Методика изучения тождественных преобразований в основной школе

Обновлено: 08.07.2024

Вложение	Размер
tozhdestvennye_preobrazovaniya_vyrazheniy_8_kl.doc	120 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Пристеньская основная общеобразовательная школа

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с тождественными преобразованиями выражений, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче государственной итоговой аттестации.

Курс состоит из шести разделов:

Тема №1. Числовые множества.

Тема №2. Тождественное равенство выражений с переменными.

Тема №3. Применение тождественных преобразований к решению задач на вычисление значений выражения.

Тема №4. Числовые неравенства и их свойства.

Тема №5. Тождественное неравенство выражений.

Тема №6. Итоговое повторение.

Основные цели и задачи курса:

Цели курса: формирование способности учащихся рационально использовать умения и навыки выполнения тождественными преобразованиями выражений за счет:

включения тождественных преобразований в контекст деятельности по решению задач на: нахождение значения выражения, исследование свойств выражения, сравнение нескольких выражений;
корректировки представлений учащихся о содержании основных понятий, относящихся к этим видам задач;
формирования у учащихся знаний о методах и приемах решения этих задач, способах контроля правильности их решения.

систематизация, обобщение и углубление учебного материала, изученного на уроках математики 8 класса;
развитие познавательного интереса школьников к изучению математики;
развитие логического мышления и интуиции учащихся;
расширение сфер ознакомления с нестандартными методами решения алгебраических задач.

Требования к уровню подготовки обучающихся

В результате изучения курса обучающиеся должны:

- существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;

- существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

- как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

- как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

- смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

- сокращать алгебраические дроби, выполнять основные действия с алгебраическими дробями.

- находить значения корней и применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни.

- уметь применять эти знания для преобразования рациональных выражений и выражений, содержащих арифметические квадратные корни.

Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основе формируются представления об аналитических методах математики. Как правило, решение каждой математической задачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Без них не обходятся и на уроках геометрии.

Изучение темы имеет как самостоятельное, так и прикладное значение. Материал линии связан

- с обобщением операций над числами;

- проведением вычислений в общем виде;

- обучением использования буквенной символики в математике и ее приложениях.

Существует два подхода к изучению линии тождеств: алгебраический и функциональный.

Алгебраический подход. Больше внимания уделяется букве и операциям над буквенными выражениями. На выражение смотрят формально, не задумываясь над тем, что скрывается под буквами. Все преобразования опираются на правила действий и свойства действий.

1.Найти значение выражения: 977*43+43*23 = 43*(977+23)

2. При каких значениях переменной истинны равенства:

3(х+5) = Зх +15; (7+х)5 = 7*5+х*5?

3.Выполнить действия 129*70 = (130-1)*70 = 9100 - 70

4.Сократить дробь 9/129 = 9/3*43 = 3/43.

Используя такого рода упражнения, мы не просто подготавливаем учащихся к введению понятия тождественного преобразования, но и готовим их к осознанию целесообразности тех или иных преобразований.

Первое определение тождества дается в 7-м классе.

Определение Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.

Наиболее общим является следующее определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, принадлежащих некоторому множеству , называется тождеством на этом множестве.

Данное определение раскрывает суть тождества с теоретико-функциональной точки зрения.

Например, (а+в) 2 = а 2 +2ав+в 2 - тождество на R;

- тождество при х>0

Некоторые тождества выбираются как основные, с их помощью доказываются остальные тождества и рассматриваются свойства операций, истинность которых принимается в качестве аксиом (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование противоположного элемента и др.)

Тождества-равенства (формулы сокращенного умножения, свойства степени с натуральным показателем и др.)

Тождества-действия (вынесение общего множителя за скобку, приведение подобных слагаемых и др.) или тождественные преобразования.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

К тождественным преобразованиям можно отнести, например, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, сокращение дробей и так далее.

Процесс формирования навыков

Тождественных преобразований

Содержание линии тождественных преобразований выделяется в настоящее время достаточно четко. В нее входят: изучение тождеств в числовой системе, их применение к упрощению выражений и решению уравнений, изучение тождеств в классе элементарных функций. Организация изучения отдельных тождеств предполагает использование специальных циклов заданий. Цикл заданий на материале конкретной темы характеризуется соединением в последовательность упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. Применительно к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом. Задания связаны с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла, наряду с исполнительными, входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества.

Задания в цикле разбиты на две группы.

I группа. Задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Это материал для нескольких идущих подряд уроков. Это этап усвоения тождества, запоминания его словесной формулировки, выработки навыка его применения в хорошо видной ситуации.

II группа связывает изучаемое тождество с различными его применениями. Это этап углубленного понимания тождества за счет рассмотрения его в разнообразных ситуациях в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам школьного курса.

Рассмотрим систему упражнений для усвоения тождества

а 2 -в 2 = (а-в) (а+в)

Задания	Методические указания
1 группа 1.Представить в виде произведения: a) m 2 -n 2 в) с 2 - 5 2 с) 196- к 2	Формируется структура изучаемого тождества, уточняются связи между его словесным выражением и символической формой. Идет работа не только с буквенными, но и буквенно-числовыми выражениями.
2.Проверить справедливость равенства: (10 2 -1)(10 2 +1) = 10 4 -1	Задание направлено на формирование навыка двустороннего преобразования
3. Раскрыть скобки в выражении: (4ху + 5х 2 )(4ху - 5х 2 )	Идет отработка применения тождества
4.Вычислить: 25 2 -24 2 ; 49*51	Эта группа упражнений углубляет представление об операции подстановки и развивает навыки ее применения
5.Разложить на множители: х 4 -у 4 ; 16(ав) 2 -(а-в) 2	Изучаемое тождество применяется дважды.
6.Упростить: (а+в) 2 - (а-в) 2	Переосмысление изучаемого тождества в терминах отношений между компонентами арифметических действий.
2 группа 1.Разложить на множители: х 2 -5 2.Исключить иррациональность в знаменателе дроби: 3.Доказать, что если к - нечетное число, то к - 1 кратно 4 4.Функция задана выражением х 2 + 2\| х \| + 1 f (х) =------------------ х 2 - 1 Упростить, раскрыв знак модуля.	Идет привлечение новой операции - извлечение корня. Задания предполагают наличие уже сформированных навыков использования изучаемого тождества для разности квадратов. Цель предлагаемых заданий - углубить понимание тождества за счет рассмотрения разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.
5. Решить уравнение: х 3 - 4х = 15 (*)	(*) х 3 - 9х = 15 - 5х х(х-3)(х+3) = 5(3-х) х=3. или х(х+3) = -5. Но уравнение х(х+3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому х =3 - единственный корень уравнения. Здесь использование тождества для разности квадратов составляет лишь часть решения уравнения, являясь ведущей идеей проведения преобразований.

В курсе основной школы рассматриваются алгебраические выражения, то есть выражения, которые не содержат над переменными никаких действий, кроме арифметических операций, операций извлечения корня и возведения в степень с рациональным показателем (см. табл. 1). Новому преобразованию начинаем обучать, если у учащихся уже сформирована база для их выполнения (см. табл. 2).

Формирование навыков тождественных преобразований более быстро протекает, если учитель добивается от учащегося устного выполнения некоторых преобразований не только при устном счете, но и в процессе решения задач.

Полезно также иметь в виду, что всякий раз, когда возникает необходимость в тождественном преобразовании, мы имеем дело с выражением, область определения которого задана. При выполнении преобразования она может расширяться или сужаться.

2. - сузилась

Этого можно избежать, если осуществлять преобразования на области определения исходного выражения:

Доказательство тождеств

В процессе обучения у учащихся должны быть сформированы навыки доказательства тождеств следующими способами.

Если надо доказать, что А=В, то можно

1. доказать, что А - В = О,

2.доказать, что А/В = 1,

3. преобразовать А к виду В,

4. преобразовать В к виду А,

5. преобразовать А и В к одному виду С.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций. Иногда в доказательстве привлекаются геометрические понятия и методы. Геометрические доказательства не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей.

Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:

а) Не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правила действий с многочленами, свойств степеней с натуральными показателями. Например,

а к а р = (а ·а·······а) (а ·а········а) = а ·а········а = а к+р

к раз р раз к+р раз

б) Полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств - тождества сокращенного умножения. Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умножжения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию.

Пример Для тождества учитель может предложить следующую иллюстрацию:

a	b	c
a	a 2	ab	ac
b	ab	b 2	bc
c	ac	bc	c 2

в) Полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида Ψ(х) = а, где Ψ - изучаемая элементарная функция. Такие доказательства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем и логарифмической функции. Например, при доказательстве свойства арифметического корня

будем опираться на переформулировку определения арифметического квадратного корня: для неотрицательных чисел х и у равенства у = и

у 2 = х равносильны, поэтому (1) равносильно ( ) 2 = ( ) 2 (2). Откуда следует, а в = ( ) 2 ( ) 2 = а в.

Прием доказательства, который здесь использовался, применяется довольно редко, тем не менее, необходимо подчеркнуть, что основная идея доказательства состоит в сопоставлении двух операций (или функций) - прямой и обратной к ней, что найдет применение уже в старшей школе.

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов

тождественных преобразований выражений в основной школе

Линия	Алгоритм и приемы вычислений
Целые выражения Виды целых выражений (одночлен, многочлен), их степень, стандартный вид, частные случаи, формулы сокращенного умножения. Действия с целыми выражениями: разложение многочлена на множители; выделение полного квадрата в трехчлене.	1. Алгоритмы выполнения основных действий с целыми выражениями. 2. Приемы разложения многочлена на множители. 3. Специальный прием выделения полного квадрата в трехчлене. 4. Обобщенный прием упрощения целого выражения. 5. Приемы доказательства тождества.
Рациональные выражения Основное свойство дробного выражения и следствия из него. Сокращение дробных выражений. Действия с рациональными выражениями.	6. Приемы записи преобразований рациональных выражений. 7. Приемы использования аналогии с действиями над рациональными числами в общих и частных случаях. 8. Обобщение приемов 4 и 5.
Иррациональные выражения Основное свойство корня, простейшие преобразования корней. Действия с корнями, возведение выражения в степень с дробным показателем.	9. Специальные приемы основных преобразований арифметических корней. 10.Приемы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем. 11.Прием доказательства неравенств. 12.Обобщение приемов 2, 4, 5 и 11.

Задание к лекции

Проанализировав школьные учебники составить таблицу тождественных равенств с указанием множества, на котором оно выполняется.

Пример , М₁ – те х , для которых имеет смысл f(x).

Методика изучения тождественных преобразований в курсе алгебры 7-9 класса.

Формирование навыков применения конкретных видов преобразований.

Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований.

Тождественные преобразования и вычисления показательных выражений.

Список использованной литературы.

Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.

Формирование навыков применения

конкретных видов преобразований.

Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.[2]

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным.

Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то

основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности, но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.[3]

Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований.

Цикл упражнений характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого

группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую группу заданий циклов должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры и начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов, поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этого материала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются из состава применяемых средств обоснования.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций.

Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, творческой инициативы.

Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют

формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.

Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и

понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств cоответствующих действий.

Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, расширяется.[3]

Тождественные преобразования и вычисления показательных выражений.

Определение: Функция, заданная формулой

(где , ), называется показательной функцией с основанием .

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения – множество действительных чисел.

2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

3. При функция возрастает на всей числовой прямой; при

функция убывает на множестве.

4. При любых действительных значениях x

и y справедливы равенства

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел.[1]

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

Автор: Салюк Елены Николаевны,

учителя математики ГОУ ЛНР

Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа……………………………………..6

1.1. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований…………………………………………………………………………….6

1.2. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований .…….………………………….………..………….5

Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений……………………………. …………………13

2.1. Обобщение понятия степени………………………. …………..13

2.2. Показательная функция…………………………………………..15

2.3. Логарифмическая функция…. ………………………………….16

Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений на практике. 19

Список использованной источников…………………………………….25

В ВЕДЕНИЕ

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV – V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются различные виды тождественных преобразований и вычислений показательных и логарифмических выражений и методы их решения.

Целью работы является разработка методики изучения учащимися тождественных преобразований и вычислений показательных и логарифмических выражений в школе.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :

проанализировать действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики тождественных преобразований и вычислений показательных и логарифмических выражений ;

изучить стандарты образования по данной теме;

изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;

подобрать теоретический материал, связанный с тождественными преобразованиями и вычислениями показательных и логарифмических выражений ;

рассмотреть основные методы и приемы тождественных преобразований и вычислений показательных и логарифмических выражений ;

подобрать примеры тождественных преобразований и вычислений показательных и логарифмических выражений для демонстрации излагаемой теории.

Актуальность указанной темы обусловлена важностью усвоения темы тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений , так как является одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе.

Практическая направленность работы заключается в том, что изложенные в ней материалы могут быть полезны в педагогической практике учителей.

Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа.

1.1. Формирование навыков применения конкретных видов преобра зований .

Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

1.2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований.

Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Пример 1 . Вычислить:

Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоении особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию , для которой данное уравнение представимо в виде ;

б) произвести подстановку и решить уравнение ;

в) решить каждое из уравнений , где – множество корней уравнения .

При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для . Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.

Пример 2 . Решить уравнение .

Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход к алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном примере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в) как самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойств изучаемой элементарной функции.

Пример 3 . Решить уравнение:

Эти уравнения сводятся к уравнениям: а) или ; б) или . Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание предыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе цикла упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.

Таким образом, приходим к классификации заданий в циклах, относящихся к решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию:

1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида и имеющие простой, общий по форме ответ: ;

2) уравнения, сводящиеся к уравнениям , где – целое число, или , где ;

3) уравнения, сводящиеся к уравнениям и требующие явного анализа формы, в которой записано число .

Аналогично можно классифицировать задания и для других элементарных функций.

Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.

Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: , где , – целые числа.

ГЛАВА 2.

Тождественные преобразования и вычисления

показательных и логарифмических выражений

2.1. Обобщение понятия степени.

Определение: Корнем -ой степени из чиста называется такое число, -я степень которого равна .

Согласно данному определению корень -ой степени из числа – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке эта функция при любом возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение для любого имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числа и обозначают ; число называют показателем корня, а само число – подкоренным выражением. Знак называют так же радикалом.

Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа называют неотрицательное число, -я степень которого равна .

При четных функция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .

Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

Замечание 1: Для любого действительного

Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем , а корень третьей степени называют кубическим корнем .

Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:

Степень с рациональным показателем.

Выражение определено для всех и , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел , и любых целых чисел и справедливы равенства:

Отметим так же, что если , то при и при .

Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

2.2. Показательная функция.

Определение: Функция, заданная формулой (где , ), называется показательной функцией с основанием .

Сформулируем основные свойства показательной функции.

Область определения – множество действительных чисел.

Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

При функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает на множестве .

Методика преподавания тождественных преобразований в школьном курсе математики. Показательная и логарифмическая функции, их основные свойства, используемые при тождественных преобразованиях. Решение задач с использованием тождественных преобразований.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	09.09.2012
Размер файла	139,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественные преобразования показательной и логарифмической функции, рассмотрена методика преподавания их в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную и логарифмическую функции, их основные свойства, используемые при тождественных преобразованиях.

Третья глава - решение примеров и задач с использованием тождественных преобразований показательной и логарифмической функции.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т.д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому - статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.

преобразование логарифмический тождественный показательный

1 . Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа

Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования - это преобразования выражений, и равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным.

Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности, но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

1. 2 Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации любой системы заданий - предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства - упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую группу заданий циклов должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел. Приведем примеры таких заданий.

Пример 1. Вычислить:

Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий - в освоении особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию , для которой данное уравнение представимо в виде ;

б) произвести подстановку и решить уравнение ;

в) решить каждое из уравнений , где - множество корней уравнения .

При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для . Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению. Пример 2. Решить уравнение .

Первый способ:

Второй способ:

Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход к алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном примере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в) как самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойств изучаемой элементарной функции.

Пример 3. Решить уравнение:

Эти уравнения сводятся к уравнениям: а) или ; б) или . Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание предыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе цикла упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.

Таким образом, приходим к классификации заданий в циклах, относящихся к решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию:

1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида и имеющие простой, общий по форме ответ: ;

2) уравнения, сводящиеся к уравнениям , где - целое число, или , где ;

3) уравнения, сводящиеся к уравнениям и требующие явного анализа формы, в которой записано число .

Аналогично можно классифицировать задания и для других элементарных функций.

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры и начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов, поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этого материала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются из состава применяемых средств обоснования.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций.

Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, творческой инициативы.

Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.

Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:

где , - целые числа.

1. 3 Программа по математике

Читайте также: