Понятие и виды неопределенности кратко

Обновлено: 05.07.2024

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

Деление 0 на 0 0 0 ;
Деление одной бесконечности на другую ∞ ∞ ;

0 , возведенный в нулевую степень 0 0 ;

Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );

С помощью замечательных пределов;

С помощью правила Лопиталя;

Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность	Метод раскрытия неопределенности
1. Деление 0 на 0	Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
2. Деление бесконечности на бесконечность	Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями	Преобразование в 0 0 или ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя
4. Единица в степени бесконечности	Использование второго замечательного предела
5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень	Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x )

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .

Решение

У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .

( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x - 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:

lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Вычислите предел lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Решение

Выполняем подстановку значений.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 ( x - 1 ) · ( x + 1 ) x - 1 = = lim x → 1 ( x - 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x - 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Вычислите предел lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 - x + 6 + x :

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x 12 - x - ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x - 2 ( x - 3 ) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Решение

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 - 3 3 · 1 2 - 5 · 1 + 2 = 0 0

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х - 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · ( - 3 ) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Мы получили предел следующего вида:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x - 1 3 · x - 2 3 · x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x - 2 3 = 1 + 3 3 · 1 - 2 3 = 4

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 - 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.

Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Решение

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Решение

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Всякая предпринимательская деятельность человека (производственная, коммерческая, финансовая) сопряжена с некоторой неопределенностью развития ситуации в будущем. Принимая то или иное решение, связанное с выбором альтернативного варианта в конкретной ситуации мы имеем дело с неопределенностью исхода, объясняемой недостаточностью, отсутствием или недостоверностью информации в исследуемой области. Неопределенность порождается случайностью стечения обстоятельств, неточностью или отсутствием информации.

Неопределенность отражает многовариантность будущего развития ситуации, т.е. неоднозначность исхода. При этом возможны как благоприятные, так и неблагоприятные исходы. Возможность неблагоприятных исходов обычно оценивается риском. Поэтому риски можно рассматривать как следствие неопределенности. Основные виды неопределенностей представлены на рис.1.1.

По вероятности наступления событий выделяют три вида неопределенности:

- полная неопределенность, когда прогнозируемая вероятность наступления события близка к нулю;

Рис. 1.1. Основные виды неопределенностей в экономической деятельности:

- полная определенность – прогнозируемая вероятность события близка к единице;

- частичная неопределенность – прогнозируемая вероятность события лежит в переделах от 0 до 1,0.

Неопределенности могут проявляться в различных формах:

- в виде вероятностных распределений (распределение случайной величины точно известно, но неизвестно какое конкретно значение примет случайная величина);

- в виде субъективных вероятностей (распределение случайной величины неизвестно, но известны вероятности отдельных событий, определённые экспертным путём);

- в виде интервальной неопределённости (распределение случайной величины неизвестно, но известно, что она может принимать любое значение в определённом интервале).

К основным причинам неопределенности относятся:

- спонтанность природных процессов и явлений, стихийные бедствия (землетрясения, ураганы, наводнения, засуха, мороз, гололед);

- случайность социально-экономических и технологических процессов (одно и то же событие в схожих условиях проявляется по-разному);

- противоборствующие тенденции, столкновение интересов (военные действия, межнациональные конфликты);

- вероятностный характер научно-технического прогресса (невозможно определить негативные последствия отдельных научных открытий и технических изобретений);

- недостаточность информации об исследуемом объекте, процессе, явлении;

- ограниченность ресурсов (материальных, финансовых, трудовых и др.) при принятии и реализации решений;

- невозможность однозначного познания объекта при сложившихся уровне и методах научного познания;

- ограниченность сознательной деятельности человека, различия в социально-психологических установках, оценках, поведении.

Неопределенность внешней среды включает в себя объективные экономические, социальные и политические условия, при которых осуществляется предпринимательская деятельность и к которым она вынуждена приспосабливаться. Значительное влияние на предпринимательскую деятельность оказывает неопределенность экономической конъюнктуры, деньги, факторы производства, контрагенты и лица, поведение которых нельзя предсказать.

Таким образом, под риском обычно понимают возможность наступления некоторого неблагоприятного события, влекущего за собой различного рода потери.

Риск - это деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели.

В предпринимательской деятельности под "риском" понимают вероятность (угрозу) потери предприятием части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате его производственной и финансовой деятельности.

Сущность риска отражается в следующих элементах:

- возможность отклонения от предполагаемой цели, ради которой осуществлялась выбранная альтернатива;

- вероятность достижения желаемого результата;

- отсутствие уверенности в достижении поставленной цели;

- возможность материальных, нравственных и др. потерь, связанных с реализацией выбранной в условиях неопределенности альтернативы.

Основными чертами риска являются: противоречивость, альтернативность и неопределенность.

Противоречивость означает столкновение объективно существующих рискованных действий с их субъективной оценкой. Например, инициативам и перспективным идеям противостоят консерватизм, догматизм, субъективизм и т.д.

Альтернативность предполагает необходимость выбора из двух или нескольких возможных вариантов решений, направлений, действий. При отсутствии возможности выбора не возникает рискованная ситуация, а, следовательно, и риск.

Неопределенность вызвана неполнотой или неточностью информации об условиях реализации проекта (решения). Экономическая деятельность осуществляется в условиях неопределенности внешней среды, поведение которой не всегда можно предсказать. При этом влияние различных факторов на конечные результаты такой деятельности неизвестны.

Совокупность условий и обстоятельств создающих обстановку неопределенности, называется ситуацией неопределенности.

Различают следующие три типа ситуации неопределенности:

- ситуация определенности означает выбор из множества возможных конкретного варианта решения с заранее известным исходом;

- ситуация риска предполагает, чтовыбор конкретного плана действий, может привести к любому исходу из их фиксированного множества. Причем для каждой альтернативы известны вероятности осуществления возможного исхода. Для того, чтобы ситуация была связана с риском, необходимо воздействие внешней среды и наличие неопределенности;

- ситуация неопределенности характеризует выбор конкретного варианта действий, который может привести к любому исходу из фиксированного множества исходов, с неизвестными вероятностями их осуществления (из-за отсутствия необходимой статистической информации, либо из-за отсутствия смысла определения таких вероятностей).

С учетом этого риск - это оцененная любым способом вероятность, а неопределенность - это то, что не поддается оценке.

Финансовый риск – это вероятность возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом.

Существуют три точки зрения на природу риска: субъективная, объективная и субъективно-объективная (преобладающая).

Субъективность риска объясняется различием психологических, нравственных, идеологических ориентаций и установок людей, которые по своему воспринимают одну и ту же величину риска.

Объективная природа риска обусловлена вероятностной сущностью природных, технологических и социально-экономических отношений. Объективность риска проявляется в реальном отражении явлений, процессов и деятельности, независимо от того, осознается ли он человеком.

Субъективно-объективная природа риска определяется тем, что риск порождается процессами субъективного и объективного характера.

По вероятности наступления событий выделяют три вида неопределенности:

- полная неопределенность, когда прогнозируемая вероятность наступления события близка к нулю;

Рис. 1.1. Основные виды неопределенностей в экономической деятельности:

- полная определенность – прогнозируемая вероятность события близка к единице;

- частичная неопределенность – прогнозируемая вероятность события лежит в переделах от 0 до 1,0.

Неопределенности могут проявляться в различных формах:

К основным причинам неопределенности относятся:

- противоборствующие тенденции, столкновение интересов (военные действия, межнациональные конфликты);

- недостаточность информации об исследуемом объекте, процессе, явлении;

- ограниченность ресурсов (материальных, финансовых, трудовых и др.) при принятии и реализации решений;

- невозможность однозначного познания объекта при сложившихся уровне и методах научного познания;

Сущность риска отражается в следующих элементах:

- возможность отклонения от предполагаемой цели, ради которой осуществлялась выбранная альтернатива;

- вероятность достижения желаемого результата;

- отсутствие уверенности в достижении поставленной цели;

Основными чертами риска являются: противоречивость, альтернативность и неопределенность.

Различают следующие три типа ситуации неопределенности:

Неопределенность –это недостаточность сведений об условиях, в которых будет протекать экономическая деятельность, низкая степень предсказуемости, предвидения этих условий. Неопределенность сопряжена с риском планирования, принятия решений, осуществление действий на всех

уровнях экономической системы. Совокупности действующих факторов неизвестна, и необходимо множество гипотез, прежде чем их оценивать.

Неопределенность возрастает в геометрической прогрессии с удаленностью предполагаемого решения во времени

Ситуация полной неопределенности – характеризуется тем, что выбор конкретного плана действия может привести к любому исходу из фиксировано множества исходов, но вероятности неизвестны.

Типы полной неопределенности: 1). Вероятности неизвестны в силу отсутствия статистической информации. 2) Ситуация не статистическая и об объективных вероятностях говорить не имеет смысла (чистая неопределенность)

Виды неопределенности:

Объективная – неопределенность природы

Неопределенность из-за отсутствия достаточной информации

Стратегическая, вызванная зависимостью от других субъектов рынка, например, налоговой системы.

Порожденная слабоструктурированными проблемами

Вызванная нечеткостью как процессов и явлений, так и информации их описывающей.

Перспективная – появление непредусмотренных факторов.

Ретроспективная – отсутствие информации о поведения объекта в прошлом.

Техническая – невозможность предсказать результаты принимаемых решений.

Стохастическая – периодичность / не периодичность неопределенности

Неопределенность целей (неправильное целеполагание).

Неопределенность не только отрицательный фактор и фирма не обязательно должна снижать ее уровень. Она затрудняет принятие решений фирмой, но так же затрудняет принятий решений конкурентами, поэтому фирма может создавать дополнительную неопределенность. Это интерактивное ведение бизнеса.

Основной прием снижения неопределенности – это получение дополнительной информации. Точность информации возрастает с увеличением ее стоимости и затрат времени на ее получение.

Методы снижения неопределенности: 1) Разработка стратегии фирмы снимает неопределенность,2) Учет случайных факторов мат и стат методами.

Отдельно выделяют. нечеткость – как источник случайности, а не синоним.

Виды нечеткости: 1) Низкая точность информации; 2) Неточность модели объекта контроля и управления; 3) Нечеткость в процессе принятия решения в многоуровневой иерархических системах; 4 Учет трудности представления знаний лица принимающего решения (ЛПР)

Способы снижения нечеткости: 1) Сознательное и бессознательное игнорирование; 2) Выбрать один существующий вид неопределённости и использовать соответствующую теорию, 3) Дополнительное исследование системы и дополнительная информация

Отличия неопределенности от риска

Предпринимательский риск – это деятельность субъектов хозяйственной жизни, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность оценить вероятности достижения желаемого результата, неудачи и отклонения от цели, содержащиеся в выбираемых альтернативах

Отличия (В лекции Булавы нет никаких отличий, сравнивала сама (подпись Андреева))

Неопределенность – это объективное состояние экономической среды, существует вне зависимости от субъекта предпринимательской деятельности, а риск – это уже деятельность субъекта в данных условиях и неотделима от него

Неопределенность – это источник риска

Ситуация неопределенности – многовариантность исходов с неизвестной вероятностью, а ситуация риска – это необходимость принятия одного решения в ситуации неопределенности

Риск имеет количественную и качественную оценку, неопределенность – недостаточность сведений, можно оценить только риски вызываемые неопределенностью

Неопределенность носит общий характер – оказывает влияние и на конкурента и на предприятие, риск носит частный характер, так как ответственность за него несет предприниматель (на свой страх и риск). Ситуация, когда реализация рисков одного субъекта деятельности влияет на других, является проявлением неопределенности для последних, и не может быть истолкована как общий характер риска.

Функция неопределенности – создание ситуации риска (пассивная); функции риска: аналитическая, инновационная, регулятивная, защитная (активные)

Неопределенность в отличие от риска невозможно диверсифицировать – она неизбежна, возможно только ее снижение, путем получения дополнительных сведений.

Читайте также: