Основные приложения метода координат на плоскости кратко

Обновлено: 07.07.2024

Совокупность координатных осей О_х, О_у (с выбранной единицей масштаба) и их точки пересечения (начало отсчета) называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат.

Каждой точке на плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у, которые называют координатами точки А(х; у).

Координатные оси О_х и О_у разбивают плоскость на I, II, III и IVквадранты (координатные четверти).

Например, на рисунке 1 построены точки А(0; 4), В(3; 2), С(- 4; 0) М (-2;-3).

Основные задачи, решаемые методом координат

Расстояние между двумя точками

Найдем расстояние между двумя точками М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂) (рис. 2).

Из прямоугольного треугольника М₁М₂ N по теореме Пифагора находим формулу для вычисления расстояния между точками:

Пример. Найти расстояние между точками А(1; 3), В(4; 7).

По формуле (7) имеем

Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка

Требуется найти координаты точки М (х;у), лежащую на отрезке М₁М₂ и делящую его в данном отношении (рис. 3).

Еслиизвестны координаты концов отрезка М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂), то координаты точки М(х_М;у_М), которая лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в данном отношении

- координаты точки М(х_М;у_М) – середины отрезка М₁М₂

Пример. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(1; 3), В(5; 7). По формулам (8) имеем

Ответ: С(3; 5).

Пример. Вычислить координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ=4, если А(10; 2), В(5; 7).

По формулам (9) имеем

Ответ: М(6;6).

Упражнения

1. Построить точки A(3; 5), B(- 4; 2), C(1;-3), D(-2;-2), E(-6; 0). K(0; 3).

2. Найдите расстояние между точками:

а) A(-3;-5) и B(2; 7); б) A(2; 7) и B(6; 4); в) A(12; 0) и B(0; -5);
г) A(-4; 0) и B(0; 3); д) A(-2;-7) и B(3; -2); е) О(0; 0) и B(-8; 6).

3. Найдите координаты точки К – середины отрезка АВ:

а) A(3; 7) и B(1; 7); б) A(5;-5) и B(5; 7); в) A(4; 3) и B(8; 1); г) A(-2; 4) и B(6; -7).

4. Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении:

а) , А(3; 5), В(9; 8); б) , А(3; 5), В(9; 8); в) , А(7; 11), В(2; 1); г) , А(7; 11), В(2; 1).

5. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(3; 2), В(-1; -1) и С(11; -6).

6. Доказать, что треугольник с вершинами О(0; 0), А(3; 1) и В(1; 7) прямоугольный.

7. Найти координаты вершин квадрата, диагональ которого равна 6 единицам длины, точка пересечения диагоналей – в начале координат, диагонали лежат на осях координат.

Уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой

В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени относительно координат х и у

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Уравнение (10) называется общим уравнением прямой на плоскости, где - нормальный (перпендикулярный) вектор данной прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через точку М(х₀;у₀)перпендикулярно вектору , имеет вид

Если прямая проходит через точку М(х₀;у₀)параллельно вектору , то

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем являетсяпрямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О - началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают i и j(| i |=| j |=1, ). Систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой расположена

система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку Μ плоскости Оху. Вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки Μ в системе координат Оху называются координаты радиуса-вектора OM. Если OM=(x;y), то координаты точки Μ записывают так: М(х;у), число xназывается абсциссой точки М, у — ординатой точки Μ.

Эти два числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел x и y соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут М(r; φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (—π; π] (или 0

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами

Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -π

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (—π; π] (или 0

Требуется найти расстояние между точками и плоскости .

Решение:

Искомое расстояние равно длине вектора , т. е.

Деление отрезка в данном отношении

Требуется разделить отрезок , соединяющий точки и в заданном отношении , т. е. найти координаты точки отрезка такой, что (см. рис. 26).

Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка делит отрезок в отношении , если

Но , т. е. и , т. е. . Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

, т.е.

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при , т. е. если , то они примут вид . В этом случае точка является серединой отрезка .

Замечание: Если , то это означает, что точки и совпадают, если А Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника с вершинами , , .

Решение:

Опустим из вершин перпендикуляры на ось (см. рис. 27). Очевидно, что

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим , то это означает, что точки лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Требуется найти расстояние d между точками и плоскости Оху.

Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора , т.е.

Деление отрезка в данном отношении

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки и в заданном отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки отрезка АВ такой, что (см. рис. 26).

Решение: введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если

Но , т.е. и , т.е. . Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при , т.е. если АМ = МВ, то они примут вид ,

. В этом случае точка является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если , то это означает, что точки А и М совпадают, если , то точка М лежит вне отрезка АВ – говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом ( , т.к. в противном случае , т.е. , т.е. ).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами .

Решение: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры на ось (см. рис. 27). Очевидно, что

Замечание. Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка имеет координаты в старой системе координат Оху, т.е. . Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через , а в новой системе через (см. рис. 28).

Так как , то , т.е.

Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и y по известным новым и и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и то же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть М – произвольная точка плоскости, – ее координаты в старой системе и – в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями и (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + φ и φ, где φ – полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты произвольной точки М через новые координаты этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис.30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты и .

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того, чтобы установить лежит ли точка на данной линии достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример 10.1. Лежат ли точки и на линии ?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки K, получим . Следовательно, точка K лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т.к. .

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению системы двух линейных уравнений в двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

где х и у – координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки на плоскости.

Например, если , то значению параметра соответствует на плоскости точка (3;4), т.к. .

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) – параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида , надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки во второе уравнение легко получить уравнение ; или , т.е. вида . Однако, заметим, такой переход нецелесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t – скалярный переменный периметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (см. рис.31).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху соответствует два скалярных уравнения (10.1), т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линии – траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида .

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Расстояние между двумя точками. Требуется найти расстояние между точками и плоскости .

Искомое расстояние равно длине вектора , т.е.

. (3.4)

Деление отрезка в данном отношении. Пусть в некоторой декартовой системе координат заданы три точки: , , , причем точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении , т.е.

, или .

С учетом того, что координаты векторов

, ,

из последнего векторного равенства получим:

Отсюда найдем х, у:

(3.5)

– координаты точки М, делящей отрезок в данном отношении .

Если точка М – середина отрезка М₁М₂, то и координаты точки находят по формулам:

Замечание. Формулы (3.5) остаются справедливыми и для точек пространства, аналогичная формула записывается для координаты .

Пример 3. Даны точки и . Точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении 3:2. Найдите координаты точки .

Решение. По условию . Из формулы (3.5) следует:

Следовательно, координаты точки .

Площадь треугольника. Площадь треугольника с вершинами в точках, , плоскости вычисляется через определитель второго порядка, по формуле

. (3.6)

Эту формулу можно получить непосредственно по чертежу, а также из формулы , где – векторное произведение векторов и (третьи координаты векторов равны нулю).

Пример 4. Найти площадь треугольника с вершинами , .

Решение. Подставим в формулу (3.6) координаты точек , получим:

1.3. Преобразования системы координат

Преобразованием системы координат называют переход от одной системы координат в какую-либо другую.

Рассмотрим два случая преобразования прямоугольной системы координат: параллельный перенос и поворот.

Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

Параллельный перенос системы координат – это такое преобразование системы координат Оху в новую систему координат О’х’у’, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными (рис. 17).

Пусть – начало новой системы координат и точка имеет координаты (х₀; у₀) в старой системе координат .

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе через (х; у), а в новой системе через (х₁_;у₁);

Рассмотрим векторы , , .

По правилу сложения векторов имеем:

+ =

= .

(3.7)

Формулы (3.7) называются формулами перехода от старых координат (х; у) к новым . Они позволяют находить старые координаты по известным новым, и наоборот.

Поворот системы координат. Поворот системы координат – это такое преобразование системы координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система координат получена поворотом системы на угол (рис. 18).

Пусть М – произвольная точка плоскости; – ее координаты в старой системе ; – ее координаты в новой системе .

Введем две полярные системы координат с общим полюсом и полярными осями и . Пусть масштаб будет в них одинаков. Тогда полярный радиус в обеих системах будет также одинаков, а полярные углы соответственно равны и , где – полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:

Но так как и , то

(3.8)

Формулы (3.8) называются формулами поворота системы координат.

Если новая система координат получена из старой системы с помощью параллельного переноса координатных осей и поворота осей на угол (см. рис. 19), то, используя формулы (3.7) и (3.8), получим следующие формулы преобразования координат:

(3.9)

Читайте также: