Моделирование систем массового обслуживания кратко

Обновлено: 05.07.2024

Моделирование систем массового обслуживания

При решении задач оптимизации управления производством, информационными сетями, транстпортными системами часто возникает ряд однотипных задач:

Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 1).

Рис. 1. Система массового обслуживания

Элементами СМО являются:

входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
приборы (каналы) обслуживания;
очередь заявок , ожидающих обслуживания;
выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
поток не обслуженных заявок;
очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, потоками, обладающими свойствами:

стационарности;
ординарности;
ограниченного последействия.

Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.

Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток. Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма .

Простейший стационарный поток - пуассоновский поток с полным отсутствием последействия. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:

здесь - интенсивность потока.
Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:

Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.

Во-первых, поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью

Во-вторых, если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.

В-третьих, именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту математического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.

где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.

Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.

Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :

где - математическое ожидание длины интервала;

- среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .

Для простейшего потока

Для большинства реальных потоков .

При поток регулярный, детерминированный.

Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.

Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:

линии связи;
мастера ремонтных мастерских, продавцы, кассиры;
маршрутизаторы в компьютерных сетях;
транспортные средства;
платежные терминалы;
серверы, и др.

Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.

Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:

где - интенсивность обслуживания, ;

- математическое ожидание времени обслуживания.

То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в численно-математическом моделировании.

Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания.

Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.

Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:

СМО с ожиданием - характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость:

Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:

среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.

СМО смешанного типа - такие СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости.

Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь, производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО.

Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.

В системах с отказами есть поток необслуженных заявок . Если в СМО с отказами поступает рекуррентный поток, а обслуживание - экспоненциальное, то и поток необслуженных заявок - рекуррентный.

Очереди свободных каналов

В многоканальных СМО могут образовываться очереди свободных каналов. Количество свободных каналов - величина случайная. Исследователя могут интересовать различные характеристики этой случайной величины. Обычно это среднее число каналов, занятых обслуживанием за интервал исследования.

Таким образом, по признакам, влияющим на функционирование, СМО может принадлежать к одному из типов в соответствии с приводимой классификацией (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Классификация СМО

Для обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом:

- входящий поток заявок: - рекуррентный поток; - простейший поток с показательным законом распределения вероятностей; - регулярный или детерминированный поток (с постоянными интервалами между моментами поступления заявок).

- случайная длительность обслуживания: или - рекуррентное обслуживание с одной и той же функцией распределения для разных каналов; - показательное обслуживание; - регулярное обслуживание.

- количество обслуживающих каналов. Если n > 1, то система называется многоканальной.

- количество мест для ожидания заявок в очереди. Если , то СМО с потерями (без ожидания); - система с неограниченным ожиданием; - система с ограниченным числом мест для ожидания.

Ссылки

Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование

Знаете ли Вы, что системный анализ - это метод научного познания, нацеленный на установление структуры исследуемой системы. Метод системного анализа является необходимой предпосылкой метода математического моделирования.

Системы массового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания [1, 6].

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• посты ремонта автомобилей;

• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;

• станции технического обслуживания автомобилей;

• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

Дисциплина очереди — это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел — первый обслуживаешься;

• пришел последним — обслуживаешься первым;

• случайный отбор заявок;

• отбор заявок по критерию приоритетности;

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);

• количеством и производительностью обслуживающих каналов;

• мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

• относительная и абсолютная пропускная способность системы;

• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

• среднее время ожидания в очереди;

• средняя длина очереди;

• средний доход от функционирования системы в единицу времени.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими.

Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему.

В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

• время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживания неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

В этой статье мы представляем методологию для начального освоения научной информатики, базирующейся на моделировании в обучении. Мы предлагаем многофазные системы массового обслуживания, как базис для изучаемых объектов. Мы используем Python и параллельные вычисления для реализации моделей, с предоставлением программного кода и результатов стохастического моделирования.

1. Ввведение и предистория

В нашем исследовании мы понимаем значение термина “научная информатика” как использование компьютеров для анализа и решения научных и инженерных проблем. Мы отличаем их от простых численных вычислений. Использование научной информатики в обучении всегда является сложной задачей, как для учащегося, так и для преподавателя. Такой процесс изучения имеет дело с многими техническими и междисциплинарными вопросам, а также требует синхронизации математических знаний с информатикой. Для преодоления этих сложностей мы предлагаем набор обучающих принципов и методологию, которая основывается на конструктивистском подходе к обучению и обеспечивает соответствующий структурный базис для преподавателя. Всё это даёт возможность учащимся провести серию вычислительных экспериментов с компьютерными моделями. Такой подход связан со знанием математики и программирования, которые, в свою очередь, преподаются в процессе основного учебного курса и тесно с ним связаны. Мы рассмотрим раздел вычислительной статистики, как вступительный раздел научной информатики и как возможную область применения данного исследования. Ниже представлена предыстория данной методологии.

1.1. Научная информатика

Карниадакс и Кирби II дали определение “компьютерной информатики, как `сердца` имитационных исследований”. Авторы предлагают “целостный подход численных алгоритмов, современные методы программирования и параллельные вычисления … Часто такие концепции и подобный инструментарий переодически изучаются в различных, смежных по тематике, курсах и учебниках, и взаимосвязь между ними становится сразу очевидна. Необходимость интеграции концепций и инструментов обычно становится явной после завершения курса, например в процессе первой поствузовой работы или при написании тезисов к диссертации, тем самым заставляя учащегося синтезировать понимание трёх независимых областей в одно, для получения требуемого решения. Хотя этот процесс, несомненно, очень ценен, на него уходит много времени, и, во многих случаях, он может не дать эффективного сочетания концепций и инструментов. С педагогической точки зрения, для усиления понимания тем научной информатики, целостный интегрированный подход может стимулировать учащегося сразу к нескольким дисциплинам. На рисунке 1 представлено определение научной информатики как пересечение численной математики, информатики и моделирования [16].

Рис. 1. Научная информатика.

1.2. Конструктивизм в обучении

Кейн и Кейн в их фундаментальных исследованиях [6] предложили основные принципы конструктивизма в обучении. Одним из важнейших для нас является следующий: “Мозг обрабатывает части и целое одновременно”.

Таким образом, хорошо организованный обучающий процесс демонстрирует лежащие в основе детали и идеи. Используя подход, базирующийся на моделировании, после создания имитационной модели становятся очевидными цели исследования. Это позволяет нам наблюдать результаты и формировать соответствующие выводы.

1.3. Обучение на основе моделирования: почему модели?

Обучающийся получает опыт путём взаимодействия с моделями;
Обучающийся решает научные и инженерные проблемы путём экспериментов с моделью;
Рассмотрение и постановка проблем;
Определение конкретных учебных целей;
Представление всей необходимой информации в контексте решения.

Лерер и Шаубле [25] заостряют внимание на экспериментах с различными представлениями модели: “Обучение студента усиливается, когда у студента есть возможность создания и пересмотра нескольких вариантов моделей, а затем сравнения адекватности описания этих различных моделей”.

1.4. Научная информатика в основе образования: эксперименты с моделями

1.5. Стохастическое моделирование систем массового обслуживания

Мы предлагаем использование систем массового обслуживания в связи с простотой их начальных определений и из-за широких возможностей моделирования и имитаций. Теория Массового Обслуживания хорошо известна и моделирование Cистем Массового Обслуживания (СМО) широко используется в науке [4,19] и образовании [13,36]. Мультифазные системы массового обслуживания являются хорошей платформой для экспериментов учащегося, как и использование параллельных вычислений. Также существует ряд интересных теоретических результатов для изучения и исследования [12].

1.6. Python в образовании, основанном на научной информатике

Python один из популярнейших языков программирования учёных и педагогов [21–23]. Python широко используется в промышленных научных вычислениях [14]. Лангтанген докладывает о долгосрочном опыте использования Python как первичного языка для обучения Научной Информатике в Университете Осло [24]. Python продвигается как первый язык для изучения программирования [38], а также для углублённого изучения вычислительных методов [3,20,34].

2. Основы

Прежде, чем приступить к моделированию, определим ключевые подходы, которые мы будем использовать в процессе. В этой главе затронем вопросы генерация случайных чисел и вероятностных распределений, стохастического моделирования. Рассмотрим элементарную теорию вероятностей. Основной задачей этих экспериментов будет экспериментальное доказательство Центральной Предельной Теоремы. Модели и эксперименты с этими моделями проясняют принцип генераторов псевдо- и квази-случайных чисел, а также понимание экспоненциального распределения. Это может обеспечить основу для более детальных экспериментов с моделями СМО.

2.1. Случайные величины и распределения

Все элементы теории вероятностей традиционно считаются трудными для понимания и всегда находятся в сфере интересов международных образовательных учреждениях [15]. В тоже время эти вопросы занимают немаловажную роль и в научных исследованиях [10]. Подход, базирующийся на моделировании, делает более легким понимание этого материала. Модель, которую рассмотрим в этой статье, является простой моделью бросания одного или нескольких игральных кубиков, начиная с одного и заканчивая несколькими.

Задача этих вводных экспериментов является довольно сложной. Мы не только рассмотрим вероятностные распределения, но также затронем моделирование и параллельные вычисления. Мы также сделаем один шаг вперёд в научном исследовании: экспериментально докажем Центральную Предельную Теорему.

Мы начнём с генерации случайных чисел (не затрагивая распределения). Затем объясним равномерно распределённые случайные величины. Обсуждения об истинной случайности и квази случайности представлены авторами [26, 35]. Для продвинутых учеников будет представлен ряд экспериментов с генератором псевдослучайных величин Python. На начальном этапе, для наглядности изучения, будем повышать количество испытаний, наблюдая результат моделирования. На последующем этапе мы перейдём к более сложным экспериментам и параллельным вычислениям. Будем использовать для моделирования модуль случайных величин Python, а для параллельных вычислений — библиотеку mpi4py. Модуль случайных величин Python основан на псевдослучайном генераторе чисел для различных распределений. Для примера: random.randint(a,b) возвращает случайное целое число N, где a ≤ N ≤ b и random.expovariate(lambd) возвращает экспоненциально распределенные случайные величины с параметром ‘lambd’. Для получения более подробной информации обратитесь к документации Python. Программирование модели подбрасывания кубика представлено на рис.2.

Результат вычислений в случае двух кубиков представлен на рисунке 5.

Рис. 5. Случай двух кубиков

Теперь можем рассмотреть нормальное распределение. Задача, на данном этапе, показать как предыдущий случай с несколькими кубиками коррелирует с нормальным распределением. Следующая задача познакомит нас со средней величиной и среднеквадратическим отклонением. Код остаётся такой же, как в случае одного кубика, за исключением инструкции, приведённой ниже:

Результаты моделирования для нормального распределения представлены на рисунке 6.

Рис. 6. Результат моделирования для нормального распределения

Финальным шагом является демонстрация экспоненциального распределения. Экспоненциальное распределение используется для моделирования распределения (длительности) интервалов между моментами поступления требований в системах разного типа. Результаты их моделирования представлены на рис 7 и 8.

Рис. 18. Python код для имитационной модели, использующей мультипроцессорный сервис.

Как глобальные переменные предоставляются процессам и разделяются между ними?
Как завершаться процессы, связанные с различными обслуживающими устройствами?
Как передаётся информационный поток между различными процессами?
Что насчёт корректности модели?
Что насчёт эффективности модели. Сколько времени потребуется для обмена информацией различным процессам?

Рис. 19. Результаты моделирования имитационной модели мультипроцессорный сервис.

5.3. Единичный процесс статистической модели

Главной особенностью статистической модели является следующее: теперь мы используем рекуррентное уравнение для точного вычисления времени пребывания заявки в системе; мы обрабатываем все данные в единственном процессе используя специфическую сопрограммную функцию Python; мы осуществляем определённое число моделирований по методу Монте-Карло для лучшей достоверности расчётов. Эта модель даёт нам “точные” расчёты времени пребывания заявки в системе. Главная схема модели представлена на рисунке 20. Учащийся может изучить различия между имитационной и статистической моделью.

Рис. 20. Единичный процесс статистической модели

Программный код для реализации указанной выше модели представлен на рисунке 21. Результаты симуляции представлены на рисунке 22.

Рис. 21. Python код для единичного процесса статистической модели

Рис. 22. Результаты моделирования для единичного процесса статистической модели

5.4. Статистическая модель на MPI

Рис. 23. Статистическая модель MPI

В дополнении к предыдущей модели, должны быть импортированы несколько дополнительных модулей. Функция print_results() также должна быть переписана, так как на данном этапе у нас больше испытаний. Мы должны также переписать главную часть программы. На рисунке 24 мы предоставили только ту часть программного кода, которая отличается от кода предыдущей модели. Результаты моделирования представлены на рисунке 25.

Рис. 24. Python код для статистической модели на основе MPI

Рис. 25. Результаты моделирования статистической модели MPI

6. Выводы

В этой статье были рассмотрены несколько моделей для обучения на основе моделирования. Эти модели дают возможность учащемуся провести серию экспериментов и повысить понимание дисциплины Научной Информатики. Есть несколько уровней сложности представленных моделей и экспериментов с такими моделями. Первый уровень – базовый. Он подводит нас к пониманию случайных величин, а также даёт первичное понимание области научных исследований. Следующий уровень является более сложным и даёт более глубокое понимание параллельного программирования и стохастического моделирования. Соответсвующие теоретические знания представлены, и, по необходимости, могут быть использованы в качестве дополнительного материала. Это всё предоставляет базовый инструментарий для введения в Научную Информатику. И, в завершении, мы хотели бы дать рекомендации для дальнейшего изучения и совершенствования моделей.

6.1. Линейность модели и статистические параметры СМО

Модель мультифазной СМО, представленная в этой статье, не линейна [12]. Это становится очевидно из рекуррентного уравнения, так как она содержит нелинейную математическую функцию max. Если мы хотим получить правильные результаты моделирования, особенно в случае расчёта статистических параметров СМО, мы должны использовать частично линейную модель для расчёта. Эта особенно важно для ненагруженных транспортных систем, так как в противном случае мы можем получить довольно большую ошибочную разницу в расчётах.

6.2. Расширения модулей Python и параллельное программирование с Си

Для умелых учеников, может быть интересноым продолжить улучшение эффективности программного кода. Это можно сделать путём расширения модулей Python с имплементированными Си функциями используя технологию SWING. Возможно улучшить расчёты кода и ускорить вычисления используя Cython, языка программирования Си, “реальные” MPI технологиии HTC (высокопроизводительные вычисления) в кластерных системах [5, 28, 29].

6.3. Эффективность программных решений и дальнейшие разработки

В этом разделе учащийся может изучить эффективность различных программных решений. Этот топик важен для любых программных моделей, которые основаны на параллельных вычислениях. Учащийся может изучить эффективность различных программных моделей и попытаться шаг за шагом улучшать алгоритмы. Ключевым моментом здесь является исследование соотношения количества информационных потоков и вычислений для различных программных процессов. Так соотношение имеет важное значение при построении наиболее эффективной разработки программ с параллельными вычислениями. Другой интересный топик – это изучение возможности преобразование алгоритмической структуры на кластерную HTC структуру.

В качестве дополнительной задачи для проведения исследований авторы рассматривают моделирование СМО, которая должна быть смоделирована и проанализирована. Сравнительно сложный характер СМО и соответсвующий вид приложений требуют применения более обширных техник программирования. Таким образом, появляется хорошая базовая платформа для внедрения таких общих концепций программирования, как наследование, инкапсуляция и полиморфизм. С другой стороны базовые теоретические концепции информатики также необходимо осветить. Помимо всего этого, статистическое и имитационное моделирование СМО требуют более продвинутых знаний в области теории вероятностей, использования большего количества вычислительных ресурсов и предоставления реальной научной вычислительной среды, а также хорошей мотивации продвинутого учащегося.

Задачи массового обслуживания возникают, например, в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичные ситуации:

• число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают очереди, из-за задержки в обслуживании приходится платить;

• на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и простоя станций, при котором суммарные потери окажутся минимальными.

Специальный раздел теории систем — теория массового обслуживания — для условий данной задачи позволяет:

• использовать методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания заказа в тех случаях, когда скорость поступления заказов и время их выполнения заданы;

• найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в очереди и простоя станций обслуживания;

• установить оптимальные стратегии обслуживания.

Главная особенность такого подхода к задаче системного анализа — явная зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а следовательно, и времени их исполнения). Но именно учет внешних факторов (внешней среды) является одним из важнейших требований системного анализа. Для его реализации необходимо провести исследование потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показатели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать, как будет вести себя система при данных внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значения суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления.

Такого рода задачи решаются не на реальной системе: слишком велик риск потерь заказчиков и/или неоправданный рост затрат на создание дополнительных станций обслуживания. Поэтому используется какой-либо подходящий метод математического моделирования систем, в частности метод статистических испытаний, который больше известен как метод Монте-Карло. Он специально предназначен для моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Напомним, что корректное применение этого метода, как и всех других, в основе которых лежат вероятностные представления об изучаемых процессах, оправдано только в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА БОЛЬШИХ СИСТЕМ, ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит, и экономических) возможен при единственном, научно обоснованном подходе — признании скрытых, неизвестных причин, законов и процессов. Часто такие причины называют латентными факторами, а особые свойства, порожденные ими, — латентными признаками.

Обнаружилась и считается также общепризнанной возможность анализа таких систем с использованием двух принципиально различных подходов или методов.

Первый из них может быть назван методом многомерного статистического анализа. Этот метод был обоснован и применен видным английским статистиком Р. Фишером в 20-30-е гг. XX века. Дальнейшее развитие многомерной математической статистики как науки и основы многих практических приложений считается причинно связанным с появлением и совершенствованием компьютерной техники. Если в 1930-е гг. при ручной обработке данных удавалось решать задачи с учетом двух-трех независимых переменных, то в 1965 г. решались задачи с шестью переменными, а к 1970—1980-м гг. их число уже приближалось к 100.

Второйметод принято называть кибернетическим, или винеровским, связывая его название с именем основателя кибернетики Н. Винера. Краткая сущность этого метода — чисто логический анализ процесса управления большими системами. Рождение этого метода было вполне естественным: коль скоро признается существование плохо организованных систем, то логично ставить вопрос о поиске методов и средств управления ими.

Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное различие между собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе одних и тех же систем.

Так, например, интеллектуальная деятельность человека изучается фишеровским методом: многие психологи, как иронически замечал В.В. Налимов, уверены, что им удастся разобраться в результатах многочисленных тестовых испытаний.

С другой стороны, построение так называемых систем искусственного интеллекта представляет собой попытки создания компьютерных программ, имитирующих поведение человека в области умственной деятельности, то есть применение винеровского метода.

Как правило, эксперименты над реальной экономической системой являются вынужденными, связанными с определенными затратами на сам эксперимент и, кроме того, с возможным риском непоправимых отрицательных последствий. Теоретическое обоснование и методика действий в таких ситуациях составляют предмет особой отрасли кибернетики — теории планирования эксперимента.

Принятая в его рамках терминология такова:

• все, что подается на вход элемента, называется управляющими воздействиями или просто воздействиями;

• все, что получается на выходе элемента, называется реакциями;

• если можно выделить в системе (или подсистеме) несколько (в некотором смысле) однотипных элементов, то их совокупность будет называться блоком;

• содержательное описание собственных действий по отношению к элементам блока называется планом эксперимента.

Оказывается, что уже само составление плана эксперимента требует определенных познаний и некоторой квалификации. Опыт показывает целесообразность включения в план следующих четырех компонентов:

• описание множества стратегий управления, из которых необходимо выбрать наилучшую;

• спецификация или детальное сравнительное описание элементов блока;

• правила размещения стратегий на блоке элементов;

• спецификация выходных данных, позволяющих оценивать эффективность элементов.

Внимательное рассмотрение компонентов плана эксперимента позволяет заметить, что для его реализации требуются знания в различных областях науки. Так, при выборе управляющих воздействий не обойтись без минимальных знаний в области технологии, очень часто нужны знания в области юриспруденции, экологии. Для реализации третьего компонента совершенно необходимы знания в области математической статистики, так как приходится использовать понятия распределений случайных величин, их математических ожиданий и дисперсий. Вполне могут возникнуть ситуации, требующие применения непараметрических методов статистики.

Одним из наиболее популярных методов, который используется при планировании экспериментов, является рандомизация плана эксперимента с помощью латинского квадрата, обеспечивающего возможность перебора всех комбинаций n 2 чисел, расположенных в квадрате n х n. В такой таблице каждая строка и каждый столбец содержат числа 1, 2, 3, . n. Например, для n = 3 латинский квадрат может иметь такой вид:

Числами в данном случае могут обозначаться номера возможных стратегий управления.