объем труда в 5 раз больше объема капитала при оптимальных затратах.
В плоскости LOK:
Таким образом, точка $(40 \sqrt[4];8 \sqrt[4])$ является точкой касания изокосты с минимальным бюджетом затрат $C_0 = 160 \sqrt[4]$ и изокванты с планом выпуска $Q_0 = 100$.
Производственная функция Кобба-Дугласа — это модель, которая говорит нам о взаимосвязи между общим продуктом, общей факторной производительностью, количеством труда и капитала и их эластичностью по выпуску.
Производственная функция Кобба-Дугласа является наиболее широко используемой производственной функцией, поскольку позволяет по-разному оценить различные сочетания труда и капитала.
Другие варианты производственных функций, такие как линейная производственная функция и производственная функция с фиксированной пропорцией (Леонтьева), представляют собой экстремальные сценарии.
В первом случае имеет место совершенное замещение между трудом и капиталом, во втором – нулевое замещение.
Производственная функция Кобба-Дугласа была разработана экономистом Полом Дугласом и математиком Чарльзом Коббом.
Формула
Математическое уравнение для функции Кобба-Дугласа выглядит следующим образом:
Q = A × K α × L β , где
Q — общий продукт,
K — единицы капитала,
L — единицы труда,
A — общая факторная производительность, а
α и β – показатели эластичности выпуска капитала и труда соответственно.
Исторические данные об общем объеме производства, трудозатратах и реальной стоимости капитала используются для определения A, α и β методом наименьших квадратов.
Общая факторная производительность (A) — это коэффициент, отражающий влияние факторов, отличных от труда и капитала, на общий продукт.
Эластичность выпуска труда (a) и капитала (b) измеряет отклик выпуска на изменения в труде и капитале соответственно, то есть a и b говорят нам о процентном изменении общего объема производства, которое соответствует увеличению труда и капитала соответственно на 1 %.
Функция Кобба-Дугласа представляет собой типичную выпуклую изокванту.
Предельный продукт труда/капитала
Когда производственная функция Кобба-Дугласа частично дифференцируется относительно L и K, мы получаем значения предельного продукта труда (MPL) и предельного продукта капитала (MPK) соответственно:
MPL = β × A × K α × L β -1
MPK = α × A × K α-1 × L β
Производственная функция Кобба-Дугласа дает представление об отдаче от масштаба. Историческая основа функции Кобба-Дугласа является ее самой значительной слабостью.
Кроме статистической элегантности, она не имеет под собой никакой практической основы, и предположение о том, что эластичность выпуска труда и капитала и общая факторная производительность в будущем будут такими же, как и в прошлом, увы, не более чем легковесная гипотеза.
Производственная функция Кобба-Дугласа в теории производства в экономике — зависимость объема производства Q от создающих его затрат труда L и капитала K .
Общий вид функции:
Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициент эластичности по капиталу.
Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.
Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, - убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба-Дугласа, будет выпуклой и "гладкой"
Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства
Разногласия
Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента λ в разных секторах экономики.
Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами :
=A\times L_^<\lambda>\times K_^<1-\lambda>" width="" height="" />
=A\times L_^<\lambda>\times K_^<1-\lambda>" width="" height="" />
Как видно в сумме мы не получим :
Равенство возможно лишь если :
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Функция Кобба-Дугласа" в других словарях:
ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА — (Cobb Douglas function) Модель агрегированной производственной функции (production function). В данной функции, названной по имени ее американских первооткрывателей, совокупный объем выпуска Y является функцией от вводимых ресурсов, потребляемых… … Экономический словарь
Производственная функция Кобба-Дугласа — COBB DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION Зависимость между объемом производства и используемыми факторами производства (затратами труда и капитала). Производственная функция Кобба Дугласа свидетельствует о том, что в случае наличия эффективной… … Словарь-справочник по экономике
Производственная функция Кобба-Дугласа — функция, определяющая взаимозаменяемость труда и капитала. Выведена в 20 х гг. американскими учеными К. Коббом и П. Дугласом … Экономика: глоссарий
Функция Кобба — Дугласа Функция Кобба Дугласа зависимость объёма производства от создающих его факторов производства затрат труда и капитала . Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных… … Википедия
Кобба — Дугласа функция — [Cobb Douglas production function] производственная функция, примененная американскими исследователями Ч. Коббом и П.Дугласом при анализе развития экономики США в 20 30 х гг. нашего века. Имеет простую алгебраическую форму: N = A × L α Kβ , где … Экономико-математический словарь
Кобба - Дугласа функция — Производственная функция, примененная американскими исследователями Ч. Коббом и П.Дугласом при анализе развития экономики США в 20 30 х гг. нашего века. Имеет простую алгебраическую форму: N = A ? L ? K? , где N национальный доход, A коэффициент… … Справочник технического переводчика
ФУНКЦИЯ, ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ КОББА-ДУГЛАСА — совокупная зависимость объема производства и основных факторов производства, труда и капитала, его создающих, рассчитанная в 20 е гг. XX в. для обрабатывающей промышленности США экономистом П.Дугласом и математиком Ч.Коббом и имеющая вид: Y = AKa … Большой экономический словарь
Функция производственная Кобба-Дугласа — экон. разновидность производственной функции, характеризующая технологию с совершенной взаимозаменяемостью факторов производства и с эластичностью выпуска от масштаба, равной 1 … Универсальный дополнительный практический толковый словарь И. Мостицкого
ФУНКЦИЯ, ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ — балансовое соотношение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величиной производства продукции (выпуска). Аналитически имеет вид произведения факторов, возведенных в определенные степени. Степенные коэффициенты показывают долю в… … Большой экономический словарь
Читайте также: