Применение аксиоматического метода в школе

Обновлено: 05.07.2024

Аксиоматический метод – важнейший способ структурирования, а также увеличения научных знаний среди различных областей – формировался в течение более чем двух тысячелетий научной эволюции. Фундаментальный вклад в математику вносит именно аксиоматическая методика.

Многие учёные считают математическую науку достигшей идеала только в то время, когда она пользуется аксиоматическим методом. Другими словами, когда она принимает характер аксиоматической теории.

История аксиоматического метода

Платон — один из величайших мыслителей древности

Становление сегодняшнего толкования сущности аксиоматической теории осуществлялось в течение двух десятков веков формирования науки.

Знаменитый мыслитель античных времен Платон (427-347 гг. до н.э.) был одним из первых, поставивших себе целью устроить всё научное знание с помощью дедукции.

Труды и сочинения, связанные с геометрией, стали появляться задолго до Платона, к таким относятся учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.

Однако только он предложил ставить во главу угла каждой науки ключевые понятия, с опорой на которые будут делаться новые открытия.

К сожалению, эта структура в его трудах прослеживается весьма неотчетливо и нечетко, черты ее лишь угадываются в его сочинении, созданном, к слову, на мистическом фундаменте.

Наследники Платона

Ещё один древний ученый — Аристотель

Учеником Платона, который смог перешагнуть эти суеверия, стал великий Аристотель.

Тот снял покров с намерений своего учителя – требований к рационализации любой науки, собрал в себе практически каждую отрасль науки.

Как считается, Аристотель и стал родоначальником научного метода, а также некоторых наук.

Согласно его трудам, наука есть ничто иное как множество положений, принадлежащих к той или иной сфере знания. К этим положениям относятся и те, которые являются столь очевидными, что в доказательстве их нет никакой необходимости – аксиомы.

Свыше двух тысяч лет труд Евклида был, по сути, непревзойденным учебником для геометров всего мира. Данное сочинение было самой первой научной книгой за всю историю.

Там геометрия полностью представлялась как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.

Пятый постулат Евклида

Сильнее всего изучавших систему Евклида интересовал пятый постулат:

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами наводило ученых на мысль о доказательстве этого утверждения и таким образом исключения его из перечня постулатов.

Подобные разработки безуспешно проводились Посидонием (I в. д.н.э.), Санкери и Ламбертом (оба — XVIII).

То была самая настоящая Евклидова эра в геометрической истории, эпоха его последователей и преемников, время, когда вся геометрическая наука строилась по наивно-аксиоматическому принципу.

После столетий безуспешных попыток доказательства пятой аксиомы Евклида эта эпоха подошла к концу, оставив после себя уникальное достижение – открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.

Понимание значимости этой теории пришло не сразу – Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что вместе с геометрией Евклидовой существует и отличная от нее, для которой постулат этот ошибочен!

Помимо всего прочего, неевклидова геометрия доказала неправоту ученых, считавших Евклидову геометрию единственным возможным учением о пространстве.

Работы Д. Гильберта

Приблизительно в начале второй половины XIX века математическое общество в большинстве своём признало заслуги Лобачевского и приступило к последующему развитию его идей.

В своем труде автор описал полную аксиоматическую теорию геометрии Евклида, то есть несколько положений, на основании которых могли доказываться другие. Далее автор доказывает нелогичность и раскрывает множественные противоречия данной системы.

После выхода книги все вопросы про логическое обоснование аксиоматической теории были полностью закрыты. Помимо этого, до конца поняты столпы, характеризующие структуру такого подхода к пониманию геометрической науки и структура аксиоматики в целом.

Приняты основы построения аксиоматических теорий и выявлены вопросы, требующие ответа при ее построении – те, что связаны с неоднозначностью, согласованностью данной теории и правильности ее аксиоматической системы.

Разные аксиоматические системы, построенные на отличающихся базисных понятиях, были обычным делом и до книги Гильберта, и после (до самого начала 20-го века). Так завершился следующий шаг эволюции аксиоматики и построения геометрии за счёт нее.

Итоги эволюции аксиоматики

Логика связала между собой все области математики

Он обозначает некое множество схожих предметов любой природы (точки, вектора, фигуры и др.), взаимоотношения которых соблюдаются для какой-то аксиоматической системы.

Данная точка зрения позволила множеству идей геометров проникать в бесчисленное количество сфер многих наук, будучи оплодотворёнными методом аксиоматики.

В то же время эта наука развивалась и превращалась в гораздо более единую науку, размытие границ между разделами происходило всё отчетливее.

Самым настоящим цементом, скреплявшим воедино все основания математических областей, стала логика математики. За счёт нее исследовался путь доказательства, путь выведения теоремы с помощью аксиомы. Таким образом метод развивался далее и в некотором смысле покорил вершину.

Пример аксиоматического метода

Все математические теории формировались примерно одинаково

В наши дни построение аксиоматики для любой сферы математической науки выглядит следующим образом — в первую очередь идет перечисление понятий без определения.

Затем перечисляются аксиомы, для которых установлены какие-либо связи между базовыми терминами, далее следует выведение следующих понятий.

А вслед за этим, на основании начальных утверждений из аксиом будут доказаны следующие – теоремы.

Любая известная математикам теория проходила формирование по одному из 2 путей:

, при котором математическая теория достигает значительной степени усовершенствования и затем становится, по существу, аксиоматической. Так, аксиоматизацию претерпели: арифметика (аксиоматическая система Д. Пиано), геометрия (системы Д. Гильберта, М. Пиери и др.), теория вероятности (А.Н. Колмогорова) и др..
1. Путь, основанный на обнаружении сильного соответствия главных свойств отличных друг от друга теорий. Для их становления возникла идея выделения схожих черт, на основании которых и будет построена теория. Возник великолепный шанс смешивания разных методов, вольной интерпретации понятий и аксиом и открыло широкий простор использования данных теорий. Этого пути придерживались теория групп, теория колец, теория полей и др..

Базис определяется, исходя из опыта, следовательно, все утверждения, хоть и выводятся абсолютно логическим путем, всё же тесно переплетены с реальностью и часто применяются в жизни.

Примеры Аксиоматических теорий

Рассмотрим концепции, развитые обоими вариантами:

• Теория конгруэнтности расстояний. Есть R множество расстояний и ≅ отношение, называемое коэффициентом конгруэнтности, таким образом, что выражение c ≅ k обозначает следующее: расстояние c конгруэнтно расстоянию k. Как аксиомы приняты эти положения:

E1. Для любого c из R c ≅ c.
E2. Для любых элементов c, k, t из R, если c ≅ t и k ≅ t, то c ≅ k
Теорема: Для произвольных компонентов c и t из R, если k ≅ t, то t ≅ k
Док-во: В соответствии с аксиомой E2, заменив t на c, получим, что если t ≅ t и k ≅ t, то t ≅ k. Поскольку член конъюнкции t ≅ t истинен (E1), то из конъюнкции его исключим и получим, что t ≅ k.

Ниже приведено доказательство теоремы, выведенной из вышеперечисленных аксиом.

Док-во: Рассматриваем совокупность T = . Воспользуемся последней из аксиом (K4):

• 1 ∈ T, ведь 1’≠ 1 по аксиоме K1;
• Пускай, c ∈ T, иными словами. с’ ≠ с. В таком случае, согласно третей из аксиом, (c’) ‘ ≠ c’. Откуда с’ ∈ T

Четвертая аксиома соблюдена, поэтому T=R (K4), что в свою очередь означает, что (∀ с) (с’ ≠ с). Теорема доказана.

Выстраивание теории о множествах Кантора, с опорой на ряд аксиоматических систем. В сумме рассматриваются 2 системы.

(K1) c ∩ t = t ∩ c.
(K2) c ∪ t = t ∪ c.
(K3) c ∩ (t ∪ e) = (c ∩ t) ∪ (c ∩ e).
(K4) c ∪ (t ∩ e) = (c ∪ t) ∩ (c ∪ e).
(K5) c ∩ 1 = c.
(K6) c ∪ 0 = c.
(K7) c ∩ c’ = 0.
(K8) c ∪ c’ = 1.

(L1) c ∩ t = t ∩ c.
(L2) (c ∩ t) ∩ e = c ∩ (t ∩ e).
(L3) c ∩ t’ = e ∩ ez’ ⇒ c ∩ t = c.
(L4) c ∩ t = c ⇒ c ∩ t’ = e ∩ e’.

Заключение

Становление науки двадцатого столетия указало на то, что математику выделяет среди прочих областей знания как раз использование аксиоматического метода очень широко. Он в большой доле определяет высокую эффективность математики при познании мира и преобразующего воздействия на него.

В этом видео вы узнаете об аксиоматическом методе в контексте решения задач:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков. Историческая справка

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем: перечисляются основные (неопределяемые) понятия, все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Суть метода

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Основные понятия

Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Основные понятия

Аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения. Аксиомы предпосылки, которые принимаются за исходные

Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики. Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола. Геометрия модель аксиоматической системы

Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли выводы из нее привести к противоречию. Такая аксиоматика, заключающая в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и не имеет смысла. Таким образом, первое условие для любой системы аксиом – это ее непротиворечивость. Вопрос о противоречивости системы решается представлением ее модели. Непротеворечивость системы аксиом

Другой вопрос, касающийся системы аксиом, – это желательная их независимость. Система аксиом называется независимой, если ни одна из них не является логическим следствием остальных. К примеру, независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы. Независимость системы аксиом

Доказательство независимости данной аксиомы в системе достигается указанием модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме данной, которая заменяется ее отрицанием. Далее желательно, чтобы система аксиом была полной, то есть такой, что добавление к ней новой аксиомы делает новую систему аксиом зависимой. Система аксиом геометрии является полной, но это скорее исключение, чем правило: обычно системы аксиом оказываются неполными. Полнота системы аксиом

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А. Н. Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др. Другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира. Анализ различных систем

Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фун­даментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необ­ходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние па исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов. Арифметика

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. Натуральные числа

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а', непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиомы из аксиоматической теории натуральных чисел

аксиоматический метод или также называемый Аксиоматика - это формальная процедура, используемая науками, посредством которой формулируются утверждения или суждения, называемые аксиомами, связанные друг с другом отношением выводимости и которые являются основой гипотезы или условий определенной системы..

Это общее определение должно быть включено в эволюцию, которую эта методология имела на протяжении всей истории. Во-первых, существует древний метод или содержание, родившееся в Древней Греции от Евклида и позднее разработанное Аристотелем..

Во-вторых, уже в девятнадцатом веке появление геометрии с аксиомами отличалось от аксиом Евклида. И, наконец, формальный или современный аксиоматический метод, максимальным показателем которого был Дэвид Гильберт.

Помимо развития с течением времени, эта процедура была основой дедуктивного метода, используемого в геометрии и логике, где она возникла. Это также использовалось в физике, химии и биологии.

И это даже применимо к юридической науке, социологии и политической экономии. Однако в настоящее время наиболее важной областью его применения является математика и символическая логика, а также некоторые отрасли физики, такие как термодинамика, механика и другие дисциплины..

• 1 Характеристики
  • 1.1 Старый аксиоматический метод или содержание
  • 1.2 Неевклидов аксиоматический метод
  • 1.3 Современный или формальный аксиоматический метод

  черты

  Хотя фундаментальной характеристикой этого метода является формулировка аксиом, они не всегда рассматривались одинаково.

  Есть некоторые, которые могут быть определены и построены произвольным образом. И другие, в соответствии с моделью, в которой рассматривается ее интуитивно гарантированная правда.

  Чтобы понять, в чем конкретно состоит это различие и каковы его последствия, необходимо рассмотреть эволюцию этого метода..

  Старый аксиоматический метод или содержание

  Таким образом, греки принимают определенные факты за аксиомы, не требуя каких-либо логических доказательств, то есть без необходимости демонстрации, поскольку для них они являются очевидной истиной.

  Евклид, в свою очередь, представляет пять аксиом по геометрии:

  1-Учитывая две точки есть линия, которая содержит или связывает их.

  2-Любой сегмент может продолжаться непрерывно по неограниченной линии с обеих сторон..

  3-Вы можете нарисовать круг, который имеет центр в любой точке и любом радиусе.

  4-прямые углы одинаковы.

  5. Принимая любую прямую линию и любую точку, которая не находится в ней, есть прямая линия, параллельная этому, и которая содержит эту точку. Эта аксиома известна позже как аксиома параллелей и была сформулирована также как: точкой вне линии можно провести одну параллель.

  Тем не менее, как Евклид, так и более поздние математики сходятся во мнении, что пятая аксиома не так понятна, как другая 4. Даже во времена Ренессанса пытается вывести пятую из остальных 4, но это невозможно.

  Это сделало то, что уже в девятнадцатом веке те, кто поддерживал пятерых, были сторонниками евклидовой геометрии, а те, кто отрицал пятую, были теми, кто создал неевклидовы геометрии.

  Неевклидов аксиоматический метод

  Именно Николай Иванович Лобачевский, Янош Боляй и Иоганн Карл Фридрих Гаусс видят возможность построения, без противоречия, геометрии, которая исходит из систем аксиом, отличных от систем аксиом Евклида. Это разрушает веру в абсолютную или априорную истинность аксиом и теорий, которые вытекают из них.

  Следовательно, аксиомы начинают восприниматься как отправные точки данной теории. Также и их выбор, и проблема их обоснованности, так или иначе, начинают касаться фактов, выходящих за рамки аксиоматической теории..

  Таким образом появляются геометрические, алгебраические и арифметические теории, построенные с помощью аксиоматического метода..

  Эта стадия завершается созданием аксиоматических систем для арифметики, таких как система Джузеппе Пеано в 1891 году; геометрия Дэвида Хьюберта в 1899 году; заявления и предикатные расчеты Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела в Англии в 1910 году; Аксиоматическая теория множеств Эрнста Фридриха Фердинанда Цермело в 1908 г..

  Современный или формальный аксиоматический метод

  Именно Дэвид Хьюберт инициирует концепцию формального аксиоматического метода, и это приводит к его кульминации, Дэвид Хилберт.

  Именно Гильберт формализует научный язык, рассматривая его утверждения как формулы или последовательности знаков, которые сами по себе не имеют никакого значения. Они приобретают смысл только в определенной интерпретации..

  ВОсновы геометрии«Объясняет первый пример этой методологии. Отсюда геометрия становится наукой о чисто логических последствиях, которые извлекаются из системы гипотез или аксиом, лучше сформулированных, чем евклидова система..

  Это потому, что в старой системе аксиоматическая теория основана на доказательстве аксиом. В то время как основа формальной теории дана демонстрацией непротиворечивости ее аксиом.

  меры

  Процедура, которая выполняет аксиоматическое структурирование в рамках научных теорий, признает:

  a - выбор определенного количества аксиом, то есть ряда предложений определенной теории, которые принимаются без необходимости демонстрации.

  б-понятия, входящие в эти суждения, не определены в рамках данной теории.

  c-правила определения и вывода данной теории фиксированы и позволяют вводить новые понятия в рамках теории и логически выводить некоторые положения из других.

  г - другие положения теории, т. е. теорема, выводятся из а на основе с.

  примеров

  Этот метод может быть проверен посредством демонстрации двух наиболее известных теорем Евклида: теоремы о ножке и теоремы о высоте..

  И то и другое вытекает из наблюдения этого греческого геометра о том, что при построении высоты относительно гипотенузы внутри прямоугольного треугольника два треугольника оказываются больше оригинала. Эти треугольники похожи друг на друга и в то же время похожи на треугольник происхождения. Это предполагает, что их соответствующие гомологичные стороны пропорциональны.

  Можно видеть, что конгруэнтные углы в треугольниках таким образом подтверждают сходство, которое существует между тремя задействованными треугольниками согласно критерию подобия AAA. Этот критерий гласит, что когда два треугольника имеют все равные углы, они похожи.

  Как только треугольники показаны подобными, пропорции, определенные в первой теореме, могут быть установлены. В нем утверждается, что в правом треугольнике измерение каждого катета представляет собой среднее геометрическое пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета в нем..

  Вторая теорема - это теорема о высоте. Он указывает, что любой прямоугольный треугольник, высота которого нарисована в соответствии с гипотенузой, является геометрическим пропорциональным средним между сегментами, которые определяются указанным геометрическим средним на гипотенузе..

  Конечно, обе теоремы имеют множество применений во всем мире не только в области образования, но и в технике, физике, химии и астрономии..

  Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

  
  

  Описание презентации по отдельным слайдам:

  
  

  
  

  
  

  Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков. Историческая справка

  
  

  Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем: перечисляются основные (неопределяемые) понятия, все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Суть метода

  
  

  Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Основные понятия

  
  

  Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Основные понятия

  
  

  Аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения. Аксиомы предпосылки, которые принимаются за исходные

  
  

  Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики. Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола. Геометрия модель аксиоматической системы

  
  

  Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли выводы из нее привести к противоречию. Такая аксиоматика, заключающая в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и не имеет смысла. Таким образом, первое условие для любой системы аксиом – это ее непротиворечивость. Вопрос о противоречивости системы решается представлением ее модели. Непротеворечивость системы аксиом

  
  

  Другой вопрос, касающийся системы аксиом, – это желательная их независимость. Система аксиом называется независимой, если ни одна из них не является логическим следствием остальных. К примеру, независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы. Независимость системы аксиом

  
  

  Доказательство независимости данной аксиомы в системе достигается указанием модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме данной, которая заменяется ее отрицанием. Далее желательно, чтобы система аксиом была полной, то есть такой, что добавление к ней новой аксиомы делает новую систему аксиом зависимой. Система аксиом геометрии является полной, но это скорее исключение, чем правило: обычно системы аксиом оказываются неполными. Полнота системы аксиом

  
  

  
  

  
  

  Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А. Н. Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др. Другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии

  
  

  
  

  При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира. Анализ различных систем

  
  

  
  

  Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фун­даментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необ­ходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние па исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов. Арифметика

  
  

  АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. Натуральные числа

  
  

  
  

  Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а', непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиомы из аксиоматической теории натуральных чисел

  
  

  
  

  
  

  Читайте также:

    
  • Варианты послесталинского развития ссср кратко
    
  • Работа с учащимися испытывающими трудности в обучении в начальной школе
    
  • Презентация на тему квиллинг в детском саду
    
  • Основные функции педагогики кратко
    
  • Основание ковалевским высшей школы социальных наук в париже