Производные обратной функции и композиции функции кратко

Обновлено: 05.07.2024

Теорема.Если функция строго монотонна на интервале и имеет ненулевую производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную , в соответствующей точке, определяемую равенством
или .

Пример. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную.

Решение. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найдем производную . Функция, обратная к исходной, имеет вид: . Находим производную обратной функции: . Следовательно,

Вопрос. Дана функция . Производная равна

Дифференцируемость функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную, то есть

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми функциями при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , а второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Поэтому первое слагаемое называется главной частью приращения функции или дифференциалом функции в точке .

Определение 1.Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде:

где некоторое число, не зависящее от , причем , а при , то есть .

Понятия дифференцируемости функции в точке и существования производной в этой же точке тесно связаны между собой. Для функции одной переменной эти понятия являются равносильными.

Теорема 1.Для того чтобы функция , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Определение 2.Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, то есть не иметь конечной производной в этой точке.

В точках разрыва (точках, в которых функция не является непрерывной) функция не может иметь производную, поэтому в таких точках функция не дифференцируема.

Пример 1. Функция имеет точку разрыва , следовательно, в этой точке она не дифференцируема.

Пример 2. Функция не имеет точек разрыва, но в точке не имеет конечной производной, так как

Следовательно, в точке функция является непрерывной, но не дифференцируемой.

Вопрос. Какая из этих функций не дифференцируема в точке ?

Пример. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную.

Вопрос. Дана функция . Производная равна

Дифференцируемость функции.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную, то есть

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать

где некоторое число, не зависящее от , причем , а при , то есть .

Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.

Пример 1. Функция имеет точку разрыва , следовательно, в этой точке она не дифференцируема.

Пример 2. Функция не имеет точек разрыва, но в точке не имеет конечной производной, так как

Следовательно, в точке функция является непрерывной, но не дифференцируемой.

Вопрос. Какая из этих функций не дифференцируема в точке ?

Пусть y = f (x) — некоторая дифференцируемая функция от аргумента x. Если в этом уравнении y рассматривать как аргумент, а х — как функцию, то эта функция , где , называется обратной к данной функции.

Наша задача, зная производную , найти .
Теорема 1. Производная функции , обратной к данной функции y = f (x), равна величине, обратной к производной данной функции, если последняя не равна нулю.
То есть, или
Доказательство. Пусть дана функция y = f (x) и обратная ей функция . Тогда .

Итак, х можно рассматривать как сложную функцию. Дифференцируя это равенство по х, и учитывая, что применяя предыдущую теорему о дифференцировании сложной функции, имеем:
. Отсюда или Теорема доказана.

Производные от обратных тригонометрических функций

Следствие 1. Справедливы формулы

Доказательство. Если y = arcsin x, то обратная к ней x = sin y,
Поскольку, , а
Выразим cos y через х. Имеем sin y = x.

Следствие 2. Производные функций y = arctg x, y = arcctg x находятся по формулам

Доказательство. Обратной к функции y = arctg x есть функция x = tg y, .
Поскольку то
Выразим cos 2 y через х. Имеем: tg y = x. Из школьного курса известно, что

Если некоторая функция $g$ в каждой точке $х$ области значений обратимой функции $f$ принимает значение у такое, что $f(y) = x$, то говорят, что функция $g$ -- есть обратная к $f$ функция.

Пусть дан график некоторой обратимой функции $f$. Для того, чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции $f$ и обратной к ней функции $g$ будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением $y = x$.

Рисунок 1. Обратные функции

Если функция $g$ является обратной к функции $f$, то функция $g$ будет являться обратимой функцией. А функция $f$ будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

Пусть $y = f(x)$ и $x = \varphi (y)$ -- взаимно обратные функции. Тогда если функция $y = f(x)$ имеет не равную нулю производную $f`(x)$, то обратная функция имеет производную $\varphi `(y)$.

Поскольку $y = f(x)$ и $x = \varphi (y)$ -- взаимно обратные функции, то $x = \varphi (f(x))$. Применяя дифференцирование, получаем:

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

Примеры. Найти производную обратной функции:

$\[y<$