Необходимые и достаточные условия в математике российская электронная школа

Обновлено: 02.07.2024

Использование букв для обозначения чисел. Применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий.

Множество целых и множество рациональных чисел. Изображение чисел на числовой прямой. Сравнение чисел. Противоположные числа. Часть 1 (теория).

Множество целых и множество рациональных чисел. Изображение чисел на числовой прямой. Сравнение чисел. Противоположные числа. Часть 2 (разбор задач).

Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением вычитания, как алгебраического сложения. Часть 1 (теория)

Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением вычитания, как алгебраического сложения. Часть 2 (разбор задач)

Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением деления, как алгебраического умножения. Часть 1 (теория)

Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением деления, как алгебраического умножения. Часть 2 (разбор задач)

Рациональные вычисления выражений, содержащих степени, с помощью дистрибутивности умножения относительно сложения. Часть 1.

Рациональные вычисления выражений, содержащих степени, с помощью дистрибутивности умножения относительно сложения. Часть 2

Зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; производительность, время, работа; цена, количество, стоимость

Проценты. Вычисление процентов от числа и числа по известному проценту, выражение отношения в процентах.

Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной. Левая и правая части равенств.

Простейшие системы от одной переменной как операции с числовыми множествами. Графическая интерпретация

Простейшие совокупности от одной переменной как операции с числовыми множествами. Графическая интерпретация.

Множества и отношения между ними. Множество, характеристическое свойство множества, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество

Подмножество. Отношение принадлежности, включения, равенства. Элементы множества, способы задания множеств, распознавание подмножеств и элементов подмножеств с использованием кругов Эйлера

Операции над множествами. Пересечение и объединение множеств. Разность множеств, дополнение множества, Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера. Часть 1

Цель занятия – максимально закрепить навык определения необходимых и достаточных условий в истинных утверждениях.

План занятия:

1. Орг.момент. Вступительное слово учителя. (3 мин.)
2. Повторение теоретического материала. (3 мин.)
3. Выполнение упражнений. (35 мин.)

I блок (10 мин.)
II блок (10 мин.)
III блок (15 мин.)

4. Подведение итогов занятия. (4 мин.)

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Технология: эвристическое обучение.

1. Оргмомент. Вступительное слово учителя (3 мин.)

2. Повторение теоретического материала (3 мин.)

Повторить: структуру теоремы; виды утверждений (прямое, обратное, противоположное, обратное к противоположному); определение необходимого и достаточного условий.

3. Выполнение упражнений (35 мин.)

Теперь перейдем к практике. Будем работать не только с мат.теоремами, но и с утверждениями из различных областей науки и повседневной жизни.

1) Для того, чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2.
Не достаточное условие (Например, 14 делится на 2, но не делится на 6)

3) Для прекращения реакции хлора и водорода достаточно устранить источник света.
Не необходимое условие (Например, можно прекратить подачу реагента)

4) Для того, чтобы магнитное поле было однородным, необходимо, чтобы во всех его точках магнитная индукция была одинакова.
Достаточное условие (Обратное тоже истинно)
Сформулируйте данное утверждение так, чтобы в формулировке это было отражено. Сформулируйте утверждения-синонимы

5) Для обретения славы великого просветителя М.В.Ломоносову было достаточно основать Московский университет.

Не необходимое условие (Например, он является автором множества трудов о русском языке: "Российская Грамматика" (1755-1757), "Рассуждение о пользе книги церковных в российском языке" (1757) и "Письмо о правилах российского стихотворства" и др.)

6) Для того, чтобы оставить о себе память в веках, Герострату достаточно было сжечь храм Артемиды Эфесской.
Не необходимое условие (Например, мог бы создать что-либо)

7) Для того, чтобы гражданин России осуществил свое право голосовать на выборах, необходимо, чтобы ему исполнилось 18 лет.
Не достаточное условие (Например, гражданин не должен иметь психических заболеваний )

8) В 2012 г. на ЕГЭ по математике для преодоления минимального порога выпускнику достаточно набрать 5 первичных баллов.
Необходимое условие (Сформулируйте данное утверждение так, чтобы в формулировке это было отражено. Сформулируйте утверждения-синонимы)

Задание 2. Известно, что утверждение А => В истинно.
Выделите в нем необходимое и достаточное условия.
(Смысл некоторых утверждений учащимся пока что будет не понятен. Смысл в данном случае – это последнее, на что нужно обращать внимание! Основное то, что все утверждения ИСТИННЫ).

1) Если точка x₀ – точка экстремума функции, то значение производной данной функции в этой точке равно 0.
2) Если амплитуда и частота вынужденных колебаний перестали меняться, то колебания установились.
3) Алкены обесцвечивают бромную воду. (Если органическое соединение – алкен, то оно обесцвечивает бромную воду)
4) Противогаз не защищает от угарного газа. (Если средство индивидуальной защиты – противогаз, то оно не защищает от СО)
5) Произведения А. Блока созданы в эпоху модернизма. (Если автор произведений – А. Блок, то эти произведения созданы в эпоху модернизма)
6) В государстве с демократическим строем существует многопартийная система (Если в государстве демократический строй, то в нем существует многопартийная система)

Задание № 3. Для каждого из условий выясните, является ли оно необходимым, и является ли оно достаточным, чтобы выполнялось неравенство

План выполнения данного задания

1) решить неравенство; 2) ответить на вопрос задачи.

Ход решения неравенства (5 мин.)

1) Уч-ся самостоятельно начинают решать неравенство.
2) Ученик 1 записывает на доске корни числителя и корни знаменателя. (Подчеркнуть корни четной кратности!)
3) Ученик 2 делает рисунок и доводит решение неравенства до конца, комментируя его.

Ход работы над второй частью задания (10 мин.)

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Конспект урока. Тема урока. Необходимые и достаточные условия в математике. Тип урока. Урок изучения нового учебного материала. Цель урока. Учащиеся должны знать Необходимые и Достаточные условия и применять их при доказательстве теорем и решении задач.

Структура урока. Актуализация знаний. Введение Необходимых и Достаточных условий. Узнавание Необходимых и Достаточных условий в примерах. Решение задач на Необходимые и Достаточные условия. Подведение итогов. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Актуализация. Каждая теорема содержит условие и заключение. Правда, эти части теоремы не всегда бывают отчетливо выделены. Например: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Очень важно уметь выделять условия и заключения, т.е. представить теорему в виде: Если А (условие), то В (заключение). В нашем примере: Если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Выделите в следующих теоремах условие и заключение: Вертикальные углы равны В прямоугольнике диагонали равны Синусы равных углов равны Косинусы смежных углов отличаются только знаком Разность двух чисел, умноженная на их сумму, равна разности квадратов этих чисел Сумма смежных углов равна 180 градусов Параллелограмм имеет центр симметрии Повторить признаки и свойства параллелограмма.

Найдите Необходимые Условия параллелограмма АВСД: Методика выполнения такая: составь теорему установи, истинна она или нет если истинна, то соответствующее заключение есть Необходимые Условия параллелограмма. Если теорема ложная, то заключение не является Необходимым Условием. М – центр симметрии СД = АВ ВД = АС ∠ А= ∠ В ∠ А= ∠ С Δ АВС= Δ АДС ∠ А= ∠ Д ∠ А+ ∠ Д=180° МА = МС, МВ = МД

Свойства и признаки параллелограмма. Если четырёхугольник – параллелограмм, то Четырёхугольник – параллелограмм, если противоположные стороны попарно равны противоположные углы попарно равны диагонали точкой пересечения делятся пополам две противоположные стороны равны и параллельны

Упражнения на доказательство

Подведение итогов урока. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Рассмотрим решение некоторых заданий.

Об актуальных изменениях в КС узнаете, став участником программы, разработанной совместно с АО "Сбербанк-АСТ". Слушателям, успешно освоившим программу выдаются удостоверения установленного образца.

Программа разработана совместно с АО "Сбербанк-АСТ". Слушателям, успешно освоившим программу, выдаются удостоверения установленного образца.

Продукты и услуги Информационно-правовое обеспечение ПРАЙМ Документы ленты ПРАЙМ Методические рекомендации по использованию информационно-образовательной среды "Российская электронная школа" в общеобразовательных организациях в условиях дистанционного обучения

Обзор документа

Методические рекомендации по использованию информационно-образовательной среды "Российская электронная школа" в общеобразовательных организациях в условиях дистанционного обучения

"Российская электронная школа" представляет собой завершенный курс интерактивных видеоуроков по всей совокупности общеобразовательных учебных предметов (более 30 основных предметов), разработанных в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами начального общего, основного общего и среднего общего образования и с учетом примерных основных образовательных программ.

Интерактивные видеоуроки 2-11 классов представляют из себя набор из 5 модулей (мотивационный, объясняющий, тренировочный, контрольный, дополнительный), в уроках 1 класса контрольный модуль отсутствует.

"Российская электронная школа" представляет собой завершенный курс интерактивных видеоуроков (31 рабочая программа и более 6000 интерактивных видеоуроков) по всей совокупности общеобразовательных учебных предметов, разработанных лучшими учителями России в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами начального общего, основного общего и среднего общего образования и с учетом примерных основных образовательных программ.

Каждый урок состоит из 5 модулей (мотивационный, объясняющий, тренировочный, контрольный, дополнительный).

Мотивационный модуль ("Начнём урок") направлен на вовлечение обучающегося в учебную деятельность, введение в тематику урока. Главная задача этого модуля - активизация внимания обучающегося и пробуждения интереса к теме урока.

Объясняющий модуль ("Основная часть") направлен на объяснение нового материала по теме урока (видео, анимационный ролик или интерактивный элемент, предназначенный для изучения, раскрывают основную тему урока). Главная задача этого модуля - предоставить учащемуся учебное содержание по теме в интерактивной аудиовизуальной форме.

Один из основных элементов уроков - видеоролик, который визуализирует модели и явления как в технических, так и в гуманитарных направлениях. В объясняющем модуле разбираются примеры тестовых и контрольных заданий. Используемые в уроках интерактивные элементы позволяют взаимодействовать с информацией в режиме реального времени. К каждому уроку прилагается конспект теоретической части.

Тренировочный модуль ("Тренировочные задания") направлен на закрепление основного содержания, осознание специфики изучаемой темы, расширение знаний по предмету, формирование умений работать с дополнительными и справочными источниками, дополнительное изучение и закрепление сложного учебного материала. Главная задача этого модуля - формирование умений применять полученные знания на практике, в том числе в исследовательской деятельности. Обязательными элементами модуля являются лабораторные и практические работы, 3-д модели, интерактивные задачи.

Контрольный модуль ("Контрольные задания") направлен на осуществление контроля результатов обучения, в том числе умений применять полученные знания в практической деятельности.

Дополнительный модуль направлен на расширение знаний и умений учащегося и предоставляет дополнительные материалы, связанные с темой урока, а также прилагается тезаурус, список литературы и интернет-ресурсов, рекомендованных к изучению.

Весь контент на портале РЭШ в свободном доступе, задания контрольного модуля доступны после свободной авторизации в одной из трех ролей: ученик, учитель и родитель.

Также на портале РЭШ доступны модули и сервисы образовательной среды. Пользователи после авторизации получают доступ в личные кабинеты, в которых в зависимости от роли представляется возможность использования функций:

- ученик: привязка к учителю, самостоятельное составление расписания, прохождение уроков, добавление уроков в категорию "Избранное", решение заданий контрольного модуля, отображение результатов прохождения заданий в дневнике.

- учитель: привязка учеников, формирование групп учащихся, составление расписания учащимся, прохождение уроков, назначение/оценивание домашнего задания (вопросов в свободном виде, которые также можно использовать для написания учениками работ по выбранной учителем теме), добавление уроков в категорию "Избранное".

- родитель: привязка детей, прохождение уроков, добавление уроков в категорию "Избранное", решение заданий контрольного модуля.

Кроме интерактивных видеоуроков на портале РЭШ представлены материалы других образовательных проектов ("Киноуроки в школах России", "Шахматы", видеоэкскурсии и видеолекции Президентской библиотеки имени Б.Н. Ельцина), а также собраны ссылки на материалы Минкультуры России: каталоги музеев, театральных постановок, фильмов и концертов.

Инструкция по работе с открытым информационно-образовательным порталом "Российская электронная школа"

Для регистрации на портале РЭШ обязательно укажите Вашу роль (ученик/родитель/учитель), фамилию и имя, адрес электронной почты, дату рождения, придумайте пароль. Также необходимо указать место проживания и Вашу образовательную организацию (школу). В случае отсутствия Вашей образовательной организации в списке, необходимо обратиться с соответствующим запросом в службу поддержки, нажав кнопку "Добавить образовательную организацию".

Также Вы можете указать отчество и пол. Для пользователей, выбравших роль "ученик", - класс.

Приняв условия Соглашения об обработке персональных данных, нажмите кнопку "Поступить в школу". На электронную почту придет письмо о подтверждении регистрации.

Для авторизации Вы можете воспользоваться аккаунтами в социальных сетях Вконтакте, Facebook. В этом случае портал РЭШ автоматически заполнит некоторые поля регистрационной анкеты, указанные в профиле соответствующей социальной сети. Заполнить оставшиеся пункты нужно будет вручную.

Если Вы забыли пароль для входа в учетную запись, воспользуйтесь формой восстановления пароля, нажав на ссылку "Я забыл пароль". На указанную при регистрации электронную почту придет письмо-инструкция.

При успешной авторизации Вы попадаете на главную страницу Личного кабинета.

2. Личный кабинет ученика

Начало работы

Вверху экрана располагается основное меню Личного кабинета, содержащее разделы: "Расписание", "Учителя", "Задания", "Дневник", "Достижения", "Уведомления", "Избранное", "Заметки".

Слева на странице размещена информация пользователя: фото, фамилия и имя, адрес школы, класс, возраст пользователя, дата рождения.

Для внесения изменений в личные данные, в контактную информацию, для добавления/изменения фотографии нажмите "Редактировать профиль".

Для изменения пароля, электронной почты, редактирования отображения виджетов "Активность", "Моя статистика" нажмите "Настройки".

После прохождения по ссылке, в личном кабинете ученика появится запись о родителе (родителях).

Справа на странице размещен раздел "Активность", в котором отображается информация об основных действиях ученика, например: "Зарегистрировался", "Посмотрел видео", "Пройден тренажер по уроку" и другие.

Расписание занятий

Для создания курса необходимо нажать кнопку , в результате чего открывается форма:

Данная форма предполагает выбор одного из двух вариантов курса:

1. Стандартный курс.

При указании класса система создаёт курс обучения, включающий все уроки по всем предметам соответствующего класса. Также может быть указан второй иностранный язык (для всех классов, кроме 1 класса), который будет включен в расписание данного курса.

2. Индивидуальный курс.

Для создания индивидуального курса необходимо указать название курса в поле "Учебный курс", выбрать параметры модуля: количество уроков в день, предмет, класс, уроки курса.

После заполнения формы создания курса, необходимо нажать кнопку "Сохранить". Курс и расписание будут созданы и появятся на странице раздела "Расписание".

Временной диапазон позволяет посмотреть расписание на интересующую неделю. Нажмите стрелочку "Вправо" или "Влево" для просмотра занятий в другие даты.

Расписание представлено в виде таблицы.

В формате отображения расписания на неделю таблица представляет собой набор учебных дней.

Каждая ячейка содержит дату, перечень предметов, которые запланированы на указанную дату, номера уроков по ним.

При нажатии на выбранный урок Вы перейдете на страницу урока.

Дневник

Дневник позволяет следить за успеваемостью обучающегося. Здесь можно получить информацию об уже пройденных уроках и результатах прохождения тренировочных упражнений и задач.

Выберете интересующий Вас предмет в верхнем выпадающем списке и ознакомьтесь со статистикой по предметам, темам, урокам, результатам проверки уровня знаний.

Достижения

Раздел "Достижения" содержит статистическую информацию об успеваемости ученика в разрезе курса и предметов.

Раздел "Статистика курса" содержит информацию о количестве выполненных уроков/пройденных тестовых заданий/среднему баллу по результатам тестов в рамках предмета/уровень прохождения курса РЭШ (в процентах).

Выберете интересующий Вас предмет в верхнем выпадающем списке и ознакомьтесь со статистикой по темам, урокам, которые предстоит пройти ученику до окончания обучения.

Нажмите и Вы увидите дополнительную информацию: класс/тему урока/результат/дата лучшего результата/тип пройденных заданий/результат/статус урока.

Уведомления

В разделе отображаются актуальные оповещения, уведомления, напоминания, календарные заметки, события.

Избранное

В разделе находятся интерактивные уроки, которые добавлены в "Избранное" с помощью соответствующей иконки под видео.

Для быстрого поиска или удобного просмотра предусмотрены фильтры по классу и предмету. Можно использовать как один фильтр, так и сочетание обоих фильтров.

Заметки

В разделе находятся записи, ссылки, пометки, интересная и полезная информация, которую ученик хочет сохранить.

В окне "Заметка" пишется материал заметки. Атрибут "Привязка к уроку" позволяет привязать информацию к нужному уроку. После нажатия кнопки "Добавить заметку" создается заметка с указанием даты её создания, текстом заметки и ссылкой на выбранный урок.

3. Личный кабинет учителя

Начало работы

Вверху экрана располагается основное меню Личного кабинета, содержащее разделы: "Расписание", "Ученики", "Задания", "Уведомления", "Избранное", "Заметки".

Слева на странице размещена информация пользователя: фото, фамилия и имя, дата рождения.

Для внесения изменений в личные данные, в контактную информацию, для добавления/изменения фотографии, нажмите "Редактировать профиль".

Для изменения пароля, электронной почты, редактирования отображения виджетов "Активность", "Моя статистика", а также для добавления выбранных вузов и специальностей, нажмите кнопку "Настройки".

Ученики

Для подтверждения привязки ученика необходимо зайти в раздел "Ученики" в таблице "Список всех привязанных учеников" выделить соответствующих учеников в статусе "Ожидается подтверждение" и нажать кнопку "Подтвердить"

После этого, как привязка учеников будет подтверждена.

Задания

Раздел "Задания" позволяет назначать привязанным ученикам задания.

При нажатии кнопки "Добавить задание" открывается форма для выбора задания и назначения его ученику.

После заполнения формы и нажатия кнопки "Сохранить и опубликовать" указанный ученик получит задание для выполнения.

4. Личный кабинет родителя

Начало работы

Вверху экрана располагается основное меню Личного кабинета, содержащее разделы: "Дети", "Уведомления", "Избранное", "Заметки".

При нажатии кнопки "Привязать учетную запись ребёнка" появляется диалоговое окно, в котором необходимо выбрать способ привязки: "Зарегистрировать" или "Привязать".

При выборе способа привязки "Зарегистрировать" открывается форма регистрации, в которую необходимо внести данные Вашего ребёнка и нажать кнопку "Добавить учетную запись".

Открывается форма, в которую необходимо внести логин или адрес электронной почты Вашего ребёнка и нажать кнопку "Привязать".

После того, как привязка будет подтверждена, Вы сможете в режиме реального времени наблюдать за успехами Ваших детей на портале "Российская электронная школа".

5. Быстрый поиск по сайту

Для удобства пользователей разработан универсальный расширенный поиск.

Для быстрого поиска предусмотрена конкретизация поискового запроса. Для этого используется выпадающее меню.

Выбрав категорию для поиска, система предложит Вам ввести поисковый запрос

Результаты поиска формируются на отдельной странице.

В левом блоке можно уточнить запрос и сузить выдачу.

Обзор документа

Минпросвещения выпустило рекомендации по использованию в школах сервиса "Российская электронная школа" в условиях дистанционного обучения. Данный сервис представляет собой завершенный курс интерактивных видеоуроков по всей совокупности учебных предметов.

Разъяснен порядок регистрации на портале и работы с личным кабинетом ученика.

Для просмотра актуального текста документа и получения полной информации о вступлении в силу, изменениях и порядке применения документа, воспользуйтесь поиском в Интернет-версии системы ГАРАНТ:

Предикат является истинным для всех тогда и только тогда, когда множество истинности предиката содержится в множестве истинности предиката , т.е. предикат является следствием предиката . При этом предикат называют необходимым условием для предиката , а предикат — достаточным условием для .

Пример. Рассмотрим утверждение: “Если число делится на 6, то число делится на 3”. Здесь предикат : “Число делится на 6”, а предикат : “Число делится на 3”. Предикат логически следует из предиката . Предикат (делимость числа на 6) является достаточным условием для предиката (делимость числа на 3). Предикат (делимость числа на 3) является необходимым условием для предиката (делимость числа на 6).

Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы

$\begin</p> <p> \forall x\in E\ (P(x)\to Q(x));\\ \forall x\in E\ (Q(x)\to P(x)). \end$

Это возможно при условии, что предикаты и равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие является достаточным для , а из второй теоремы следует, что условие является необходимым для . Таким образом, в этом случае условие является и необходимым, и достаточным условием для . Аналогично, условие является необходимым и достаточным для .

Пример. Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.

Триггер

Задача. В электронной схеме на вход подаются значения 0 и 0 . Что будет на выходе?

Значения на выходе не зависят от входных значений , они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение , то оно и останется, а если , то и будет . Если же на левый вход подадим , то на выходе получим независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход , то на выходе будет .

Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход . хранится в памяти — на обоих входах — . Очистка памяти — подача на левый вход.

Задачи.

1. Запишите на языке предикатов определения:

1) ограниченной функции (функция называется ограниченной на множестве , если существует такое неотрицательное число , что для всех справедливо неравенство );

2) четной функции (функция называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого из области определения справедливо равенство ;

3) периодической функции (функция называется периодической, если существует такое число , что при любом из области определения элементы и также принадлежат этой области, и при этом выполнено равенство ;

4) возрастающей функции на множестве (функция называется возрастающей на множестве , если для любых чисел и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство ).

2. Пользуясь полученными в задаче 1 формулами ответьте на вопросы. Что значит:

1) Функция не является ограниченной?

2) Функция не является четной?

3) Функция не является периодической?

4) Функция не является возрастающей на множестве ?

3. Докажите несправедливость утверждений:

1) Если функция непрерывна в точке , то она и дифференцируема в этой точке.

2) Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.

3) Если числовая последовательность имеет предел, то она монотонна.

4. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство

1) ;

2) ;

3) ;

4) и ;

5) и ;

6) .

5. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова “необходимо, но недостаточно” или “достаточно, но не необходимо” или же “не необходимо и недостаточно”, а где возможно “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное утверждение:

1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным , чтобы длины его диагоналей были равны.

2) Для того, чтобы , чтобы .

3) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным числом, \ldots , чтобы каждое слагаемое было четным.

4) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, , чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

5) Для того, чтобы множество было счетным, , чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности.

6) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была ограниченной.

7) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была монотонна и ограниченна.

6. Сформулируйте:

1) Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

2) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

3) Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

4) Необходимое, но недостаточное условие того, чтобы уравнение имело решение.

5) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело решения.

6) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело вещественные корни.

7. Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в
лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля. — Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.”

Читайте также: