Обратная функция это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.

$\begin y = 2x - 6\\ \begin> x&\vline& 0&\vline& 3\\ \hline y&\vline& < - 6>&\vline& 0 \end \end$

$\begin y = 0,5x + 3\\ \begin> x&\vline& 0&\vline& < - 6>\\ \hline y&\vline& 3&\vline& 0 \end \end$

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

$<y^2> = x, \Rightarrow y = \pm \sqrt x .$

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

1 комментарий

Для физических задач говорить об обратной функции, думаю, можно лишь для безразмерных у и х. При различии их размерностей, значит, и осей их графиков, надо для обратной функции поворачивать и оси.
Тогда лучше говорить о выражении аргумента х в явном виде, не упоминая об обратной функции. Значит, надо функцию у=ах/С+в, где х и С имеют, например, одинаковую размерность (например, кг), представить в виде уравнения ах/С+в-у=0. Из него можно выразить в явном виде у или х. Тогда либо у, либо х надо будет считать функцией с собственной координатной осью с собственной размерностью. При этом ось функции обычно является вертикальной.
Вопрос: можно ли считать выраженные в явном виде функции у и х обратными?

Обратной называется такая функция, для которой каждое ее значение (переменная y) определяется одним значением независимой переменной x из некоторого заданного множества X.

В алгебре принято следующее обозначение обратной функции: f - 1 ( x ) .

Отметим, что не всякая функция является обратимой. Например, к квадратичной зависимости типа y = x 2 невозможно найти обратную функцию, так как два значения независимой переменной x задают одно значение переменной y.

Если теперь ограничить множество возможных значений аргумента интервалом [0; +∞), обратной функцией к исходной параболе станет функция вида y = x . Существование обратной функции стало возможным, поскольку теперь аргумент может принимать только положительные значения.

Сформулируем необходимое условие обратимости функции.

К функции f(x) можно найти обратную тогда и только тогда, когда соблюдено каждое из представленных условий:

f(x) — непрерывно возрастающая или убывающая на заданной области допустимых значений X;
одно значение переменной x задает только одно значение переменной y.

Как получить функцию, обратную данной

Укажем необходимые для нахождения обратной функции операции:

Свойства обратной функции

Приведем основные свойства обратной функции, используемые при решении задач и построении графиков:

Поскольку можно считать, что обратная функция отображает зависимость переменной x от y, область значений f - 1 ( x ) — это область допустимых значений (область определения) исходной функции, а область определения, напротив, — область значений исходной функции. То есть: E ( f - 1 ( x ) ) = D ( f ( x ) ) и D ( f - 1 ( x ) ) = E ( f ( x ) ) .
Функции f ( x ) и f - 1 ( x ) — взаимно обратные, то есть f - 1 ( x ) — обратная к f(x), а f(x) — обратная к f - 1 ( x ) .
При графическом представлении f(x) и f - 1 ( x ) окажутся симметричными. Осью симметрии будет являться прямая y=x.

Теоремы об обратной функции

Как было отмечено, функция обратима, если она монотонна на заданном интервале.

Докажем теорему об обратной функции.

Обратная функция f - 1 ( x ) существует для заданной функции f(x) тогда, когда функция f(x) является монотонно возрастающей или монотонно убывающей на некотором множестве значений X.

Доказательство теоремы: пусть на области X выбраны такие значения, что x1≠x2 и x1 f(x2). Каждое возможное значение переменной x задает одно значение переменной y, и f(x) непрерывно убывает на заданном интервале. Соблюдены все условия обратимости, а значит, функция y=f(x) обратима на множестве X, что и требовалось доказать.

Обратимая функция f(x) может быть монотонно возрастающей или же монотонно убывающей на определенном промежутке. Сформулируем и докажем теорему о монотонности обратной функции f - 1 ( x ) .

Пусть имеется функция f(x), непрерывно возрастающая (убывающая) на некотором множестве X, при этом существует обратная к f(x) функция f - 1 ( x ) . Тогда f - 1 ( x ) — монотонно возрастающая (убывающая) на некоторой области Y, где Y — область значений f(x).

Доказательство: допустим, f(x) убывает на множестве X. Возьмем две точки из множества X такие, что x1≠x2 и x1 y2. По свойству обратной функции значение переменной y — это область определения исходной функции, тогда получим: f - 1 ( y 1 ) > f - 1 ( y 2 ) . Обратная функция непрерывно убывает на области Y, что и требовалось доказать.

Примеры задач

Определить, является ли функция y=f(x)=10x-4 обратимой, указать обратную к f(x) функцию. Построить графики f(x) и f - 1 ( x ) .

На построенных графиков видно одно из свойств обратных функций — симметричность графиков f(x) и f - 1 (x) относительно прямой y=x.

Дана функция y = f ( x ) = x 2 + 4 . Определить, является данная функция обратимой на D(f(x)). Определить обратную функцию к y=f(x).

Функция f(x) — парабола, область определения которой D (f(x))=R. В случае квадратичных функций одному значению функции соответствует пара значений переменной x из множества D(f(x)). Поскольку не выполняется необходимое условие обратимости, функция y = f ( x ) = x 2 + 4 не имеет обратной.

Доказать, что функция y = f ( x ) = x обратима на множестве [0; +∞). Указать обратную к исходной функцию.

На заданной области исходная функция непрерывно возрастает. Любое из значений x ∈ [ 0 ; + ∞ ) определяет одно значение функции, то есть функция обратима.

Выразим x через y: x = y 2 . Поменяем переменные местами: y = x 2 . Получили параболу. Обратная функция к f(x) – ветвь параболы y = x 2 в области положительных чисел.

Допустим, что у нас есть некая функция y = f ( x ) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g ( y ) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f ( x ) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g ( y ) тогда, когда y = f ( x ) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y = f ( x ) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Нахождение взаимно обратных функций

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos ( x ) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .

Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y = log 2 x .

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f ( x ) и x = g ( y ) , являющихся взаимно обратными.

Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f ( g ( y ) ) и x = g ( f ( x ) ) .
Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f ( x ) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g ( y ) , и наоборот.
Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
Если y = f ( x ) является возрастающей, то и x = g ( y ) будет возрастать, а если y = f ( x ) убывает, то убывает и x = g ( y ) .

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f ( x ) = a x и x = g ( y ) = log a y . Согласно первому свойству, y = f ( g ( y ) ) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .

А вот равенство x = f ( g ( x ) ) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin ( a r c sin x ) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin ( sin x ) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .

Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:

Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси O y на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π 2 ; 3 π 2 , то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

Определение обратной функции и ее свойства: теорема о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи.

Определение и свойства

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Теорема о существовании и монотонности обратной функции
Если функция f строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство

Свойство симметрии графиков прямой и обратной функций
Пусть функция f ( x ) определена на некотором множестве X , и имеет множество значений Y : f ( X ) ∈ Y . И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f -1 : f -1 ( Y ) ∈ X . Тогда графики прямой и обратной f –1 функций, построенные при значениях их аргументов x ∈ X и x ∈ Y , соответственно, симметричны относительно прямой .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей: .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале
Пусть функция непрерывна и строго монотонна на полуинтервале X . Тогда на полуинтервале Y определена, строго монотонна и непрерывна обратная функция .
Если строго возрастает, то также строго возрастает. При этом:
если , то ;
если , то .
Если строго убывает, то также строго убывает. При этом:
если , то ;
если , то .
Здесь . Открытый конец интервала может быть конечным числом или бесконечно удаленной точкой.
Доказательство

Примеры обратных функций

Арксинус

Рассмотрим тригонометрическую функцию синус: . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от –1 до +1 . Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .

Логарифм

Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .

Квадратный корень

Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .

Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n

Все примеры Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n .

Рассмотрим функцию от переменной x :
(П1) .

Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности, покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.

Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа , связанные неравенствами:
, , .
Нам нужно показать, что . Введем переменные . Тогда . Поскольку , то из (П2) видно, что . Или
.
Строгое возрастание доказано.

Найдем множество значений функции при .
В точке , .
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли. При имеем:
.
Поскольку , то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, , .

Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция . То есть для любого существует единственное , удовлетворяющее уравнению . Поскольку у нас , то это означает, что для любого , уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n из числа x :
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Читайте также: