Позиционные и непозиционные системы счисления кратко

Обновлено: 05.07.2024

Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не

зависит от позиции (разряда).

Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)

одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,

то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450

(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может

отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в

числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции

Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда

меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.

Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в

последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые

используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное

множество позиционных систем.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры не зависит от положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например, в числе ХХХ, записанном в римской системе счисления, каждый разряд означает 10 единиц.

Задача 1. Записать числа в римской нумерации: а) 193; б) 564; в) 2708.

Решение: а) 193 - это сто (С) + девяносто, т.е. сто без десятка (ХС) + три (III). Следовательно, 193 запишется как СХСIII.

б) 564 - это пятьсот (D) + пятьдесят (L) + десять (Х) + четыре (IV), т.е. число 564 запишется как DLХIV.

в) 2708 - это две тысячи (ММ) + плюс пятьсот (D) + сто (С) + сто (С) + пять (V) + три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: ММDCCVIII.

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например, цифра 3 в числе 723, записанном в десятичной системе счисления, означает три единицы, а в числе 325 – три сотни. К позиционным СС можно отнести шестидесятиричную вавилонскую и десятичную системы счисления.

Под основанием системы счисления понимается определенное постоянное для данной системы счисления отношение единиц соседних разрядов.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число большее 1.

Система счисления с основанием равным 1 называется унарной.

Для записи чисел в позиционной системе счисления используются цифры, количество которых соответствует основанию системы.

Десятичная система счисления, запись чисел в ней

В практике установилась десятичная система счисления. Как известно, в десятичной СС для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа .

Определение 4.Десятичной записью натурального числа xназывается его представление в виде:

где коэффициенты a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

Сумму в краткой форме принято записывать последовательностью цифр с чертой наверху, чтобы отличать от произведения чисел:

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натуральной записи надо доказывать.

Теорема 1. Любое натуральное число х можно представить в виде:

где коэффициенты a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

и такая запись единственная.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема 2. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) n 2 , …, 10 n называют разрядными единицамисоответственно первого, второго, …, n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. Затем следует третий класс – класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной СС всем числам можно дать название (имя). это достигается следующим образом: имеются названия первых 10 чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так числа второго десятка, представляемые в виде , образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять ("дцать"):

одиннадцать - один на десять;

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть естественнее было бы говорить "два и десять", но наши предки предпочли говорить "два на десять", что и сохранилось в речи.

Слово "двадцать" обозначает два десятка. Продолжая счет, получим название чисел третьего, четвертого, пятого, шестого и т.д. десятков. Только в трех случаях появляются новые слова: сорок, девяносто и сто. Десять десятков называют сотней. Название чисел второй сотни составляются из слова "сто" и названий чисел первого и последующих десятков. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют "двести".Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот, и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем 10 сотен, которые носят название тысяча. После отсчета тысячи тысяч получим число, имеющее наименование миллион (10 6 ). Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов, данное число носит название - миллиард (10 9 ). Миллион миллионов называется биллионом(10 12 ). Затем получим триллион (10 15 ), потом квадриллион (10 18 ) и т.д.

Таким образом, чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Студенты должны:

знать понятие системы счисления, позиционной и непозиционной системы;

уметь переводить числа из одной системы счисления в другую, выполнять арифметические операции в позиционных системах счисления.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в римской системе используются: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и, в каждом случае, обозначает одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVIII =1000 + (1000-100) + (100-10) + 5 + 1 + 1 + 1

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Позиция цифры в числе называется разрядом.

Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти (всем известных, так называемых арабских) цифр и основание равное 10. Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причём вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр. До сих пор при измерении времени мы используем основание равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в часе – 60 минут). В девятнадцатом веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов.

Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.

Рассмотрим десятичную систему счисления.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.

Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Крайняя справа позиция соответствует первому разряду - цифра обозначает единицы, цифра смещенная на одну позицию влево – обозначает десятки, еще левее – сотни, затем тысячи и т.д.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. В развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе должна выглядеть следующим образом:

555 ₁₀ =5*10 2 + 5*10 1 + 5*10 0

Число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы ряда степеней основания (в данном случае 10) с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры данной системы счисления.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. (555,55=5*10 2 + 5*10 1 + 5*10 0 + 5*10 -1 + 5*10 -2 ).

Задание для тренировки (выполняются у доски)

Представить через степени основания (10) следующие числа:

Компьютер может обрабатывать числовую, текстовую, графическую, звуковую и видео информацию. Все эти виды информации кодируются в последовательности электрических импульсов: есть импульс (1), нет импульса (0), т.е. в последовательности нулей и единиц. Компьютер использует две цифры, т.е. числа записываются в двоичной системе счисления.

В двоичной системе основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, десятичное число 5 в двоичной системе в полной форме записывается следующим образом: 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 , в сокращенной форме это число записывается так: 101 ₂

Позиционные системы счисления.

Задание для тренировки (выполняются у доски)

Представить через степени основания указанных систем следующие числа:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

1. Перевод чисел в десятичную систему счисления. Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную выполняется следующим образом: необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 1011 ₂ . Запишем его в развернутой форме и произведём вычисления:

11011 ₂ =1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 1*16+1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 27 ₁₀

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в десятичную. Возьмем любое восьмеричное число, например 33 ₈ . Запишем его в развернутой форме и произведём вычисления:

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную. Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 1В ₁₆ . Запишем его в развернутой форме и произведём вычисления:

1*16 1 +В*16 0 =1*16+11*1=27 ₁₀

Задание для тренировки (выполняются у доски)

Переведите в десятичную систему счисления следующие числа:

Двоичные: 11010 (26)

Восьмеричные: 32 (26)

Шестнадцатеричные: 1А (26)

2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуществляться различными способами.

Способ деления : десятичное число делим на основание системы – получаем частное и остаток. Остаток запоминается. Частное вновь делим на основание системы – опять получаем частное и остаток. И так продолжаем, пока частное не станет меньше основания системы. После чего записываем последнее частное и все остатки в обратном порядке – полученное число и есть результат перевода из десятичной системы счисления в искомую.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную.

2 3 результат деления 32 ₈

Перевод числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

А результат деления 1А ₁₆

Задание для тренировки (выполняются у доски)

Переведите из десятичной системы счисления, следующие числа:

В двоичные: 27 (11011)

В восьмеричные: 27 (33)

В шестнадцатеричные:27 (1В)

3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит (2=2 I , 2=2 1 , I =1)

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бит (8=2 I , 8=2 3 , I =3)

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бит (16=2 I , 16=2 4 , I =4)

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры. Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

101001 ₂ 101 001 ₂ 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 0*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 51 ₈

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

101001 ₂ 0010 1001 ₂ 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 29 ₁₆

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных тетрад (групп по 4 цифры) в шестнадцатеричные цифры.

Задание для тренировки (выполняются у доски)

Переведите из двоичной системы счисления, следующие числа:

В восьмеричные: 1111 (17)

В шестнадцатеричные: 101001 (29)

ля обратного перевода из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления так же можно воспользоваться вышеприведенными таблицами.

Работа в парах .

Расположите числа, записанные в различных системах счисления, в порядке возрастания (для этого переведите все числа в 10-ю систему счисления) :

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);

позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в этой системе. Вес разряда — отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

p_i = s i ,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

p_i = s i ,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

пронумеровать разряды исходного числа;

записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;

выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.

Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )

Арифметика

Сложение

В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 - 2 = 0.

Читайте также:


Системный подход к управлению качеством кратко

Основы государственного и общественного строя конституции рсфср 1918 года кратко

Характеристика группы детей с овз в доу

Виды международных организаций кратко

Творческий процесс это кратко