Подходы к введению понятия предела в школьном курсе математики

Обновлено: 08.07.2024

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601 – 1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.

Аналитическое определение функции (17 – начало 19 века)

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая, независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Дальнейшее развитие понятия функции (20 век –. )

Основные подходы к определению понятия функции в школе

Методические схема изучения функции:

1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.

2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).

4. Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику)

5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

Способы задания функции.

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение.

Наиболее употребительны три метода:

Далее остановимся более подробно на каждом из них.

Аналитический способ задания функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.

7.20. Логическое строение школьного курса геометрии

Основное содержание школьного курса геометрии сохраняется стабильным почти 300 лет и истоками имеют начало Евклида. В геометрии на плоскости - планиметрии изучают взаимное расположение прямых, свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей, так же отношение равенства и подобие фигур, измерение длин и площадей. В геометрии пространства – стереометрии изучают взаимное расположение прямых и плоскостей, в основном призмы и пирамиды, далее тела вращения цилиндры, конус, шар, объемы тел и площади поверхности.

Структура школьного курса геометрии:

1 ступень (1-4 классы) – изучение отдельных элементов геометрии.

2 ступень (5-6 классы) – пропедевтический курс геометрии.

3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии.

4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии.

До 1968 года школьный курс геометрии был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности.

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

развитие логического мышления и пространственного воображения;

овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

Методы,используемые в геометрии:

Равенство и подобие фигур;

Алгебра (уравнения и неравенства);

Метод геометрических преобразований;

Метод математического анализа.

7.24. Методика изучения тел вращения

1)Цилиндр и конус:

a)Определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники;

c)Площадь боковой поверхности.

a)Определение, симметрия, сечение, касательная плоскость;

7.21. Типы геометрических курсов. Аксиоматический метод в математике

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором:

1. Выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом);

3. Фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других;

4. Все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3.

Первые представления об аксиоматическом методе возникли в Древней Греции. В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки. Начиная со второй половины 19 века аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную систему.. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы. Это различие вызвало необходимость формулирования основных требований, предъявляемых к ним в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т.д.).

Проблема состоит в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Д. Гильберт доказал совместимость выделенных аксиом, для которых каждое противоречие в дедукции из геометрических аксиом необходимо сказалось бы также и в системе арифметики действительных чисел. Аксиоматический метод принадлежит логике.

Все, что может быть объектом научного исследования в целом, и, поскольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматическому методу и через нее косвенно к математике

7.22. Понятие величины в математике. Методика преподавания величин в школе

Понятие величины и ее свойства

Длина, площадь, масса, время, объём - это величины. О возрастании роли величин в познании природы говорит тот факт, что они проникают и являются составной частью таких традиционных наук, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины - это не сама реальность, а лишь ее отображение. Различают несколько видов величин: скалярные, векторные, тензорные. В школьном обучении нашли широкое применение скалярные и векторные величины.

Величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т.е. математизировать знания о природе. По словам С. Богданова, понятие величины является основополагающим не только в отдельных науках, но и в реальной, повседневной жизни. Поэтому понятие должно иметь единое содержание как в школьных учебниках, так и в реальной практике. Но силу того, что понятие величины является первичным, четкого, строго определения оно не имеет, поэтому трактуется по-разному. В школе оно вводится, как правило, описательно, на примерах величин, известных ученикам из практики, окружающей действительности.

Анализ учебной и научной литературы о величинах позволяет выделить два аспекта величин:

1. Величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объекта, то есть математизировать знания об объекте.

2. В количественном описании величина представляется не только числом, но и единицей измерения.

К трактовке понятия величины существуетнесколько подходов.

I. Геометрические величины могут трактоваться как действительные числа, которые характеризуют геометрическую фигуру с точки зрения ее размеров - длин отрезков, величин углов, площади и объема. Каждая из них может быть определена аксиоматически, что сделано практически во всех школьных учебниках геометрии:

1. формулируется неотрицательность (иногда - положительность) величин;

2. показывается равенство соответствующих величин для равных геометрических фигур;

3. формулируется свойство аддитивности.

Таким образом, с помощью 1)-3) определяется сама величина, а не ее значения. Для нахождения числовых значений геометрических величин требуется введение еще одной аксиомы:

4)существует единица измерения.

II. С точки зрения теории множеств, все геометрические величины являются примерами одного из основных определяемых аксиоматически общематематических понятий - меры множества. Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека..

Существует два основных способа измерения геометрических величин:

Ниже рассматриваются методы установления такой зависимости, называемые методами косвенного измерения геометрических величин.

1)Метод равновеликости равносоставленных фигур, используемый для определения геометрических величин многоугольников и многогранников, основан на 3-й и 4-й аксиомах и следующей из них теореме: равносоставленные фигуры равновелики (две фигуры называются равновеликими, если их площади или объемы равны; две фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на соответственно равные части). Примерами применения этого метода являются доказательства формул площади параллелограмма (преобразованного в прямоугольник), трапеции (достроенного до треугольника), формул объема призмы; геометрическая иллюстрация законов действий над числами и формул тождественных преобразований.

7.23. Первые уроки стереометрии. Параллельность и перпендикулярность в пространстве

Изучение геометрии трехмерного пространства осуществляется в 10 и 11 классах средней школы. На первых уроках стереометрии изучается аксиоматика. В каждом школьном учебнике своя аксиоматика. Некоторые предложения являются аксиомами в одном учебнике, доказываются в другом.Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей во всех пособиях начинается с изучения параллельности прямых, т.е. сначала рассматривается материал с аффинной точки зрения, что дает возможность познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, а также позволяет показать роль аксиом и развивать конструктивные навыки.

1. Параллельность прямых в пространстве, скрещивающиеся прямые;

2. Параллельность прямой и плоскости;

3. Параллельность плоскостей в пространстве;

4. Параллельная проекция и ее свойства; изображение пространственных фигур на плоскости.

1. Изложение первого пункта намеченного плана следует начать с беседы о том, сколько общих точек могут иметь две прямые; при этом, надо отталкиваться от соответствующих аксиом уже известных учащимся. После этого нужно выяснить могут ли две прямые иметь меньше двух общих точек. Совершенно ясно, что могут, в этом случае они называются скрещивающимися. И остается выяснить могут ли две прямые совсем не иметь общих точек. Такого рода прямые известны учащимся из курса планиметрии, это параллельные прямые.

2. Раздел по параллельности прямой и плоскости следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и плоскости, опираясь при этом на соответствующую аксиому: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Согласно этой аксиоме прямая и плоскость не могут иметь только 2, 3, …, т.е. ограниченное число общих точек.

3. Изучение параллельности плоскостей в пространстве следует начать с разговора о возможном числе общих точек у двух плоскостей, отталкиваясь от соответствующей аксиомы: Две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку, т.к. на основании известной аксиомы они будут иметь общую прямую, проходящую через эту точку. В этом случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой, по той же причине две плоскости не могут иметь только две общие точки.

В процессе изучения этого раздела на основе определения и свойств параллельной проекции необходимо научить учащихся:

Изображать пространственные фигуры на плоскости;

Решать задачи на построение сечений многогранников плоскостью методом следа.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые:


Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются:


В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны):


Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, непересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три слу случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и полкомнаты.

7.25. Методика введения и изучения понятия производной. Задачи, подводящие к определению производной.

Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке. Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке.В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции.

Методическая схема изучения производной

Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t, т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При, отношение стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.

В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:

Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .

Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.

После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:

Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение:

III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной).

Понятие непрерывной функции


Остановимся на понятии непрерывной функции: функция стремится к числу при (), если разность сколь угодно мала, т.е. становится меньше любого фиксированного при уменьшении . Нахождение числа по функции называется предельным переходом.

Один из подходов к формированию понятий непрерывности и предела функции.

Этот подход основывается на следующих соображениях:

Актуализация

Изучение темы целесообразно начать с повторения сведений о функции, полученных учениками в девятилетней школе:

Понятие функции, её область определения, множество значений, способы задания функций, график функции.

Можно заранее заготовить графики указанных функций и отдельно в другом порядке выписать соответствующие формулы, после чего предложить учащимся установить соответствие между графиками и формулами.

Учащиеся должны правильно представлять ход графика, уметь нарисовать его эскиз ( например, прямую – по двум точкам, параболу – по трем), уметь ответить на вопросы:

  1. какова ООФ,
  2. множество значений функции,
  3. на каких промежутках функция убывает (возрастает),
  4. в каких точках она обращается в нуль, где положительна, где отрицательна

На все эти вопросы учащиеся отвечают по графику .

Цель – напомнить учащимся о связи свойств функции с её графическим представлением.

Построить схематически графики таких функций:

Пропедевтика

Для пропедевтики понятий предела и непрерывности полезно выполнить серию упражнений типа:

По графику функции указать значения х для которых:

Эти упражнения нужно рассматривать на конкретных графиках с конкретными значениями а,ε, . Задания указаны в порядке возрастания сложности. Самым важным из них является последнее. Его нужно предложить учащимся и в других формулировках:

«Для каких значений x значения f(x) отличаются от f(x 0 )

«Для каких значений x значения f(x) удалены от f(x 0 )

При разборе этих упражнений нужно обратить внимание учащихся на эквивалентность трёх утверждений:

Разъяснение понятий непрерывности и предела на интуитивно – наглядном уровне.

Прежде всего заметим, что в школьном курсе понятие непрерывности фактически рассматривается для функций, область определения которых является или промежутком, или объединением промежутков. Поэтому непрерывность функции имеет простой наглядный смысл: функция непрерывна в точке x 0 , если её график не прерывается при x = x 0 , т.е. при проведении графика через эту точку можно не отрывать карандаша от бумаги.

Для разъяснения различия между функциями непрерывными и не являющимися непрерывными в некоторых точках удобно использовать примерно такой набор графиков:

Понимание этих пояснений можно проверить, например, на таких упражнениях:

    Среди функций 1) - 6) укажите непрерывные в точке ; .
  1. Среди функций 1) - 6) укажите:

а) непрерывные в каждой точке числовой прямой.

б) не являющиеся непрерывными в некоторой точке (укажите в какой именно).

Если эти вопросы не вызвали затруднений, можно перейти к более сложным, но очень важным заданиям.

Изобразить график какой – либо функции f :

    Не являющейся непрерывной в точке , но определённой в этой точке;
  1. Не являющейся непрерывной только в точке , и не определённой в этой точке;
  2. Имеющей две точки, в которых она не является непрерывной; непрерывной в каждой точке, кроме , причём f(1)=3;
  3. непрерывной во всех точках числовой прямой. И т.п.

После того как учащиеся усвоят наглядный смысл непрерывности, можно переходить к следующему этапу: разъяснению характеристического свойства непрерывной функции.

Разъяснение характеристического свойства функции, непрерывной в точке, можно провести, рассматривая какой – либо график, например график функции:

При этом выясняются следующие вопросы:

    Чему равно f(2) , f(0,25), f(1)? ( ученики должны выбрать нужную формулу и вычислить результат) Пусть . Как вычислить f(x) ? (ученик должен сказать, по какой формуле он будет вычислять; если же он сразу скажет, что получится приблизительно f(2) , этот ответ нужно поощрить) Пусть или . Чему приближённо равно f(x) ? Пусть , например . Можно ли сказать, что f(x) приближённо равно f( ) ?
  1. Пусть . Чему равно приближённо f(x)?

Отвечая на все эти вопросы, учащиеся заметили, что если , то

По графику учащиеся заметят, что этого утверждать нельзя. Рассмотрев другие примеры: при , при и т.п., делаем вывод, что для непрерывной в точке функции справедливо утверждение: Если , то . Если же не является непрерывной в точке , то для неё это утверждение не справедливо.

Учащиеся должны понять, что возможность дать ответ связана с непрерывностью функций в точке и в точке .

После усвоения учащимися характеристического свойства непрерывной функции можно перейти к формированию понятия предела функции, непрерывной в точке.

Формирование понятия предела функции, непрерывной в точке.

Для этого полезно вспомнить определение предела последовательности (Если это определение вводилось ранее):

Подведение под понятие.

Функция f непрерывна в точке (график не разрывается в этой точке). Значит, . Это равенство означает, что для .

Сильным ученикам можно предложить задание: найти по графику окрестность точки , для которой , с точностью до 0,1 и т.п.

В точке эта функция непрерывна (сослаться на график). Кроме того, если , то , как и должно быть для непрерывной функции. Однако, если взять точку , где функция разрывна, то при не обязательно близко к . Например, для получим: , а для будем иметь .

Вообще для значений из любой окрестности целого числа нельзя указать приближённое значение этой функции.

Введение понятия предела функции в точке.

Итак, пределом при функции , непрерывной в точке , является значение этой функции в точке , т.е , и это означает, что для . Однако есть функции, не являющиеся непрерывными в точке , но поведение которых для , близких к , похоже на поведение непрерывных функций.

Если функция не является непрерывной в точке , но существует некоторое число a , которому приближённо равны значения этой функции в окрестности точки , то это число называется пределом функции , при ; пишут: . Эта запись опять означает, что если , то ; точнее, каким бы не было положительное число ε, можно указать такую окрестность точки , в которой значение функции приближённо равны числу с точностью до ε. Здесь придётся указать, что приближённое равенство в этом случае не выполняется для самой точки - центра окрестности. Итак, при решении задачи об отыскании предела функции , при могут встретиться такие случаи:

  1. Если функция непрерывна в точке , т.е. при , то .
  2. Если функция не является непрерывной в точке , но существует число такое, что для , то .
  3. Если такого числа не существует, т.е. нельзя сказать, чему приближённо равны значения функции при , то говорят, что предела функции при , не существует.

После этого полезно предложить учащимся упражнения на нахождение предела функции при :

Покажем, какое объяснение должны давать учащиеся при выполнении заданий 2) и 3).

2) Функция является непрерывной на множестве всех действительных чисел (график – непрерывная линия), а значит, и при . Поэтому предел равен значению функции в точке 2.

В тетради достаточно такой записи:

3) Функция не является непрерывной в точке .

Но во всех остальных точках эта функция совпадает с функцией
. Поэтому пределы этих функций при совпадают. Для последней же функции, т.к. она непрерывна, предел равен значению функции в точке -1. При письменном выполнении этого упражнения можно опускать пояснения и записывать решения так:

При устном ответе учащиеся должны уметь пояснить, почему возможно сокращение дроби под знаком предела (хотя функции и разные, но во всех точках, кроме , их значения совпадают, поэтому и их пределы равны), так что мы предел данной разрывной функции заменяем равным ему пределом непрерывной функции.

В заключении этапа формирования у учащихся наглядных представлений о пределе функции в точке, полезно совместно с учащимися выяснить, какой вид в окрестности точки может иметь график функции, имеющей предел при . Может быть три основных случая:

  1. Начертите график этой функции.
  2. Используя график укажите промежутки её возрастания и убывания.
  3. Укажите точку, в которой функция не является непрерывной; укажите значения функции в этой точке.
  4. Найдите
  5. .

После проведения контрольной работы можно разобраться в строгом определении непрерывности и предела и, если это необходимо ликвидировать недоработки в технике решения примеров на вычисление пределов.

Говорят, что задана числовая посл-ть, если любому нат. числу (номер места) по закону однозначно поставлено в соответствие определенное число. В общем виде это соответствие м/изобразить так: а1..аn. Число аn наз-ся n-ным членом посл-ти, саму посл-ть обоз-ют (аn). Посл-ть м/б конечной и ∞-ной. Способы задания посл-тей: ф-лой n-го члена yn=2n+3; рекурентным способом (н/указать n-ый член посл-ти ч/з предыдущий).
Предел посл-ти. Трудности при изучении: 1) Содержание темы. Понятие предела связано со сложным понятием ∞-ти. Само определение предела трудно для восприятия: в опр-нии используется нер-во с модулем, кот-е д/вып-ся для всех n>некоторого числа N и для любого E>0. 2) Изолированность этой темы от остальных тем курса и отсутствие пропедевтики. 3) Разные отрицательные факторы внешнего порядка: недостаточная методическая разработанность темы, ограниченность времени.
В учебниках давалось определение : число х наз пределом (xn) если для любого е> 0 и достат большого номера N вып нер-во ½xn-x½ 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

С другой стороны, функция y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке x = 0 , но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.
На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений.
. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований.
Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования — вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения а -b
=
0
к рассмотрению уравнения а=0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.

Понятие "производная" является фундаментальным для более сложных разделов высшей математики, математического анализ, дифференциального исчисления и т.д.

Поэтому без четкого понимания этого математического термина невозможно дальнейшее освоение математики.

Кроме того, производная используется при решении практических задач, связанных с исследованием физических явлений и построением графиков функций.

В средней школе учащиеся испытывают затруднения при изучении производной. Это связано с:

1) Производная является одним из абстрактных понятий, физический смысл которой трудно представить наглядно;

2) Определение производной базируется напонятий предела, которому уделяется недостаточно внимания в школьном курсе;

3) При определении производной используются новые термины: предел отношения, приращение аргумента, функции и т.д.

Поэтому изложение ведется на наглядно-интуитивной основе, без доказательств многих формул, только лишь с пояснениями.

Александр Григорьевич Мордкович советует использовать как можно меньше схоластики (рассуждений ни о чем), меньше жестких моделей (научных терминов), меньше опираться на левое полушарие; больше использовать иллюстраций, правдоподобных рассуждений, мягких моделей (примеров из жизни).

Приступая к изучению производной целесообразно:

1) повторить все вопросы, связанные с линейными и элементарными функциями, тк.к. основная идея дифференциального исчисления - это представление функции как о линейной в достаточно малой окрестности некоторой точки;

2) отработать такие понятия, как приращение функции и аргумента, выработать твердые навыки их нахождения;

3) выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввести понятие касательной к кривой как предельное положение секущей.

Классически удачным способом введения понятия производной является решение подводящих задач о нахождении мгновенной скорости прямолинейного движения, о линейной плотности в точке, о мгновенной величине тока и т.д.

Главная цель на этом этапе - показать учащимся целесообразность изучения этой темы.

На основе уже имеющихся знаний о пределе функции в точке формулируется определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Наилучший вариант - сделать это на геометрической основе, что позволит еще раз показать идею линеаризации (изучения кривой к изучению ломаной, далее - к изучению отрезков, являющихся хордами, содержащими 2 точки кривой).

Особое внимание необходимо уделить сложной функции и ее производной, т.к. наибольшее количество ошибок связано именно с ней.

Вступительная беседа к геометрическому смыслу производной может иметь следующую идею:

1) Показать, что функции, графиками которых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессы;

2) По сравнению с прямой кривые постоянно меняют наклон: возрастание - на убывание и наоборот;

3) Могут существовать значенияу, которым соответствует несколько значений х.

Этапы изучения геометрического смысла:

1. Определение углового коэффициента прямой, угла наклона между положительным направлением оси ОХ и прямой, свойства функции и графика в зависимости от коэффициента.

2. Определение касательной к графику дифференцируемой функции.

3. Геометрический смысл производной.

4. Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции.

Следующим разделом темы является применение производной к решению задач.

Содержание этого раздела: применение производной в геометрии и физике, приближенных вычислениях, исследованиях функции, построении графиков с помощью производной и решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Теоретический материал по исследованию функции может быть введен следующим образом:

1. Сформулировать все утверждения, оставить без доказательств.

2. Показать схему доказательства теорем.

3. Формулу Лагранжа дать без доказательства, а остальные теоремы - доказать на ее основе.

Основные этапы исследования функции:

2. Нахождение производной.

3. Нахождение стационарных точек.

4. Промежутки монотонности.

5. Точки экстремума.

6. Построение графика функции.

Еще одним трудным вопросом является решение задач на наибольшее и наименьшее значение (задачи на оптимизацию), связаны с построением и исследованием некоторой модели.

Трудности возникают при составлении функции на основе условия задачи. Здесь требуется грамотный анализ условия, опора на полученный при работе с сюжетными (текстовыми) задачами опыт поиска решения.

1. Образовательные цели изучения производной функции

При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.

Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.

Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.

При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.

Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.

2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы

Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.

Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):

2) исходя из операции предела функции в точке через окрестности (топологическое): a- предельная точка множества E, т.е.

В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.

3. Методическая схема изучения производной

I. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При , отношение стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.

В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:

Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .

II. Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.

После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:

Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение:


Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение

Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции в точке ?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции в точке ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится при

III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)

Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а) задано конкретным числом; б) берётся в общем виде.

Например: Дана функция . Найти её производную в точке: а) x=2; б)

а) Придадим приращение в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+ ). Найдём приращение функции:

Вычислим разность отношения

Оно стремится к 2 при

б) , приращённое значение аргумента : +

Составим разностные отношение: , которые при стремится к числу .

Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:

1) На примере функции покажите, что разностное отношение есть функция с аргументом . Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру:

Наша функция возрастающая, т.е. если

2) Постройте график функции и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение при . Пусть

3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.

4) Рассмотреть приложение производной.

Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано.

Методы исследования в анатомии и физиологии: Гиппократ около 460- около 370гг. до н.э. ученый изучал.

Образцы сочинений-рассуждений по русскому языку: Я думаю, что счастье – это чувство и состояние полного.

Роль химии в жизни человека: Химия как компонент культуры наполняет содержанием ряд фундаментальных представлений о.

Понятие последовательности вводится в курсе алгебры 9 кл. Причем общие сведения о последовательностях даются в том объеме, который необходим для изучения арифметической и геометрической прогрессии. Для введения понятия последовательности учащимся можно предложить выполнить следующие задания: выписать в порядке возрастания: а) положительные четные числа; 2 4 6 8 … б)положительные нечетные числа; 1 3 5 7 ….Получили последовательности чисел. Числа, образующие последовательности называют членами. Пронумеруем все члены последовательности по порядку: 1,2,3,4. n. например 2,4,6,8,…2n; 1,2,3,4…n. Число аn называют n-ным членом последовательности, саму последовательность обозначают (аn). Последовательность может быть конечной и бесконечной. В ходе решения примеров, учащиеся знакомятся со способами задания последовательности: 1) ф-ла n-ного члена; 2) рекуррентным способом.

В этом случае для задания последовательности надо указать 1-ый член последовательности и рекуррентное соотношение выражающие n-ный член последовательности через предыдущий. Рассматривая различные последовательности выделяют те в которых каждый член начиная со второго получается прибавлением к предыдущему члену некоторого числа или умножением предыдущего члена на некоторое число и дают им особое название арифметическая и геометрическая прогрессии.

Понятие предела последовательности является одним из важнейших мат-их понятий. При изучении этой темы учащиеся испытывают ряд трудностей. Основными из них является следующее:

1)само содержание темы(понятие предела связано с достаточно сложным понятием бесконечности). Само определение предела также трудно для восприятия: в определении используется неравенство с модулем, которое к тому же должно выполняться для всех n, больших некоторого N, и каждого ε>0. Необходимо отметить, что определение предела формулируется в непривычной для учащихся форме, а именно, предел есть число, которое связано с рассмотрением указанного выше неравенства. Более того указывается на конкретное число, а неравенство его определяющее.

2) изолированность темы от остальных тем курса и отсутствия пропедевтики в изучении этого вопроса в предшествующих классах

3) Различные отрицательные факторы внешнего порядка: недостаточное методическая разработанность темы, ограниченность временем на ее изучение.

В курсе мат. анализа существует несколько подходов к изучению этой темы:

а) метод (ε-δ), при котором определение предела дается на языке (ε-δ), док-во свойств и теорем о пределах ведется методом (ε-δ);

б) теория пределов может строиться на основе учения о бесконечно малых величинах;

в) при изучении теории пределов используются оба подхода: определение предела дается на языке (ε-δ), вводится понятие бесконечно малой, рассматривается теоремы о свойствах бесконечно малых, причем док-во ведется методом (ε-δ), далее рассматриваются св-ва пределов.

В учебном пособии алгебры и начала анализа 10-11 кл. введению определения предела последовательности предшествует рассмотрение примеров последовательности. Затем дается определение

Опр: Число х называется пределом последовательности (xn), если для любого ε>0 при достаточно больших номерах n выполняется неравенство |x-xn|

Затем идет решение задачи вида: 1. Док-ть 2.Вычислить несколько членов последовательности (xn), если xn=(3n-1)/n

Задача на вычисление пределов идут после рассмотрения вопросов о пределе и непрерывности ф-ии в точке и теоремах о пределе. Однако практика показывает, что учащиеся испытывают трудности в усвоении данного определения, поэтому необходимо рассматривать серию дополнительных примеров и задач, которые будут способствовать формированию этого понятия. Изложение материала можно начать беседы.

Кроме того в определении предела последовательности необходимо обратить внимание на 2 момента:

1. Если последовательность имеет предел, т.е. , то недостаточно, чтобы для n→∞ для любого ε>0 разность |an-a| лишь один раз (т.е. для некоторого номера n=N0) была меньше ε, надо чтобы разность |an-a| став меньше ε для n=N0 и впредь оставалась бы меньше ε, при этом неравенство |an-a| 0, а не для какого-то неопределенного;

2. Выбор номера N зависит от выбора ε;

уяснение этих положений хорошо провести на разборе задач. Например: док-ть

Опр: абсолютная погрешность приближенного значения х числа а наз. модуль разности между числом и его прибл. значением. Таким образом абс. погрешность приближенного равенства x≈a, есть число |x-a|.

Опр: Если абсол. погрешность приближенного значения х числа а не превосходит h, т.е. |x-a|≤h, то х называется приближенным значением числа а с точность до h.

Школьникам поясняют, что часто при вычислении значения ф-ии в точке а приходиться находить значение ф-ии не в самой (.)а, а в ближайшей к ней точке х. Например, если а=π, то для вычисления берем x=3,14 или х=3,1416 и т.д. При решении необходимо уметь оценивать точность проводимых вычислений.

Опр: Ф-ия f(x)→lim L при х→а если можно обеспечить любую наперед заданную точность h приближенного равенства f(x)≈L, за счет уменьшения погрешности ∆x=|x-a| значения аргумента.

Другими словами приближенного равенства f(x)≈L может выполняется с любой точностью, это же можно записать так:

В теме производная рассматривается вопрос о мгновенной скорости движения.

Лекция №15-16

2. Введение понятия интеграл

3. Применение интеграла при решении геометрических и физических задач

Литература:2,[7],15,[18]. Дополнительная литература I.2, II, V.
учебники и учебные пособия для учителя по алгебре 11 класса

Лекция №17-18

Тема:Первые уроки геометрии в 7 классе

1. Задачи преподавания геометрии в школе

2. Методика введения аксиом в курсе геометрии 7 класса

Литература: 3,[7],16,[18]. Дополнительная литература I 1, II,IV,V.

Первые уроки планиметрии. Методика работы с аксиомами и теоремами.

Одна из целей включения аксиом в школьный учебник – сформировать базу для построения доказательств. Удачно подобранная система аксиом призвана обеспечить рациональное и простое построение всего курса. Аксиома - это мат. предложение, принимаемое без док. Они образуют систему отправных исходных положений. К системе аксиом предъявляются требования: независимости, непротиворечивости, целостности. Методическая схема введении аксиом:1.ввести аксиому на наглядной основе; 2.сформулировать аксиому; 3. выполнить логический анализ формулировки аксиом.; 4. провести математический . диктант. Математическое положение, истинность которого устанавливается посредством доказательства наз.теоремой, в Т. указано при каких условиях рассматривается объект (условие Т.), что об этом в Т-е утверждается (заключение). Формулировка Т может быть условной (если, то) и категорической. Доказательство - это организованная система предложений, каждая из кот является.либо аксиомой, либо выводится из 1-го или нескольких предложений по правилам логики. Под обучением доказательства понимают обучение мыслительным процессам поиска нахождения и построения доказательства. Этапы работы над Т.:1.мотивация необходимости изучения и раскрытия содержания 2.работа над структурой З.мотивация необходимости доказательства 4.построение чертежа и краткая запись условия Т. б.поиск доказательства, доказательство, запись.6.работа по закреплению Т.7.применение Т. Методы док.: аналитический (сведение к известному утверждению), синтетический (приведение к данному утверждению), аналитико-синтетический, от противного.

Лекция №19-20

1. Первое знакомство с окружностью и кругом в курсе математики начальной школы и 5 классе

Литература: 2,[7],15,[18]. Дополнительная литература I 3, II,IV,V.

Окружность и круг в школьном курсе геометрии: основные понятия, определения, теоремы, формулы. Методика обучения геометрическим построением с помощью циркуля и линейки. С геом-ми построениями уч-ся знакомятся в конце 7 кл. Но перед этим они изучают понятия окр-ти и круга. В процессе изучения темы уч-ся знакомятся с теорет-ими фактами, связанными с окр-ю, необходимыми для решения задач на построение и для изучения в дальнейшем некоторых вопросов курса, в частности многоугольников, вписанных в окр-ть и описанных около окр-ти. В связи с этим при рассмотрении теор-ого материала и решении задач, необходимо отработать такие вопросы, как рав-во радиусов одной окр-ти, перпендикулярность касательной и радиуса, проведенного в точку касания, положение центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окр-ей. Док-во теорем о центрах вписанной и описанной окр-ей и решение соответствующих задач позволяет обратить внимание уч-ся на важные с точки зрения дальнейшего применения св-ва серединного перпендикуляра к отрезу, биссектрисы угла, отрезков касательных, проведенных к окр-ти из общей точки, радиуса, перпендикулярного хорде. При изучении и закреплении теоремы об углах вписанных в окр-ть, следует обратить внимание на конфигурацию, связанную с вписанным в окр-ть прямым углом, поскольку в дальнейшем эта конфигурация будет часто встречаться уч-ся. Значительное внимание при изучении данной темы должно быть уделено формированию практических навыков построений с помощью циркуля и линейки при решении простейших задач. Кроме того, здесь формируются умения связанные с вычленением основных построений, необходимых для решения комбинированных задач. При решении задач на построение вопрос о существовании и количестве решений не ставиться; задача считается решенной если указана последовательность выполняемых операций и доказано, что получаемая таким образом фигура удовлетворяет условию задачи.

Лекция №21-22

1. Первое знакомство с четырехугольниками в курсе математики начальной школы.

2. Изучение темы в курсе геометрии в 8 класса.

Литература:2,[7],16,[18]. Дополнительная литература I 3, II, III, IV,V. Учебники геометрии 8 класса.

Лекция №23-24

Тема: Изучение вопросов взаимного расположения прямых на плоскости в школьном курсе математики

1. Первое знакомство с вопросом взаимного расположения прямых в курсе математики 1-6 классов

2. Методика изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Литература: 4,[7],11,[18]. Дополнительная литература I 1, II, III, IV. Учебники геометрии 7-9 класса.

Читайте также: