Определение отрезка в геометрии 7 класс кратко

Обновлено: 02.07.2024

В попугаях длина удава составляла 38 попугаев, в мартышках — 5 мартышек, а в слонёнках — только \(2\) слонёнка. Естественно, удаву больше нравилось то, что в попугаях он длиннее. Значит, в измерении очень важно выбрать единицу измерения.

Если мы хотим измерять несколько объектов и сравнивать результаты измерения, то очень важно измерить эти объекты в одинаковых единицах.

Если нужно измерить длину двух удавов, то обоих надо мерить или в попугаях, или в мартышках, или в слонёнках.

Измеряя объект, мы узнаём, насколько измеряемый объект больше (или меньше) единицы измерения. Может оказаться, что принятая единица измерения не укладывается целое число раз в измеряемый объект. Тогда единицу измерения делят на части, а части можно продолжать делить на меньшие части для получения более точного результата. Результат в зависимости от ситуации также можно округлить и использовать приближённо.

Продолжая рассказ об измерении удава, вспомним, что точный результат измерения в попугаях был следующим: 38 попугаев и одно крылышко — но было принято решение результат округлить до целых единиц.

Для измерения отрезка чаще всего как инструмент измерения используют линейку (линейки бывают очень разные — как для очень мелких измерений, так и для крупных).

Очень часто используемые единицы измерения: \(1\) \(км\), \(1\) \(м\), \(1\) \(дм\), \(1\) \(см\), \(1\) \(мм\).

В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляет отрезок, перечислим его основные свойства, а также приведем возможные варианты расположения двух отрезков по отношению друг к другу на плоскости.

Определение отрезка

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками на ней.

У отрезка есть начало и конец, а расстояние между ними называется его длиной.

Обычно отрезок обозначается двумя большими латинским буквами, которые соответствуют точкам на прямой (или его концам), причем неважно в каком порядке. Например, AB или BA (эти отрезки совпадают).

Если же порядок важен, то такой отрезок называется направленным. В этом случае отрезки AB и BA не совпадают.

Средина отрезка – это точка (в нашем случае – C), которая делит его пополам или

Взаимное расположение отрезков

Два отрезка на плоскости, как и прямые, могут быть:

Примечание: в отличие от прямых, два отрезка могут быть не параллельным, и при этом не пересекаться.

Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная точками, вместе с этими точками.

Концы отрезка – это точки, ограничивающие отрезок.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

С этих слов мы и начнём изучать новый раздел математики, который называется геометрия.

Геометрические сведения стали доказываться только благодаря древнегреческому учёному Фалесу, который жил в VI веке до нашей эры.

Сегодня геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

В школе изучается два курса геометрии – планиметрия, в ней рассматриваются свойства фигур на плоскости, и стереометрия, в ней рассматриваются свойства фигур в пространстве.

В каждой науке есть свои термины, понятия, геометрия не исключение. В геометрии есть основные положения, которые принимаются в качестве исходных и носят название аксиом и основные понятия, определение которым не даётся, например, точка и прямая, но их свойства выражены в аксиомах. Это всё является фундаментом геометрии, на котором строятся другие понятия и доказываются теоремы.

Рассмотрим некоторые из аксиом.

1. Аксиомы принадлежности.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

2. Аксиомы расположения.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Аксиомы измерения.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

В целом аксиомы разделены на 5 групп, 3 из которых, частично, представлены вашему вниманию.

В 7 классе вы будете изучать планиметрию. Давайте перечислим некоторые понятия из этого раздела геометрии. Поговорим о точках, прямых, отрезках, вспомним, как они обозначаются.

Обычно прямую обозначают малой латинской буквой (например, a), а точки большими латинскими буквами, например, A.

Если на прямой отметить точки, например, A и B, то прямую в можно обозначить двумя заглавными буквами AB или BA.

Часть прямой, ограниченной точками, включая эти точки, называют отрезком. В нашем случае получаем отрезок AB или BA.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. В нашем случае концами отрезка являются точки A и B.

Варианты взаимного расположения точек и прямой: точки могут лежать на прямой или не лежать на ней.

Например, точки A и B лежат на прямой a, точки C и D не лежат на прямой a. При этом в записи используют следующее обозначение:

При этом через точки А и В нельзя провести прямую, не совпадающую с прямой а, из этого делаем вывод, что через любые две точки можно провести только одну прямую.

Рассмотрим, как располагаются прямые на плоскости.

Прямые могут иметь только одну общую точку, тогда говорят, что прямые пересекаются или не иметь общих точек, тогда говорят, что прямые не пересекаются.

прямые пересекаются – прямые не пересекаются

Решим задачу. Построим с помощью линейки отрезок длиннее, чем она сама. Приём, который мы будем использовать, называется провешиванием прямой.

Рассмотрим, в чём он заключается. Для этого приложим к листу бумаги линейку и отметим три точки А, В, С, при этом, точка С пусть лежит между точками А и В. Далее передвинем линейку так, чтобы её конец оказался около точки С, отметим точку D. Все построенные точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Теперь проведём отрезок АВ, потом отрезок ВD, в результате получим отрезок АD длиннее, чем линейка.

Для построения на местности отмечают две точки, например, А и В, ставят в них шесты (вехи), третий шест ставят в точку С так, чтобы её закрывали уже ранее поставленные шесты.

Так можно прокладывать линии высоковольтных передач, трассы и т. д.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Сколько отрезков образуется при пересечении прямых на рисунке?

Посмотрите на рисунок. На нём изображены 4 пересекающиеся прямые, точки пересечения разбивают прямые на отрезки: прямая с разбивается на 3 отрезка АЕ, АВ, ЕВ. Аналогично все прямые разбиваются на 3 отрезка. В результате получаем, что каждая из четырёх прямых, разбивается точками пересечения на 3 отрезка, значит: 4 · 3 = 12

2. Выберите правильные варианты ответа. С чем пересекается прямая m?

Решение: при выполнении задания, нужно помнить, что прямая бесконечно продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен точками, поэтому, если продолжить прямую m и n, то становится понятно, что они пересекутся между собой. Кроме того, прямая m пересечётся и с отрезком АВ. Следовательно, получается 2 ответа: прямая m пересекается с прямой n и отрезком АВ.

Ответ: прямая m пересекается с прямой n; прямая m пересекается с отрезком АВ.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Запомните!

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

(·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
(·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
(·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
(·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .

Решение задачи

Обозначим её буквой a .

Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .

Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

(·)A ∈ a
(·)B ∈ a
(·)P ∉ a
(·)Q ∉ a
(·)R ∉ a

Как обозначается пересечение прямых

На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:

Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Запомните!

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Запомните!

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .

Третий случай расположения прямых

Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .

Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .

В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .

Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .

Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Запомните!

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .

Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Читайте также: