Понятие равенства фигур в школьном курсе геометрии

Обновлено: 07.07.2024

Отношение равенства явл-ся одним из основных отношений в математике, мы говорим о равенстве множеств, равенстве чисел, равенстве фигур. К изучению понятия равенства фигур разные авторы уч-ков подходят по разному. В уч. Погорелова изучение равенства фигур начинается с рассм-ния равенства конкретных фигур, отрезков, углов и треугольников. Равенство отрезков и углов опред-ся ч/з равенство соответствующих величин, для отрезка это равенство длин, а для углов равенство градусных мер. Т.о. мы переходим от равенства фигур к числовым равенствам с к-рыми учащ-ся уже привыкли иметь дело. Однако геометр. смысл от этого частично теряется, потому что далеко не всегда при док-ве теорем и реш-ия задач мы имеем числовые характ-ки. Равенство треугол-ков опред-ся как поэлементное равенство, при этом важно обратить внимание учащ-ся на то, что мы рассматр-ем именно соответствующие элементы, особенно при выполнении записей, т.е. тр-к A1B1C1=ABC , то это значит, что угол А м/т быть = только углу А1 или менять ориентацию треугольников. В аксиомат-ке Погорелова сформулирована спец-ая аксиома:$ -ия треуг-ка раного данному в заданном расположении относительно данной полупрямой. После чего с уч-ся изуч-ся признаки рав-ва треуг-ов и в дальнейшем, до конца 8 кл.Погорелов не рассматривает рав-во фигур.В 8кл. в теме движения даётся общее определение понятия рав-ва любых фигур.Две фигуры наз-ся равными, если они движением переводятся одна в другую. Т.о.общее определение понятия рав-ва фигур даётся на основе преобразования фигур, а именно движением. Сформул-ем общее определ-ие рав-ва фигур. Погорелов доказ-ет,что введённое раннее определ-ие рав-ва треуг-ов на основе по элемен-го рав-ва эквивал-на определ-ию рав-ва на основе понятия движения.В учеб-ке Атанасян изучение понятия рав-ва фигур начин-ся с введения общ-го определ-ия. Две геометр-ие фигуры наз-ся равными, если их можно совместить наложением (следует отметить, что понятие наложения явл-ся осн-ым понятием, неопределяемым в аксиомат-ке Атанасяна).Исходя из того подхода рав-во конкретных фигур(отрез-ов,углов) рассматр-ся как частный случай общего понятия рав-ва и уже следствием определ-ия(напр-р,рав-во отр-ов) явл-ся то,что равные отрезки имеют=длины.Точно также рассматр-ся признаки рав-ва треуг-ов.Только в уч-ке Погорелова док-во признаков рав-ва треуг-ов исходит из элемен-го рав-ва треуг-ов,а в уч-ке Атанасян из наложения.В последней теме планиметрии в уч-ке Атанасян –движение.При изучении самого понятия движения рассматр-ся вопрос о взаимосвязи понятия наложения и движения.Показ-ся, что наложение явл-ся отображением пл-ти на себя.А также док-ся два взаимообратных утвержденя:1)" наложение явл-ся движением;2)" движение явл-ся наложением. И рассматр-ся следствие,чтопри движ-ии любая фигура отбраж-ся на равную ей фигуру.В приложении к уч-ку Атанасян в аксиомат-ке сформулированы спец-ые группы аксиом рав-ва фигур.

Окруж-сть и круг являются одними из основных геометрических фигур. При этом в большинстве учебников понятие окруж-ти определ-ся одинаково, как фигура состоящая из т-к равноудален­ных от данной т-ки называемой цен­тром. А вот круг опред-ся по разному, как часть плоск-ти ограниченной ок­руж-тью или множ-во т-к расстояние от к-рых до данной т-ки не превосходит заданной величины. Еще в 5-6 классах учащ-ся знакомятся с основными эле­ментами окруж-ти и круга (радиус, диаметр, хорда). С учащ-ся рассматри­вают (правда в неявном виде) и раз­личные способы задания окруж-ти, напр-р, 3-мя точками не лежащие на одной прямой (окруж-сть описанная около треугол-ка) или 3-мя различными попарно пересекающимися прямыми (окруж-сть вписанная в треуг-к). В 4х-угольник не всегда можно м/о вписать и описать, в многоуголь-к всегда, но при условии, что он правильный. Од­ним из важнейших понятий связанных с окруж-тью явл-ся понятие касатель­ной. В большинстве учебников каса­тельная опред-ся как прямая, имеющая с окруж-тью единственную общую точку. В этом случае доказывается, что касательная перпендикулярна к радиусу проведенному в т-ку касания. Погорелов дает другое определ-ие касательной. Касательной наз-ся прямая, проходящая ч/з т-ку окруж-ти перпенд-на к радиусу проведенному в эту т-ку. В этом случае, в кач-ве св-ва касательной доказыв-ся единственность т-ки у касательной и окруж-ти. Следует заметить, что к сожалению в совр. школ-ых учебниках в теоретическом материале изучается очень мало св-в связанных с окруж-тью и касател-ой с том числе. В уч-ке Погорелова нет даже св-ва равенства отрезков касат-ных проведенных в окруж-ти из одной т-ки. Такое теоретического матер-ла в значительной степени обедняет возможность рассмотрения с учащ-мися различных задач связанных с окруж-тью. Рассм-ся также вопрос о центр-х и вписан-х углах. При этом сущ-ют различия в формулир-ки теорем об измерении вписан-го угла. В уч.Погрелова вписан. угол измер-ся половиной соотв-го центр-го угла. А в уч. Атанасяна половиной дуги на кот. он опир-ся.

Не менее важным вопросом изучения окруж-ти явл-ся рассмотрение вопроса длины окруж-ти и площади круга. На интуитивно-наглядном уровне с понятием окруж-ти учащ-ся встречались в 5-6 классах. Само определение длины окруж-ти (площади круга) явл-ся достаточно сложным, поскольку в основе имеет определение предела. В шк. уч-ках явного определения не дается, т.к. понятие предела изучается значительно позже, но на интуитивно-наглядном уровне оно рассм-ся. Основное внимание уделяется с форм-ми длины окруж-ти и площади круга.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Различные подходы к понятию равенства фигур

Равные предметы мы чаще всего называем одинаковыми. Изготовление равных друг другу предметов — важнейшая задача современного производства: штамповка деталей, конвейерная сборка, серийное строительство знаний, печать тиражей книг и т.п. — все это нынешняя реальность. Как могли бы работать строители, у которых кирпичи были бы разными? Что стало бы, если в автомашине или в станке мы не смогли бы заменить испорченную деталь такой же, равной ей деталью? Или не смогли бы ввернуть в патрон новую лампочку вместо перегоревшей? Изготовление предметов требуемых размеров опирается, в частности, на геометрические знания. Что об этом говорят монографии и школьные учебники?

О перемещениях и наложениях фигур говорил А.П.Киселев. Уже в пункте 1 своего учебника он дал такое определение:

А далее он писал следующее.

К числу основных (не определяемых явно) понятий относят наложение Л.САтанасян и его соавторы, определяя с его помощью понятие равенства фигур.

Аксиоматика же, в которой наложение - одно из основных понятий, дается в конце учебников (для плоскости и пространства соответственно). Под наложением понимается такое отображение плоскости или пространства на себя, которое обладает свойствами, выраженными в аксиомах. И формулируются эти аксиомы.

В упомянутом учебнике А.П.Киселева в начале курса на описательном уровне рассказано о градусной мере угла (пункт 18). Теория измерения отрезков дается только в пунктах 144—155; она является наиболее сложным местом в книге (соизмеримые и несоизмеримые отрезки и другие тонкости этой теории мне, учившемуся по учебнику А.П.Киселева, запомнились на всю жизнь, и эти воспоминания нельзя назвать приятными).

Другой подход к понятию равенства фигур дается в учебнике АНКолмогорова и др., а также в учебнике АВ.Погорелова. В обоих учебниках аксиоматизируется понятие расстояния между точками (а у Погорелова и понятие градусной меры угла). Затем вводится преобразование, сохраняющее расстояние между точками (у Колмогорова оно называется перемещением, у Погорелова - движением) и две фигуры называются равными (можно сказать и конгруэнтными), если они совмещаются движением (перемещением). При этом равенство произвольных фигур в первом учебнике определяется в начале курса (пункт 17), а во втором - лишь в конце 8 класса (пункт 90).

В учебно-методической литературе изложены различные подходы к вве­дению понятия равенства фигур.

! подход. Вначале дается определение равных (конгруэнтных) фигур, за­тем рассматривается равенство различных видов фигур (треугольников, четы­рехугольников и т. д.). Известны различные модификации этого подхода.

Равенство фигур определяется через отображение фигуры на фигуру, инею через движение (перемещение) плоскости. Первый путь реализован в учебнике геометрии под ред. А. Н. Колмогорова, второй - в учебнике под ред. I Д. Скопеца. Отображение, как правило, не определяется; содержание этого понятия раскрывается на конкретных примерах. Опыт работы по учебнику под ред. А. Н. Колмогорова показал, что реализация этого пути вызывает большие фудности у учащихся.

Равенство фигур определяется через наложение. Причем, иногда со­держание понятия наложения считают интуитивно ясным и не раскрывают его (иаиример, Киселев А. П. Элементарная геометрия. - М., 1980). Иногда понятие ни поженил относят к основным, а поэтому его содержание и связь с другими неполными понятиями описывают с помощью аксиом. Этот вариант реализован н учебнике геометрии JI. С. Атанасяна и др.

II подход. Определению равенства фигур предшествует введение равен-

Понятие равенства геометрических фигур в зависимости от принятой системы аксиом вводится по-разному. Обычно, равенства отрезков или углов определяются по их мере: два отрезка (угла) называются равными, если они имеют равные длины (величины). Затем определяются равенства треугольников, многоугольников, многогранников. Наконец, вводится понятие движения, при помощи которого понятие равенства определяется единообразно для любых геометрических фигур. В некоторых системах понятие движения (наложения, перемещения) вводится аксиоматически.

Говорят, что на плоскости (или в пространстве) определено преобразование , если для каждой точки той же плоскости (пространства). Если преобразование точке , то точка и их образов имеет место равенство

Определение равных фигур. Две фигуры

Подобие геометрических фигур

Подобием называется преобразование плоскости (пространства), при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении , т.е. для любых двух точек и их образов имеет место равенство называется коэффициентом подобия.

Отношение длин отрезков является инвариантом для преобразования подобия. В самом деле, из определения следует, что

Определение подобных фигур. Две фигуры Замечания В.2

1. Пусть на плоскости задана прямая параллельна прямой является отрезок ), т.е. . Однако, по теореме Фалеса отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, не изменяется при этом преобразовании. Например, (рис.В.2,б). Отношение для точек , принадлежащих одной прямой (причем точка ), называется простым отношением. Как видим, простое отношение является инвариантом для преобразования проекции.

2. Преобразования подобия и проекции относятся к так называемым аффинным преобразованиям, которые рассматриваются в разд.2.

3. В школьном курсе геометрии изучаются метрические и аффинные свойства фигур. К метрическим относятся такие свойства, которые не изменяются при ортогональных преобразованиях — преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками, например, признаки равенства треугольников, теорема Пифагора, метрическое свойство параллелограмма, теоремы синусов и косинусов и др. К аффинным относятся свойства, которые сохраняются при преобразовании подобия (которое является частным случаем аффинного преобразования), например, признаки подобия треугольников, свойство биссектрисы треугольника, теорема Фалеса и др.

Читайте также: