Методика обучения темы дроби в курсе математики в основной школе

Обновлено: 09.07.2024

1) Дети посадили около школы 5 берез, а лип на 3 больше, чем
берез. Сколько лип посадили дети около школы?
2) 15 конфет раздали 3 детям поровну. По сколько конфет
получил каждый из детей?
3) В первый день в киоске было продано 5 журналов, а во второй
- на 3 журнала больше. Сколько журналов было продано за два
дня?
4) На автостоянке 5 грузовых машин, а легковых в 3 раза больше.
Сколько всего машин на стоянке?
5) На пошив 5 платьев идет 15м материи. Сколько метров ткани
нужно для пошива 8 таких платьев?
6) За 7 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку по одинаковой
цене Катя заплатила 72 рубля. Сколько стоят тетради в клетку и в
линейку по отдельности?
7) У Кати было 36 р. За завтрак она заплатила 1/4 имеющихся у
нее денег. Сколько стоил завтрак?

3. Методика ознакомления с долями и дробями

4. План

1. Методика ознакомления с образованием, названием,
записью и сравнением долей.
2. Ознакомление с методикой решения задач на
нахождение доли от числа и числа по его доле.
3. Методика ознакомления с образованием, названием,
записью и сравнением дробей.
4. Ознакомление с методикой решения задач на
нахождение дроби от числа и числа по его дроби.
5. Особенности методики изучения долей и дробей в
вариативных программах начального курса
математики.

5. 1. Методика ознакомления с образованием, названием, записью и сравнением долей

Ознакомить детей с долями значит сформировать
конкретные представления о долях, т.е. научить
детей образовывать доли практически.
Образуем 1/2 долю.
Берем круг.
- На сколько равных частей надо разделить круг?
- Как называется каждая из равных частей?
- Сколько таких вторых долей
в целом круге?
- Сколько надо взять частей, чтобы
получить 1/2?

6. Методика ознакомления с образованием, названием, записью и сравнением долей

Для образования ¼ доли можно провести
практическую работу с полосками.
Аналогично образуем 1/3, 1/5, 1/6, 1/8, 1/10 и т.д.
доли.
Для формирования правильных представлений о
долях надо использовать достаточное количество
наглядных пособий.
Название долей происходит одновременно с
образованием.

7. Запись долей

Доли записывают с помощью двух чисел.
Например, 1
3
Число под чертой показывает на сколько равных
частей разделили круг.
Число над чертой показывает сколько таких частей
взяли.

8. Сравнение долей

Сравнение долей происходит
практически (на наглядной основе)
1
1/2
1/4
1/8
1/8
1/2
1/4
1/8 1/8
1/4
1/8 1/8
1/4
1/8 1/8

9. 2. Ознакомление с методикой решения задач на нахождение доли от числа и числа по доле

Задача. От полоски длиной 12 см отрезали 1/3 ее.
Чему равна длина отрезанной полоски?
Изобразим полоску в виде отрезка.
1
-Чему равна ее длина?
3
-На сколько равных частей
?
надо разделить полоску?
-Сколько таких частей нужно взять?
12 см
-Какой вопрос задачи?
-Как записать решение задачи?
12 : 3 = 4 (см)
Ответ: длина отрезанной полоски равна 4 см.

10. Решение задач на нахождение числа по доле

Задача. Саша отрезал от куска проволоки 5 см, что
составляет 1/3 всего куска. Какой длины был кусок
проволоки?
Изобразим кусок проволоки отрезком.
1
-Какую часть куска отрезал
3
Саша?
-Как получить 1/3?
5 см
-Сколько сантиметров составляет
?
1/3 часть ?
-Какой вопрос задачи?
-Как записать решение задачи?
5 3 = 15 (см)
Ответ: кусок проволоки был длиной 15см.

11. Задания на закрепление понятия доли

12. Методика ознакомления с образованием, названием и записью дробей

-
Разделите круг на 4 равные части. Как называется
каждая такая часть?
Покажите три четвертых доли.
Как получили дробь – три четвертых?
Кто сможет записать эту дробь?
Что показывает число 4?
Что показывает число 3?
Аналогичным образом обучающиеся получают и
записывают другие дроби, объясняя, что показывает
каждое число.

13. Сравнение дробей

14. 4. Ознакомление с методикой решения задач на нахождение дроби от числа

15. Решение задач на нахождение числа по его дроби

16. Задания на закрепление понятия дроби

1. Объяснение образования дробей по готовому
рисунку.
2. Запись дробей по готовому рисунку.
3. Изображение дробей с помощью отрезка. (Н-р,
покажи 2/5 отрезка).
4. Сравнение дробей, в основном, по изображению
равных прямоугольников.

17. Составные задачи

Позднее задачи на нахождение дроби включаются в
составные задачи.
В овощной ларек привезли 360 кг капусты. В первый
день продали 1/3 часть , во второй – ¾ остатка.
Остальную капусту продали в третий день. Сколько
килограммов капусты продали в третий день?
1. 360 : 3 = 120 (кг) - продали в первый день
2. 360 – 120 = 240 (кг) - осталось продать
3. 240 : 4 3 = 180 (кг) - продали во второй день
4. 240 – 180 = 60 (кг)
Ответ: 60 кг капусты продали в третий день.

18. Особенности методики изучения долей и дробей по учебникам Л.Г. Петерсон

5) вводятся правила сравнения дробей с одинаковыми
числителями и знаменателями.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями
больше та, у которой числитель больше.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше
та, у которой знаменатель меньше.
6) Вводятся правила для нахождения части числа и
числа по его части.
Чтобы найти часть числа, выраженную дробью,
надо это число разделить на знаменатель и
умножить на числитель дроби.
Чтобы найти число по его части, выраженной
дробью, надо разделить эту часть на числитель и
умножить на знаменатель дроби.

10) правильные и неправильные дроби;
Запиши с помощью дробей число четвертых долей
круга на рисунках. Какие из полученных дробей
больше 1, меньше 1, равны 1?
а)
б)
в)
г)
д)
Отметь на числовом луче дроби 1/4, , 2/4,3/4, 4/4,
5/4, 6/4, 7/4, 8/4, 11/4, 12/4.
Какие из отмеченных дробей правильные, а какие
неправильные?

11) смешанные числа
0
1
7/3
2
21
3
3
12) выделение целой части из неправильной дроби.
67 12
60 5
7
знаменатель
целая часть
числитель
13) сложение и вычитание смешанных чисел.
Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить
отдельно их целые и дробные части.

Миша: Действительно, первый разделен на 15 частей,
второй на 6 равных частей. Я кажется, догадался!
По-моему, на первом рисунке закрашена 1/15 часть
прямоугольника, на втором – 1/6 прямоугольника и
т.д. Но как это записать математическими знаками?
Маша: Для этого математики придумали числа,
которые назвали дробями.
Задания:
- выбор решения;
- выбор схемы;
- выбор рисунка;
- сравнение рисунков и др.

26. Задания

27. 2. Отрезок АВ имеет длину 12 см. Начерти: а) 1/3 этого отрезка; б) 1/6 этого отрезка.

4. Выбери рисунок, которому соответствует каждая
дробь и объясни, что она обозначает 2/6, 3/4,5/7, 8/9,
1/4, 1/9, 2/7, 4/6.

30. Ответы

31. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

32. Список рекомендуемой литературы

33. Дополнительная литература

34. Дополнительная литература

1. Пояснительная записка к программе по математике 5 класса под редакцией В.И. Жохова.

3. Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала, учащимися в соответствии с возрастными особенностями.

4. Ожидаемые результаты.

5. Методы, формы, приемы, активизирующие познавательную деятельность учащихся на уроках изучающих математику.

8. Используемая литература.

Понятие, как множество определяющих его свойств, фиксированное в мышлении человека, является одной из главных компонент содержания любого учебного предмета, в том числе – и математики.

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, – понятие о числе. Это понятие является одним из базовых понятий математики, и его усвоение имеет для учащегося большое значение.

В школу обычно ребенок приходит, имея представление о натуральных числах. В процессе изучения математики понятие о числе постепенно расширяется. Это связано с практическим применением чисел – измерением величин. Для этих целей натуральных чисел оказывается недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Для того чтобы выразить результат любого измерения, необходимо расширить запас чисел, введя новые числа, отличные от чисел натуральных. Именно так появляются рациональные (т.е. дробные) числа, а затем и иррациональные, которые вместе образуют множество действительных чисел. На этом расширение понятия о числе не останавливается, а продолжается, поскольку это необходимо для других наук и самой математики.

Знакомство с понятием дробного числа происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби расширяется и углубляется. В связи с этим, учителю необходимо хорошо владеть методами ознакомлении с дробными числами, обучению действиям, научить видеть взаимосвязи между множествами натуральных и рациональных чисел, и, в конечном счёте, полноценному усвоению понятия рационального числа. Понятие дроби и действия с дробями не являются такими элементарными как представляется математикам и учителям математики. Нередко действия с дробями вызывают серьезные затруднения даже у старшеклассников и студентов. Поэтому проблема надёжного и чёткого усвоения понятия дроби и свойств дробей является актуальной.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Без базовой математической подготовки невозможно достичь высокого уровня образования, т.к. все больше специальностей связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, психология, биология и др.). Следовательно, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Ее необходимым компонентом является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления.

Т. о., значимость математической подготовки в общем образовании современного человека повлияла на определение следующих целей обучения математики в школе:

Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
Формирование представлений о математических идеях и методах;
Формирование представлений о математике как форме описания и методе познания действительности;
Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Предметные – систематическое развитие понятия числа; выработка умения выполнять устно и письменно арифметические действия с числами.

Метапредметные – создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования; формирование общих способов интеллектуальной деятельности.

Личностного развития – развитие логического мышления; воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность; развитие интереса к математическому творчеству.

Задачи изучения раздела:

блок – Окружность и круг. Доли и обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби. Цели изучения блока:

Научить понимать, что такое доля, половина, треть, четверть, уметь записывать дроби, изображать дроби на координатном луче;
Научить сравнивать дроби, выработать навык в сравнении дробей;
Научить определять правильные и неправильные дроби, сравнивать их с 1.

блок – Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Деление и дроби. Смешанные числа. Цели изучения блока:

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Согласно стандарту общего математического образования, систематический курс дробей входит в курс арифметики и изучается в пятом и шестом классах средней школы. Возраст учащихся 5–6 классов колеблется от 10 до 13 лет. Чаще всего этот период относят к подростковому возрасту, некоторые психологи выделяют его отдельно в, так называемый, младший подростковый возраст. Этот возраст связан с перестройкой всего организма ребенка – половым созреванием. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие позже (13 лет). Начиная с этого возраста, весь подростковый период протекает трудно и для ребенка, и для взрослых.

Подростковый возраст называют переходным. В этом смысле подросток – полуребёнок и полувзрослый: детство уже прошло, но зрелость ещѐ не наступила. Переход к взрослости пронизывает все стороны развития подростка: и его анатомофизиологическое, и интеллектуальное, и нравственное развитие – и все виды его деятельности.

Особенно заметным в этом возрасте становится рост сознания и самосознания детей. Последнее находит своё выражение в измерении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Одним из центральных новообразований личности младшего подростка является возникновение чувства взрослости. В понимании подростка стать взрослым означает быть самостоятельным, выражать и отстаивать свою точку зрения. Последнее нередко влечет за собой стремление подростка не быть как все, хотя в то же время подросток подражает всем.

Учение для подростка является главным видом деятельности. И от того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие. В подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в развитии мыслительной деятельности учащихся, главным образом в процессе обучения.

Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания. Проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинноследственные связи. Подростки испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать самостоятельные открытия. Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. Для подростка очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний и, прежде всего их значение, для развития личности. Это связано с усиленным ростом самосознания современного подростка.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформироваться негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим учебным предметам. Эмоциональное благополучие во многом зависит также от оценки его учебной деятельности взрослыми.

В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения, связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом. Учителю необходимо знать эти мотивы, условия их формирования, так как отношения подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением к учащимся.

Учащиеся 5 классов обладают достаточно высоким уровнем развития восприятия: острота зрения, слуха, ориентировка на форму и цвет предмета.

Процесс обучения в средней школе предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур. У школьников этого возраста проявляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.

В 5 классах перестаивается характер учебной деятельности. Причем не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже несколько учителей, у которых различные требования, стили ведения урока, отношения к учащимся.

В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между объектами, формирование отвлеченных понятий. Процесс формирования понятия – постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное восприятие объекта.

В этом возрасте способность школьника к запоминанию возрастает, память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.

Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.

Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при достаточно высоком уровне развития произвольного внимания.

Ученик 5 класса может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому для более успешного обучения математике, необходимо поддерживать интерес школьника к изучению этого предмета. При этом целесообразно на уроках использовать наглядные средства обучения: таблицы, схемы, картинки. Процесс обучения будет проходить более эффективно, если на уроках демонстрировать связь изучаемого материла с жизнью, применение новых знаний на практике.

В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 5 классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.

При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.

У школьников 5–6 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

Все указанные выше особенности создают основу для развития процесса творческого мышления учащихся 5 классов, в котором большую роль играют специальные знания учащихся.

При изучении математики большое значение имеет формирование теоретического мышления, которое определяет способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем.

В 5 классах у учащихся начинает формироваться формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией.

Опираясь на вышесказанное, можно сделать следующий вывод, что наиболее существенную роль в формировании положительного отношения подростка к учению, в том числе и к математике, играют научная содержательность материала, его связь с жизнью (возможность применить на практике). Для более эффективного обучения можно использовать проблемный метод обучения, организовать поисковую познавательную деятельность, которая даст возможность переживать радость самостоятельных открытий, что само по себе заинтересует подростка. Успех – еще один мотив для изучения чего-то нового. Учитель должен помнить, что знание и учѐт индивидуальных особенностей учащихся, их познавательных потребностей необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5–6 классах более глубоко развивается словеснологическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними.

Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.).

Не всегда есть возможность и необходимость формировать определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе математики 5–6 классов это часто достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным понятиям. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника, многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др.

Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными – им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными.

Главное в работе с определениями в 5–6 классах – показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.

Если учащиеся в 5–6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано.

Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике.

В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями, положительными о отрицательными числами, получают начальные представления об использовании букв для записи выражений и свойств арифметических действий, составлении уравнений, продолжают знакомство с геометрическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.

В данной работе дано ознакомление с долями, их сравнение, нахождение числа по его доле и доли числа. Дальше идет ознакомление с дробями, задачи и действия с дробями.

Методика изучения дробей

В начальных классах, с целью подготовки к изучению дробей в 5 классе, по традиционной программе во 2 классе изучаются доли величины, их обозначение и сравнение, нахождение доли числа и числа по его доле; в 3 классе - образование дробей, их чтение и запись, сравнение дробей (простейшие случаи), нахождение части числа. Все эти вопросы раскрываются на наглядной основе.

К концу обучения в начальной школе учащиеся должны уметь:

1. Показывать и называть доли прямоугольника, круга и отрезка.

2. Читать и записывать доли в виде дроби со знаменателем, не превышающим число 10.

3. Решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле.

4. Показывать и называть часть прямоугольника, круга, отрезка.

5. Читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателем, не превышающим числа 10; пользуясь записью дроби, сказать, на сколько равных частей, долей разделена величина и сколько таких частей взято.

6. Уметь сравнивать дроби, опираясь во всех случаях на рисунок.

7. Решать задачи на нахождение дроби числа.

Ознакомление с долями

Основная задача при ознакомлении с долями - научить детей практически образовать доли по математической записи и обратно: записывать доли, исходя из практических действий. Например, чтобы получить одну

третью долю круга, надо круг разделить на три равные части и взять одну такую часть; если круг разделили на шесть равных частей и взяли одну часть - это значит одна шестая доля круга.

При ознакомлении с долями у каждого ученика должны быть наглядные пособия, с которыми он работает, дублируя действия учителя. Предварительно создавая проблемную ситуацию, учитель мотивирует необходимость изучения новых чисел. После этого объявления темы, предлагает учащимся взять свои квадраты (заранее приготовлены) и просит их перегибанием разделить на две равные части (показывает как надо делать). Разрезав по линии сгиба, учитель наложением показывает учащимся, что две половинки равные и одну половинку называет "это одна вторая доля квадрата". После этого просит их показать одну вторую долю своего квадрата. Далее выясняют, что целый квадрат состоит из двух вторых частей.

Далее учащиеся аналогичным образом получают одну четвертую долю квадрата. После этого показываем запись долей: 1/2 и объясняем: число 2 показывает, что квадрат разделили на две равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть и т.д.

Закрепляя понятие доли, учащимся предлагаются вопросы:

1) Объясните, как получить 1/2 долю круга?

2) Что означает выражение " 1/5 отрезка"?

3) Круг разделили на 7 равных частей. Как назовете одну такую часть?

4 ) Отрезок разделили на 4 разные части. Можно ли одну часть назвать "одной четвертой долей отрезка"?

5) Назовите, какая доля прямоугольника закрашена и запишите эту долю (рис.115). Что обозначают в этой записи числа, записанные выше черты и ниже черты?

Сравнение долей

Учащимся предлагается взять два круга (или полоску бумаги) и разрезанием получить одну вторую и одну четвертую доли. Затем, одну вторую круга накладываем на одну четвертую круга и делаем вывод, что первое больше второго. Предлагаем записать: 1/2 1/4, 1/4

Далее можно научить сравнивать доли, используя отрезки. Пусть нам надо сравнить 1/3 и 1/4. Предлагаем начертить отрезок и показать дугой одну третью долю. Затем начертим такой же отрезок еще раз и просим показать одну четвертую долю. По длине отрезков делаем вывод, что 1/3 1/4 (рис.2).

Нахождение доли числа

Для ознакомления с решением задач на нахождение доли числа учителю полезно сначала провести практическую работу.

Учащимся раздаются полоски бумаги длиной 12 см, разделить ее (перегибанием) на 2 равные части. Измерить половину полоски.

- Сколько сантиметров содержится во всей полоске? (12 см.) А в половине ее? (Измерим - 6 см.) Разделите полоску на 4 равные части. Чему равна длина одной четвертой части полоски? Как это узнать без измерения? (Нужно 12 см разделить на 4, получится 3 см.) Почему нужно 12 разделить на 4? (Потому, что для получения одной четвертой доли полоску разделили на четыре равные части.) Проверим результат измерением. Запишем решение: 12:4=3 (см).

При решении других задач достаточно воспользоваться чертежом: число изобразить отрезком, который учащиеся делят на заданное число равных частей, обозначают долю, после чего выполняют решение устно или письменно.

В дальнейшем задачи на нахождение доли числа встречаются в задачах, в упражнениях типа: "Найди 1/4 от 1 м, 1/10 от 1 дм", "Сколько часов составляет 1/2, 1/4 сутки" и т.п.

Нахождение числа по его доле

При ознакомлении с задачами на нахождение числа по его доле, учителю сначала полезно провести практическую работу:

- Покажите свои полоски бумаги (полоски должны быть заготовлены заранее так, чтобы длина их была различной, но выражалась четным числом сантиметров). Покажите 1/2 полоски. Измерьте половину полоски. Чему равна длина 1/2 полоски? (Спросить у нескольких учеников.) Теперь подумайте, чему равна длина всей полоски. Как это узнать без измерения?

Снова спрашивается несколько учеников:

- Чему была равна 1/2 твоей полоски? Какова длина всей полоски? Как ты это узнал? Почему нужно было длину половины полоски умножить на 2? (Потому что во всей полоске содержится 2 раза постольку сантиметров, сколько их в половине.) Проверьте измерением.

После этого задачу "Длина 1/3 полоски равно 4 см. Какова длина всей полоски?" решают, используя чертеж. Изобразим отрезок, показывающий одну третью часть полоски. (Чертят отрезок длиной 4 см.) Какую часть всей полоски показывает этот отрезок? (1/3) Как нарисовать весь отрезок? (Взять 3 раза по 4 см.) Почему? (4 см - это полоски, а во всей полоске будет три трети.) Начертите. Какой длины была полоска? (12 см.) Как

При решении таких задач и упражнений вида: "Найди число, если 1/4 его равна 8" учителю надо научить учащихся сначала дать рассуждение: "четвертая часть числа (отрезка) равна 8, а само число (отрезок) будет в 4 раза больше, поэтому 8 умножим на 4 и получим 32" и только после этого записать решение. Этот образец рассуждения учащиеся должны запомнить. В противном случае они, задачи и упражнения на нахождение числа по его доле, будут продолжать решать делением. Это связано с тем, что в их памяти сохранилось мнение, что "доля - это делить" и поэтому они ошибочно полагают: " - это доля, значит 8 делим на 4".

Ознакомление с дробями

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? (Одна четвертая круга.) Покажите две четвертые доли. Вы получили дробь - две четвертых. Это записывают так 2/4. Сколькими частями вы покажете дробь 3/4? (Три четвертые доли.) Мы записали дроби 2/4, 3/4. Что показывает число 4? (Число 4 показывает, на сколько равных частей разделили круг.) А что показывают числа 2 и 3? (Сколько таких равных частей взяли.) Дроби 2/4 и 3/4 читают так: две четвертых, три четвертых. А теперь прочитайте упражнение учебника и объясните, как получены указанные дроби (в учебнике круги иллюстрируют дроби 1/8, 5/8, 3/8, 2/3).

После ознакомления с дробями учащиеся выполняют упражнения:

1) на объяснение образования дробей по готовому рисунку;

2) на запись дробей по готовому рисунку;

3) изображение дробей с помощью отрезка (например, покажи 3/5 отрезка);

4) на сравнение дробей в основном по изображению равных прямоугольников.

Учащимся предлагается начертить 4 одинаковых прямоугольника (рис.3):

В первом целом прямоугольнике запишем число 1. Второй прямоугольник разделите на 2 равные части и запишите полученные доли. Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Третий прямоугольник разделите на 4 равные части и запишите полученные доли. Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или одна четвертая? Запишем так: (1/2 1/4). Какие числа знаки поставим, чтобы следующие равенства и неравенства были верными: 1/2 = □ /4, 3/4 * 1/2, 2/4 * 3/4?

Следующий прямоугольник делится на 8 равных частей и учащиеся отвечают на аналогичные вопросы.

Сравнение дробей можно иллюстрировать отрезками. Например, при сравнении дробей 2/5 и 3/4 ученик выполняет чертеж (рис.4):

рассуждая при этом так: "на отрезке покажу 2/5 и 3/4: для этого его разделю на 5 равных частей и возьму 2 части; такой же отрезок разделю на 4 равные части и возьму 3 части. Вижу, что второй от резок, отмеченный дугой, длиннее и поэтому 3/4 2/5.

Задачи на нахождение дроби числа

Для ознакомления с решением задач на нахождение дроби числа лучше первыми включить задачи с отрезками, так как в этом случае легко иллюстрировать решение.

Предлагается решить задачу: "Начертите отрезок длиной 12 см. Сколько сантиметров в 2/3 отрезка?". Ученики чертят отрезок заданной длины. Как получить 2/3 отрезка? (Разделить отрезок на 3 равные части и взять 2 такие части.) Разделите отрезок на 3 равные части. Как назвать каждую часть? (Одна третья.) Покажите 1/3 отрезка.(Ученики проводят сверху дугу и записывают:1/3) Сколько сантиметров в 1/3 отрезка? (4 см.) Как узнали? (12:3=4.) Покажите 2/3 отрезка. (Подчеркивают дугой снизу две третьих отрезка и подписывают: 2/3) Как узнать, сколько сантиметров в двух третьих отрезка? (4*2=8.)

Запись на доске и в тетрадях:

После достаточного осмысления последовательности этих двух действий можно решение записывать в виде: 12:3·2 =8 (см).

Рассматривая еще несколько задач, делаем вывод: чтобы найти, например,3/4 от числа 8, это число делим на 4 и умножим на 3.

Позднее задачи на нахождение дроби включаются в составные задачи. Например: "С одного опытного участка собрали 45 ц пшеницы, с другого втрое больше. 2/3 всей пшеницы насыпали в мешки по 80 кг в каждый. Сколько получилось мешков пшеницы?". Решение лучше записывать в виде отдельных действий:

1) 45*3=135 (ц) - пшеницы собрали с другого участка;

2) 135+45=180 (ц) пшеницы собрали с двух участков;

3) 180:3*2=120 (ц) - пшеницы насыпали в мешки;

4) 12000:80=150 (мешков) - пшеницы получилось.

Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ в течение всего учебного года.

Задачи на доли

Задачи на нахождение части от целого

Д
лина ленты 10м. Найдите 1\5 этой ленты.

10:5=2(м) - длина 1\5 всей ленты.

Задачи на нахождение целого по его части

О
т ленты отрезали 4м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 1\4 ленты.

4*4=16(м)- длина всей ленты.

Задачи на нахождение дробного отношения

О
т ленты длиной 10м отрезали 1м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 1:10=1/10 – всей ленты.

Задачи на дроби

Задачи на нахождение части от целого

Д
лина ленты 10м. Найдите 3\5 этой ленты.

1) 10:5=2(м)- длина 1\5 всей ленты.

2) 2*3=6(м)- длина 3\5 всей ленты

Задачи на нахождение целого по его части

О
т ленты отрезали 9м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 3\4 ленты.

1)9:3=3(м)- длина 1\4 всей ленты.

2) 3*4=12(м)- длина всей ленты.

Задачи на нахождение дробного отношения

От ленты длиной 10м отрезали 5м. Какую часть ленты отрезали.

Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 5:10=5/10 – всей ленты (сокращать в начальной школе дети не умеют).

Действия с обыкновенными дробями.

Сложение и вычитание.

Привести дроби к общему знаменателю.

Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.

Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).

Выделение целой части из неправильной дроби.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Сокращение дроби.

Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и тоже число.

Например: Можно короче: .

Приведение дробей к общему знаменателю.

найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);

разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель

Привести к общему знаменателю дроби: 5/6 и 4/9.

18/6 = 3 — дополнительный множитель первой дроби,
18/9 = 2 — дополнительный множитель второй дроби.

1. Научить образовывать доли и дроби.

2. Научить называть и записывать доли и дроби (запись их предусмотрена не во всех программах).

3. Сравнивать доли и дроби.

4. Решать задачи на доли и дроби.

Этот материал изучается в 3-4 классах. Создаётся конкретное представление о доле и дроби на практической основе с использованием дидактического материала. Эта тема служит предварительной основой для изучения в 5-6 классах.

Источники получения долей и дробей:

1. Деление предметов на равные части.

2. Измерение величин.

3. Действия над числами (деление).

В начальной школе доли и дроби получают только на основании деления предмета на равные части, т. к. дети должны получить конкретное представление об этих понятиях.

Конкретное представление о долях создаётся в результате выполнения практической работы с демонстрацией. Учитель делит яблоко на две равные части и говорит, что каждая из равных частей называется половиной и ещё 1\2, показывает, что таких половин две в целом яблоке. Затем учитель делит яблоко на четыре равные части, каждая часть называется – четверть или 1\4 и таких четвёртых долей в целом яблоке четыре. Потом сообщается, что для записи долей необходимо два числа и черта (m\n). Причём, число, стоящее под чертой (дробная черта), показывает, на сколько равных частей разделили целое (знаменатель), а число, стоящее над чертой – сколько таких равных частей взяли (числитель).

Закрепление:

- Практическая работа: детям выдаются полоски бумаги, и предлагается разделить их перегибанием на 2 равные части, на 4, на 8, сказать, как называется каждая часть, закрасить 1\2, 1\4, 1\8 отрезка.

- Рассматриваются рисунки с геометрическими фигурами, разбитыми на равные части подписанным названием частей. Дети должны объяснить смысл записи.

- Предлагается начертить квадрат с заданной длиной стороны, разбить его на 2, 3, 4. 6, 8 равных частей, закрасить одну из них, назвать, записать. Возможны различные варианты разбиения, но должно учитываться одно условие – все части одинаковые.

Несколько позже учитель вводит понятие дроби на практической основе. Детям предлагается разделить отрезок на 4 равные части, назвать каждую из них, обвести сначала одну часть, а потом ещё одну. Учитель, сообщает, что получилось собрание долей – оно называется дробью. Затем учитель учит читать и записывать дроби.

Сравнение долей также происходит на наглядно - практической основе в 2 этапа.

1. Практическая работа: детям выдаётся 2 равные полоски бумаги и предлагается на одной закрасить половину, а на другой четверть, а потом сравнить их наложением. Делается вывод, что одна четверть меньше половины.

2. Работа с иллюстрацией в учебнике или таблицей на доске.

Учащиеся должны выявить название каждой части и визуально сравнить их, причём можно сравнить как доли: 1\2>1\4, так и дроби с одинаковыми знаменателями: 1\8 1\4, так как 2из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше. Например, 3\8>2\8, так как 3>2.

Методика работы с задачами на доли и дроби. В 3 классе рассматриваются задачи на доли (по программе Моро), на доли и дроби (по программе Петерсон).

При знакомстве с задачами этого вида учитель предлагает разделить перегибанием полоску бумаги длиной 12см на 4 равные части и вычислить длину каждой части. Возможны вопросы:

- Какова длина всей полоски? (12 см).

- На сколько частей надо разделить? (на 4 частей).

- Какие части: равные по длине или различные? (разделим на 4 равные части).

- Как можно назвать каждую часть? (четверть).

- Как узнать длину каждой части? (разделить 12 см на 4).

- Сколько получится? (3 см).

- Проверьте по линейке.

Задачи других видов решаются реже, а задачи на дроби и проценты рассматриваются уже в 5-6 классах.

По программе Петерсон рассматриваются задачи всех видов на доли и дроби:

Виды задач	Задачи на доли	Задачи на дроби
Задачи на нахождение части от целого	Длина ленты 10м. Найдите 1\5этой ленты. 10:5=2(м)- длина 1\5 всейленты.	Длина ленты 10м. Найдите 3\5этой ленты. 1) 10:5=2(м)- длина 1\5 всейленты. 2) 2*3=6(м)- длина 3\5 всейленты.
Задачи на нахождение целого по его части	От ленты отрезали 4м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 1\4 ленты. 4*4=16(м)- длина всей ленты.	От ленты отрезали 9м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 3\4 ленты. 1)9:3=3(м)- длина 1\4 всейленты. 2) 3*4=12(м)- длина всейленты.
Задачи на нахождение дробного отношения	От ленты длиной 10м отрезали 1м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 1:10=1/10 – всей ленты.	От ленты длиной 10м отрезали 5м. Какую часть ленты отрезали. Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 5:10=5/10 – всей ленты(сокращать в начальной школе дети не умеют).