Определение уравнение окружности кратко

Обновлено: 01.07.2024

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

Содержание

Другие определения

Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

$\pi$

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
Длина единичной полуокружности обозначается через .
Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей. — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Свойства

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.

Длину дуги окружности радиуса , образованной центральным углом , измеренным в радианах, можно вычислить по формуле .

Длину окружности с радиусом можно вычислить по формуле .

Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Основные формулы

$C = 2 \pi R = \pi D.$

$R = \frac<C> = \frac.$

$D = \frac<C> <\pi>= 2 R.$

Площадь круга радиуса R:

$S= \pi R^2 = \frac<\pi D^2> .$

Площадь сектора, ограниченного углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

$S= \pi R^2 \frac<\alpha> .$

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности углом α, хордой:

$S= \pi R^2 \frac<\alpha> -\frac.$

Уравнения

Декартовы координаты

Общее уравнение окружности записывается как:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0,\,$

$\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2,$

$2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt<A^2+B^2-4C> .$

Точка — центр окружности, — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

$x^2 + y^2 = R^2.\,$

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) и

$\begin x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end = 0.$

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

$y = y_0 \pm \sqrt<R^2 - (x - x_0 )^2> .$

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

$y = \pm \sqrt<R^2 - x^2 > .$

Полярные координаты

Окружность радиуса с центром в точке :

$\rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2.$

$\rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha,$

Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

$\rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leqslant \varphi \leqslant \alpha+\frac\pi 2.$

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

$\rho=R.\,$

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

$\left|z - z_0\right| = R\,$

или в параметрическом виде

$z=z_0 + Re^<it> ,\,t\in\R.\,$

Касательные и нормали

$\left(x_1,y_1\right)$

Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением

$\left(\frac +x_1\right)x + \left(\frac+y_1\right)y + \left(\fracx_1+\fracy_1+C\right) = 0.$

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

$\frac<x-x_1> = \frac.\,$

Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

$x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда и

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Диаметр окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.

$O\left(x_ Каноническое уравнение окружности с центром в точке ;\; y_ \right)$
и радиуса имеет вид (рис.1):

$\left(x-x_ \right)^ +\left(y-y_ \right)^ =R^ \ (1)$

Примеры решения задач

Задание	Составить уравнение окружности с центром в точке и радиуса .
Решение	Из координат заданной точки-центра делаем вывод, что

$x_ =1,\; y_ =-2$

Тогда уравнение (1) принимает вид:

+\left(y-\left(-2\right)\right)^ =2^" width="223" height="22" />
или +\left(y+2\right)^ =4" width="187" height="22" />

Задание

Проверить, принадлежит ли точка окружности $x^+\left(y-1\right)^ =3$
.

Решение

Если указанная окружность проходит через точку (то есть точка принадлежит заданной окружности $x^+\left(y-1\right)^ =3$
), то координаты точки удовлетворяют уравнению окружности, то есть при подстановке координат точки в уравнение $x^+\left(y-1\right)^ =3$
должны получить верное равенство:

$\left(-1\right)^ +\left(0-1\right)^ =3\Rightarrow 1+1=3\Rightarrow 2=3$

$x^ В результате подстановки тождество не получили, а, значит, делаем вывод, что точка не принадлежит окружности +\left(y-1\right)^ =3$

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Читайте также: