Нахождение скорости для процесса заданного формулой и графиком кратко

Обновлено: 04.07.2024

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left( t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

В КИМах ЕГЭ по математике содержатся задачи, в ходе решения которых необходимо знать и понимать физический смысл производной. Также встречаются задачи, связанные с движением какой-то определённой точки, которая представлена в виде уравнения, и необходимо найти его скорость в момент движения. Представим, что движение точки (назовём её – х) на координатной оси происходит в определённое время (время обозначим, как t). Получаем, что скоростью в определённый момент времени будет являться производная координат по времени. Так мы находим механический смыл производной.

То есть физическим смыслом производной является скорость. Для решения задач на данную тему необходимо знать производные, рассмотрим их:

— tg x = 1 / cos^2 x;

— ln x = 1 / x и другие.

Рассмотрим пример решения задачи. Материальная точка х (t) = 6t^2 – 48t + 17, здесь: х является расстоянием от точки в метрах, t – временем, измеряем в секундах.

Найти: скорость движения точки в момент времени, равный девяти секундам.

Решение: помним, что физическим смыслом производной является скорость. Находим закон измерения скорости согласно формуле: v (t) = x (t) = 12t – 48 м / с.

Получаем: v (9) = 12 * 9 – 48 = 60 м / с.

Ответ: скорость движения в момент временя, равный девяти секундам, будет равна 60 метров в секунду.

Перейдём к рассмотрению второй темы для разбора ЕГЭ по математике, эта тебя является уравнением касательной к графику функции.

Итак, если прямая проходит через точку, имеющую координаты х0, f (x0), а угол наклона у этой прямой равняется производной функции в этой точке, такая прямая является касательной к графику. Нужно иметь в виду, что если нет производной графика в точке, то не будет и самой касательной.

Рассмотрим задачу по данной теме: для того чтобы задать любую прямую, следует использовать формулу6 у = kx + b. Коэффициент k определяет угол расположения для прямой на оси ОХ. Если коэффициент будет больше нуля, то угол наклона, соответственно, будет острым. Если коэффициент будет меньше нуля, то есть отрицательный, то угол между ОХ и касательной будет тупым.

Для задания уравнения касательной, следует использовать следующую формулу: y = f (x0) * (x – x0) + f (x0). Переходим к подробному рассмотрению. Проведём аналогию среди уравнений для прямой и касательной. Для того, чтобы найти коэффициент k, нужно найти производную в точке, которую мы рассматриваем.

Находим уравнение прямой для следующей функции у = х^3 в точке x0 = 3.

Во-первых, нужно найти производную этой функции: у = 3х^2.

Во-вторых, у (3) = 3 * 3^2 = 27.

В-третьих, находим значение данной функции в точке f(0). f(3) = 3^3 = 27.

В-четвёртых, составляем уравнение для касательной по следующей формуле: у = 27 * (х – 3) + 27.

Делаем преобразования: у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х – 54.

Далее, уравнение к касательной: у = 27ч – 54.

Таким образом, не нужны большие усилия для того, чтобы найти уравнение к касательной, важно ориентироваться в формулах. Поэтому в процессе подготовки к ЕГЭ по математике её следует запомнить либо выучить.

Итак, переходим к рассмотрению темы производной суммы, разности, произведения и частного. Существует несколько правил и формул, рассмотрим их:

— Производная суммы (разности) у двух функций будет равна сумме (разности) производных этих функций, то есть: (u +- v) = г +- v;

— Производная произведения двух функций будет равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

(u * v) = u * v +- u * v;

— Производная частного двух функций u(x) / v (x), если v (x) не равняется нулю и равна дроби, у которой числитель является разностью произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя.

Рассмотрим пример решения одной из задач, содержащихся в заданиях ЕГЭ по математике, касающуюся нахождения суммы производной: у = х2 + 4ч + 3у = х2 + 4ч +3.

Решение: многочлен есть сумма трёх функций, далее: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) + (3)у = (х2 + 4ч + 3) = х2 + 4х + 3.

Производную от первого слагаемого находит по правилу: (x^p) = px^(p – 1).

Для того, чтобы найти производную второго слагаемого, нужно вывести константу за знак производной: (х) = 1 (х) = 1, (4х) = 4 (х) = 4 (4х) = 4 (х) = 4.

Третье слагаемое: (3) = 0 * 3 = 0.

Получаем: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) – (3) = 2х + 4 + 0 = 2х + 4.

Подобным образом в ЕГЭ по математике решаются задачи на нахождения производной разности, произведения и частного.

Далее мы рассмотрим тему производной основных элементарных функций.

К элементарным функциям относят степенные, показательные, логарифмические, а также тригонометрические функции и их различные комбинации.

Показательная функция f(x) = a^x, при этом а не равна нулю. Данная функция задана на числовой прямой, её производная имеется в каждой точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле: а^x = e^xln a, также е^xln a = (e^ln a)^x. При применении дифференцирования сложной функции, получаем: (е^kx +b ) = ke^kx + b. Производной для а^x будет (a^x) = a^ln a.

Производная логарифмической функции х, имеющую любое основание, можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с применением формулы перехода x = ln ln x / ln ln a.

Производная функции lnx выражается следующей формулой: (lnx) = 1 / x, x больше нуля.

Применяем правило дифференцирования сложной функции и получаем: (ln (kx + b)) = k / kx + b).

(log a x) = 1 / x * ln a.

(log a x) = 1 * ln a.

Для производных тригонометрических функций характерны следующие неравенства:

Рассмотрим пример решения: f (x) = 3 ln x

Переходим к рассмотрению заключительной темы данной статьи. Рассмотрим понятие второй производной.

Второй производной называют производную от производной первого порядка. Её обозначают как: f(x) d^2 y / dx^2.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

Далее вычисляем вторую производную: у = (у) = (4х^3) = 4 * (x^3) = 4 * 3x^2 = 12x.

Ответ: вторая производная функции равна 12х.

y = (cos 2x) = — sin 2x * (2x) = — 2sin 2x.

у = (у) = (-2sin 2x) = — 2 (sin 2x) = — 2cos 2x *(2x) = — 4 cos 2x.

Ответ: производная второй функции равна – 4cos 2x.

Таким образом, мы рассмотрели темы, которые содержаться в разделе начала математического анализа ЕГЭ по математике, изучив теоретический, а также практический материал, изложенный в данной статье, вы будете готовы в сдаче единого государственного экзамена по данному предмету. Также рекомендуем просмотреть доступные демонстрационные варианты КИМов, это поможет вам знать примерную структуру, формулировку, а также уровень сложности заданий.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Рассмотреть уравнение касательной;

Научиться находить скорость процесса, заданного формулой и графиком.

Сформировать понятие уравнения касательной;

Научиться находить скорости процесса, заданного формулой и графиком.

Производной функции f ( x ) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке f = f ( x 0+ x ) − f ( x 0) к приращению аргумента x
при x 0 : f ( x 0)= lim x 0 xf ( x 0+ x ) − f ( x 0) .

Геометрический смысл производной

Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f ( x ) в этой точке.

Вторая производная, ее геометрический и физический смысл, дифференциал функции.

Сформировать понятия вторая производная, ее геометрический и физический смысл, дифференциал функции.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x ₀ )) в точке x ₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x ₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

1. Найти значение производной функции

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

2. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e -2x , параллельной прямой y=-x

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x ₀ . Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1.Таким образом, f'(x ₀ )=-1.

Уравнение касательной: y=1-1(x-0)=1-x

3. На параболе у=х 2 -2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х 2 -2х-8:

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х 2 -2х-8, т.е.

1. Изучить теоретические сведения и составить конспект.

2. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сдать до: 06.05

Учебник: Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

Если производная f '(x) функции f(x) дифференцируема в точке x₀ , то её производная называется второй производной функции f(x) в точке _x0, и обозначается f''(x₀). Проще говоря, вторая производная — это производная от первой производной.

Задание. Найти производную второго порядка функции

Решение. Для того чтобы найти вторую производную, cначале надо найти производную первого порядка:

Согласно свойству линейности, имеем:

Тогда искомая вторая производная:

Физический смысл производной второго порядка: Пусть тело движется прямолинейно по некоторому закону s. Тогда вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени : a= s'' или a = v' =s''.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону: s=(t 3 —2) м. Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение а=s''.

а =((t 3 — 2)')'= (3t 2 -0)' = 6t

Следовательно, a(10)= 6t = 6*10 = 60; a = 60 м/сек 2 .

Ответ: 60 м/сек 2 .

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая.

Функция f(x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y=f(x) в любой точке (x₀, f(x₀)), x₀ ϵ(a, b). Функция f(x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f(x) в любой точке (x₀, f(x₀)), x₀ϵ( a, b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

1) если f ''(x)>0 для любого x ϵ (a, b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a, b);

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)

1) Найти вторую производную f″.

2) Найти точки, в которых вторая производная f″ обращается в нуль или терпит разрыв.

3) Исследовать знак второй производной f″ на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.

4) Вычислить значения функции в точках перегиба.

Общая схема для построения графиков функций

Пример: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6x 2 -x 3 .

1. Находим f′=(6x 2 -x 3 )′= 12x-3x 2 , f″(x)=(12x-3x 2 )′ = 12-6x.

2. Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

x	(-∞;2)	2	(2; +∞)
f″(x)	+	0	-
f(x)	∪	точка перегиба	∩

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈ (2;+∞); функция выпукла вниз при x∈ (-∞;2); точка перегиба (2;16).

Задание. Найдите точки перегиба следующих кривых.

Группа 1С-46/ТЭ-49

1. Изучить теоретические сведения и составить конспект.

2. Выполнить задания.

4. Выполненные задания сдать до: 06.05

Ссылка на учебник онлайн:

Задание. Найти производную второго порядка функции

Решение. Для того чтобы найти вторую производную, cначале надо найти производную первого порядка:

Согласно свойству линейности, имеем:

Тогда искомая вторая производная:

Решение. Ускорение а=s''.

а =((t 3 — 2)')'= (3t 2 -0)' = 6t

Следовательно, a(10)= 6t = 6*10 = 60; a = 60 м/сек 2 .

Ответ: 60 м/сек 2 .

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

1) если f ''(x)>0 для любого x ϵ (a, b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a, b);

2) если f '' (x) 2 -x 3 .

1. Находим f′=(6x 2 -x 3 )′= 12x-3x 2 , f″(x)=(12x-3x 2 )′ = 12-6x.

2. Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

x	(-∞;2)	2	(2; +∞)
f″(x)	+	0	-
f(x)	∪	точка перегиба	∩

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈ (2;+∞); функция выпукла вниз при x∈ (-∞;2); точка перегиба (2;16).

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+\frac $$ где $x(t)$ - ккордината тела в произвольный момент времени $t,\ x_0$ - начальная координата, $v_0$ - начальная скорость, $a=const$ - ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=\left(x_0+v_0t+\frac\right)'=0+v_0\cdot 1+\frac a2\cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x''(t)=(v_0+at)'=0+a\cdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса $s=f(t)$, его производной будет величина $$ f'(t)=\lim_\frac $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Угол поворота $\varphi(t)$

Угловая скорость $\omega(t)=\omega'(t)$
Угловое ускорение $\beta(t)=\omega'(t)=\varphi''(t)$

Масса горючего ракеты $m(t)$

Скорость расходования горючего $u(t)=m'(t)$

Температура тела $T(t)$

Скорость нагрева $v_T(t)=T'(t)$

Магнитный поток $Ф(t)$

ЭДС индукции $\varepsilon(t)=-Ф'(t)$

Число атомов радиоактивного вещества $N(t)$

Скорость радиоактивного распада $I(t)=-N'(t)$

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T - температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ \frac<\partial u(x,t)><\partial t>-a^2\frac<\partial^2 u(x,t)><\partial x^2>=f(x,t) $$ и производные берутся по времени $\left(\frac<\partial u><\partial t>\right)$ и по координате $\left(\frac<\partial u><\partial x>\right)$, причем по координате берется производная второго порядка $\left(\frac<\partial^2 u><\partial x^2>\right)$.
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: $\frac<\partial \varphi><\partial t>,\ \frac<\partial p><\partial V>, \frac<\partial Q><\partial T>. $
Для производных функций от многих переменных: $\frac<\partial u><\partial t>,\ \frac<\partial u><\partial x>, \frac<\partial u><\partial y>,\ \frac<\partial u><\partial z>. $

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону $x(t)=t^2+t+1$ (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна $E=\frac$
Скорость тела: $v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)'=2t+1$
Через 3 с: $v(3)=2\cdot 3+1=7$ (м/с)
Подставляем: $E=\frac=147$ (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: $F=ma$
Ускорение тела: $a(t)=v'(t)=(2t+1)'=2$ (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: $F=6\cdot 2=12$ (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону $\varphi (t)=4t-0,5t^2$ (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: $\omega(t)=\varphi '(t)=(4t-0,5t^2 )'=4-0,5\cdot 2t=4-t$
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0\Rightarrow t=4\ (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с 2 )?

Выберем начало отсчета на земле $(y_0=0)$, направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_t+\frac=0+40t-\frac=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5\cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0\Rightarrow t_0=\frac=4\ (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_=y(t_0)=40\cdot 4-5\cdot 4^2=80\ (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд $q(t)=\ln⁡(t+1)$ (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(\ln(t+1))'=\frac $$ По условию: $$ \frac=0,1\Rightarrow t_0+1=\frac=10\Rightarrow t_0=9\ (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота $\varphi (t)=At^2$
Один оборот $2\pi$ радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: $A\cdot 8^2=2\pi$
Находим коэффициент $A=\frac<2\pi>=\frac<\pi>$
Уравнение движения $\varphi(t)=\frac<\pi>t^2$ (рад)
Угловая скорость $\omega(t)=\varphi '(t)=\left(\frac<\pi>t^2\right)'=\frac<\pi>\cdot 2t=\frac<\pi>t$ (рад/с)
Через 48 секунд $\omega(48)=\frac<\pi>\cdot 48=3\pi$ рад/с - полтора оборота в секунду.
Ответ: $3\pi$ рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо $Q(t)=1,7t+at^2+bt^3$ Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: $C(t)=Q'(t)=1,7\cdot 1+a\cdot 2t+b\cdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2$
По условию: \begin C(100)=1,7+2a\cdot 100+3b\cdot 100^2-1,71\\ 200a+30000b=0,01 \end Кроме того: \begin Q(50)=1,7\cdot 50+a\cdot 50^2+b\cdot 50^3=85,025\\ 2500a+125000b=0,025 \end Получаем линейную систему: \begin \begin 200a+30000b=0,01\ |:2\\ 2500a+125000b=0,025\ |:25 \end \Rightarrow \begin 100a+15000b=0,005\\ 100a+5000b=0,001 \end \\ 15000b-5000b=0,005-0,001\\ 10000b=0,004\\ b=4\cdot 10^\cdot 10^=4\cdot 10^\ \left(\frac\right)\\ a=\frac=\frac<10^-5\cdot 10^3\cdot 4\cdot 10^>=\frac<10^-2\cdot 10^>=-\frac<10^>\\ a=-10^\ \left(\frac\right) \end Ответ: $a=-10^\frac;\ b=4\cdot 10^\frac$

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью $v=2$ м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: \begin y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\\ y(t)=\sqrt \end

6) Пересечение с осями
В начале координат: $t=0,\ u=0$

7) График

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см 2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см 2 .

Читайте также: