Методика изучения комбинаторики в школьном курсе математики

Обновлено: 01.07.2024

Проблема включения комбинаторных задач в школьный курс математики стала предметом дискуссий с середины 60-х годов прошлого столетия. Это обусловливалось тем, что на смену концепции строгого детерминизма в различных областях научного знания пришли закономерности случайных явлений.

В связи с этим получили новую трактовку различные законы физики, астрономии, химии, биологии, и т.д.

Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и ее законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах теории вероятностей.

Звездная астрономия, исследования распределения материи в пространстве, распределении во времени и на поверхности Солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в систематическом использовании статистических представлений и разнообразного математического аппарата теории вероятностей.

Еще со времен А. Кетли биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теорико-вероятностные закономерности. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют для своего осмысливания теорико-вероятностных рассуждений. Попытки игнорирования этих представлений приводили к искажению природы и отказу от естественного и правильного объяснения результатов опытов.

Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы, определение корреляционных связей между различными величинами, определение нормы и многое другое, требует применения законов математической статистики.

Понимание природы химических реакций, динамического равновесия невозможно без статистических и вероятностных представлений. Почти вся физическая химия, ее математический аппарат исходит не из феноменологических представлений о материи как сплошной среде, а из ее молекулярного, атомного и субатомного строения.

В последнее время статистические методы исследования все более привлекаются к историческим исследованиям, особенно в археологии. Выяснение национальных принадлежностей этих захоронений уже проводится с привлечением статистических методов.

Статистический подход давно используется и для расшифровки надписей на давно умерших языках. Идеи, руководившие Ж Шампольоном при его расшифровке иероглифических текстов, являются в своей основе статистическими. Этот же подход сохраняется и теперь, когда приступают к изучению текстов народов майя и других еще не расшифрованных письмен. Искусство шифрования записей и их дешифровки также основано на использовании статистических закономерностей языка.

Учет статистических закономерностей необходим и при изучении повторяемости слов и букв, распределении ударений в словах, вычислении информативности языка конкретных писателей и поэтов.

Экономика также не остается в стороне от глубоких и всесторонних статистических исследований. Вопросы перспективного планирования производства самым непосредственным образом связаны со случайными изменениями массового спроса. Для того чтобы эти изменения предусмотреть, нужно научиться на опыте прошлого, предвидеть будущее. Чтобы выяснить, как увеличить доходы государства и одновременно поднять жизненный уровень граждан, необходимо тщательно проанализировать огромный статистический материал и из него сделать правильные выводы.

В связи с вышесказанным, формирование представлений о статистических концепциях является одной из задач общего образования.

Анализ зарубежного опыта свидетельствует о том, что эта задача может успешно решаться.

Так, во французских школах большое значение уделяется изучению теории вероятностей и статистики, которая не содержит ни формальной теории, ни технически сложных задач. Все понятия в этом курсе вводятся естественным образом при рассмотрении соответствующих примеров из реальной жизни, а не с помощью формальных определений, т.е. преподавание ведется на доступном ученику уровне.

В процессе изучения данного раздела японские школьники учатся целенаправленно собирать данные, располагать их в виде таблиц, чтобы усмотреть закономерность в их поведении (частота распределений по гистограмме, относительная частота и выборочная функция распределения: смысл среднего значения и разброса случайной величины). Затем вводится понятие вероятности как относительной частоты, полученной в результате большого числа наблюдений и проб.

В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:

1. Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.

2. Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.

3. Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.

4. Математическое ожидание. Дисперсия и закон больших чисел (доказательство в форме теоремы Чебышева).

Возможность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики нашла отражение в целом ряде диссертационных исследований 70-80 годов прошлого века.

Выделению сквозной вероятностно-комбинаторной линии в школьном курсе математики посвящены исследования Л.М. Кабековой, А.Я. Дограшвили, З.П. Самигулиной, Л.Бычковой. В работах данных авторов приводятся аргументы в пользу совместного изучения элементов комбинаторики и теории вероятностей, связанных как обособленностью элементов комбинаторики от других тем, так и особенностью их содержания. В связи с этим, на усвоение комбинаторики тратится много времени, что не позволяет глубоко изучить вопросы теории.

Особый интерес представляет работа А.Я. Дограшвили, посвященная формированию у учащихся восьмилетней школы умений и навыков решения комбинаторных задач. Предложенная автором система комбинаторных и вероятностных понятий предусматривает ознакомление учащихся со следующими вопросами: сочетания, число сочетаний, упорядоченная пара, размещения, перестановки; опыт, его исходы, равновозможность исходов; случайное событие, благоприятствующие ему исходы опыта; вероятность события, невозможные и достоверные события; среднее арифметическое; геометрические вероятности.

Анализ программного содержания школьного курса математики позволил автору сделать вывод, что задачи вероятностного и комбинаторного характера разбросаны по всему курсу математики восьмилетней школы и не приведены в систему.

В исследовании предпринята попытка привести задачи комбинаторного и вероятностного характера к определенному единству по классам и создать определенную систему задач указанного типа соответствующую действующей в то время программе по математике. Основу этой системы составляют этапы, учитывающие, прежде всего возрастные особенности учащихся.

Автор полагает, что в классах уровень знания учащихся в указанном направлении определяется тем, что не превышает их сферу чувств.

В старших же классах от учеников требуется уже логическое мышление, которое опирается на метод неполной индукции: ученики высказывают гипотезы, а затем производят их проверку.

Изучение понятий комбинаторики и теории вероятностей в четвертом классе согласовано с изучением множеств, при этом процесс делится на два этапа. На первом рассматривается одно множество, содержащее небольшое число элементов, устанавливается связь между количеством элементов и количеством выделенных пар.

На втором этапе рассматриваются два разных множества, содержащие малое число элементов, и составленные из них всевозможные пары. Это обеспечивает усвоение учащимися понятия декартова произведения.

В четвертом и пятом классах учащиеся уже решают комбинаторно-вероятностные задачи, используя предложенные правила, закрепляют знания пройденного материала по вопросам: множества, часть и дроби, их свойства, отрезок, луч, ломаная и т. д.

В шестом классе ученики пользуются для решения комбинаторных задач уже известными им правилами. Задачи, требующие применения общих формул, автор предлагает включить в 7-8 классы.

С методической точки зрения представляет интерес сам процесс решения комбинаторных задач, который автор представляет следующими этапами:

1. Изучение условия задачи. Здесь, прежде всего, необходимо четко выявить, что является элементами рассматриваемого множества. Особое внимание при решении комбинаторных задач обращается на то, существен или нет порядок расположения элементов.

2. Вычисления. На этом этапе проводится требуемый расчет: либо посредством систематического перебора, либо с применением рассмотренных выше правил подсчета.

3. Представление решения задачи. На этом этапе требуется представить итоговый результат в наглядной форме и объяснить его смысл. В некоторых случаях на этом этапе возможна постановка вопроса о практическом применении полученного математического результата.

В диссертациях В.Ф. Волгиной и Л.Ю. Березиной обосновывается целесообразность использования графовых моделей при решении комбинаторных задач.

Заслуживают внимания требования к системе комбинаторных задач, которые предлагает автор.

2. Согласование комбинаторных задач с изучаемым материалом.

3. Установление связей между комбинаторными понятиями.

4. Установление связей комбинаторики с другими учебными дисциплинами.

5. Организация систем задач, допускающая индивидуальное обучение.

Новый этап исследований, связанный с возможностью включения комбинаторных и вероятностных задач в программу отечественной общеобразовательной школы, относится к последнему десятилетию прошлого века.

Начиная с 1990 года появляется ряд работ, в которых комбинаторные задачи рассматриваются как средство развития мышления учащихся.

К числу таких работ относится диссертация О.С. Медведевой, предметом исследования которой стало влияние комбинаторных задач на развитие мышления учащихся 5-6 классов.

Автор вводит понятие комбинаторного стиля мышления, существенной чертой которого является гибкость, вариативность и критичность.

На примере конкретных комбинаторных задач показывается, что процесс их решения создает благоприятные условия для формирования умения рассуждать, использовать разнообразные методы, направленные на поиск различных решений задачи; представляет возможности для обучения школьников двум основным этапам моделирования - выбору оптимальной математической модели и внутримодельному решению.

Представляют интерес выводы автора, которые связаны с тем, что материал по комбинаторике и теории вероятностей должен естественным образом укладываться в тематику основной школы, т.е. находиться в тесной взаимосвязи с программным содержанием курса, т.к. невозможно беспредельно наполнять курс математики основной школы новым содержанием.

Анкетирование учителей математики г. Оренбурга, Орска, Новотроицка и Гая (108 учителей) показало, что эти разделы либо:

– вообще не изучаются - 30 учителей;

– изучаются факультативно - 56 учителей;

– рассматриваются обзорно - 22 учителя.

В процессе бесед учителя отмечали, что:

– нет связи данных тем с другими разделами курса - 11 учителей;

– комбинаторные задачи не включаются в проверку знаний учащихся - 74 учителя.

Думается, что причины столь неадекватного отношения к вышеуказанным разделам заключаются в том, что:

а) пятиклассники не подготовлены к их восприятию и пониманию;

б) отсутствует методика обучения решению комбинаторных задач.

Другими словами, комбинаторные задачи выполняют в начальном курсе математики скорее контролирующую функцию, нежели обучающую и развивающую.

Хотя еще в 1973 году венгерский ученый Томас Варга доказал в своих экспериментальных исследованиях, что ученики начальных классов способны решать комбинаторные задачи. Более чем в ста школах Венгрии им был проведен эксперимент по обучению младших школьников начальным понятиям вероятности и комбинаторики. Результатом данного эксперимента стало убеждение автора в том, что идея обучения комбинаторике и теории вероятностей может быть реализована в начальной школе.

1. Использование статистических методов в различных областях научного познания обусловило необходимость включения в курс школьной математики элементов комбинаторики и теории вероятностей.

2. Привнесение в школьный курс математики теоретико- множественной линии активизировало исследования российских ученых по разработке сквозной комбинаторно-вероятностной линии для средней школы.

4. Новый этап исследований, связанный с возможностью включения комбинаторных и вероятностных задач в программу общеобразовательной школы как средства развития мышления учащихся относится к последнему десятилетию прошлого века.

5. На современном этапе сделана попытка включить элементы комбинаторики в курс математики V класса. Однако, методика обучения пятиклассников решению комбинаторных задач не разработана и учащиеся не подготовлены к пониманию и усвоению этих вопросов.

Файлы: 1 файл

210243(1).docx

Введение

Однако неразработанной остается методика введения основных комбинаторных понятий. При этом в курс основной школы включает лишь небольшую часть обширного материала, который является очень полезным как для формирования необходимых комбинаторных навыков, так и для развития мышления школьников в общем.

Таким образом, рассмотрение методики введения раздела комбинаторики в школьный курс математики основной школы является востребованным и актуальным.

Глава 1. Особенности изучения комбинаторики в школьном курсе математики средней школы

Целесообразность изучения элементов комбинаторики в начальной школе

Комбинаторика - это раздел математики, в котором в основном занимаются подсчетом числа комбинаций,составленных из определенных элементов.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы.

Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования. Основным недостатком математической подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с реальными объектами.

В условиях современной цивилизации практически каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические данные и т.п.
Актуальность обновления содержания школьного математического образования стала очевидна, так как курс математики недостаточно хорошо готовил выпускников к коллизиям жизни. Практика показывает, что человеку, не понявшему вероятностно-статистических идей в детстве, в более зрелом возрасте они даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом опыт набирается и приобретает статус безусловности.

Значит, назрела необходимость введения элементов комбинаторики теории вероятностей, статистики в школьный курс математики ещё в начальной школе.

К особенностям обучения младших школьников можно отнести то, что в нем много эмпирики и рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой деятельности учащихся. Это требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности. Изучение основ комбинаторики, теории вероятностей, статистики должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

Глубокое и прочное усвоение школьниками основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики важно для формирования их математической культуры. Формирование математической культуры учеников предполагает организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируется умение изучать данные разделы самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению полученных знаний в своей дальнейшей, профессиональной деятельности.

В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе математики.

Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение простейших задач пересчета, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо, выполнение классификации, сортировки, систематизации. Можно выделить следующие типы заданий: подсчёты (задачи, в которых нужно что-либо сосчитать), комбинаторный анализ (все задачи по комбинаторике), анализ дискретных данных (эти задания призваны научить учащихся рациональным способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности данных).

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

Актуальность изучения комбинаторики в курсе математики средней школы

В связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятности как отдельной темы школьного курса школьной математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по комбинаторике и теории вероятности в силу неподготовленности школы к их восприятию. Реформами 80-х годов элементы комбинаторики, теории вероятности и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывается уже почти 40 лет и встречает практически полную поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику школы раздел комбинаторики и теории вероятностей введен лишь номинально. Основными причинами такого положения дел является нетрадиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания ее школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики.

Но самое главное – социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно-обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - осталось невостребованным.

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые комбинаторно-вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью, неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

Для внедрения указанного содержания в практику основной школы разработаны учебно-методические материалы. Ряд учебников, таких как линия учебников Алимова, Дорофеева, Потапова, содержат указанный материал как органическую часть курса. Также к основным школьным учебникам математики (Теляковский, Мордкович и другие) подготовлены специальные вкладыши с подробным теоретическим материалом и подбором задач. Однако неразработанной остается методика введения основных комбинаторных понятий. При этом в курс основной школы включает лишь небольшую часть обширного материала, который является очень полезным как для формирования необходимых навыков, так и для развития мышления школьников в общем.

Таким образом, рассмотение методики введения раздела комбинаторики в школьный курс математики основной школы является востребованным и актуальным.

2.1. Сравнительный анализ изучения раздела комбинаторики в учебной литературе

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных комбинаторных и вероятностно-статистических понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых комбинаторных и вероятностно-статистических моделей в 7-9 классах.

В указанных учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы.

В работе (реф) проведен сравнительный анализ обучения школьников основной школы решению комбинаторных задач, обучающихся с помощью учебника С.М. Никольского и с помощью учебника Г.В. Дорофеева. Дети, наученные составлять дерево возможных вариантов, более осмысленно решали предложенные задачи, отсекая, если нужно, повторяющиеся комбинации. Так, решение задачи, с применением специальных методов, привело к правильному ответу на 37% учащихся больше, чем решение простым перебором.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Изучение вероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения. Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: физика, химия, биология, математика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистической математики. В соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами в программу по математике за курс основной (средней) школы включаются элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. В связи с чем, настоящая статья посвящена обучению учащихся решению комбинаторных задач.

1. Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 461 с.

2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 159 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, доп. – М.: Высш. шк., 2008. – 405 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.

5. Матылыцкий М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2002. – 248 с.

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки.

В нашу жизнь вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Теория вероятностей не обошла и учебные заведения. В соответствии с федеральным компонентом Государственного стандарта образования и программу по математике за курс основной (средней) школы включены элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. В последние годы в заданиях государственной итоговой аттестации (с настоящего года – обязательный государственный экзамен) и единого государственного экзамена по математике предлагаются задачи по теории вероятностей и комбинаторике. Поэтому при обучении математике необходима специальная подготовка по обучению учащихся решению таких задач.

В связи с чем цель нашего исследования: выделить основные методы и типы комбинаторных задач и подобрать комплекс таких задач.

В настоящее время практически во всех учебных пособиях по теории вероятностей выделяют следующие основные методы решения комбинаторных задач: перебор всех возможных вариантов (систематический перебор, перебор с ограничениями), полный граф, дерево вариантов (граф-дерево), таблица вариантов, правила произведения и суммы. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Формулы для подсчёта числа перестановок, размещений и сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Комбинированные задачи.

Проведенный анализ научно-методической литературы 4 позволил выделить следующие типы комбинаторных задач:

· задачи, в которых требуется перечислить все решения;

· задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию;

· задачи, в которых требуется подсчитать число решений.

Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов, по мнению Н.Ш. Кремера [4], можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

- подсчет методом непосредственного перебора;

- подсчет с использованием комбинаторных принципов;

- подсчет с использованием формул комбинаторики.

Для примера приведем несколько задач из составленного нами комплекса.

Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Сидоров, Петров, Иванов и Шилов, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим сначала все пары, в которые входит Сидоров (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: СП, СИ, СШ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Петров, но не входит Сидоров. Таких пар две: ПИ, ПШ.

Далее составим пары, в которые входит Иванов, но не входит Сидоров и Петров. Такая пара только одна: ИШ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Шилов, уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар: СП, СИ, СШ, ПИ, ПШ, ИШ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Пример 2. Три подруги – Юля, Света и Катя – приобрели два билета на показ мод на 1-е и 2-е места первого ряда. Сколько у подруг есть вариантов занять эти два места в зале?

Если на показ мод пойдут Юля и Света, то они могут занять места двумя способами: 1-е место – Юля, 2-е – Света, или наоборот. Аналогично Юля и Катя, Света и Катя. Таким образом, мы получили 6 вариантов: ЮК, КЮ, ЮС, СЮ, КС, СЮ.

Пример 3. При встрече представителей большой восьмерки они обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Данную задачу возможно решить методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить.

Каждому представителю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом: например, число 24 означает что 2-ой представитель пожал руку 4-му. Причем число 35 и 53 означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей:

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23, 24, 25, 26, 27, 28,

Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.

Пример 4. Из класса нужно выделить одного дежурного, девочку или мальчика. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 20 мальчиков и 18 девочек?

Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое – m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n+m способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.

Пример 5. Преподаватель хочет назначить троих студентов для уборки аудитории. В группе двадцать семь студентов. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний (выбор любых 3 элементов из 27):

Пример 6. В классе из 25 учеников нужно выбрать четырех для научной конференции. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех учеников не имеет значения, то это можно сделать способами:

В рассмотренных примерах использовали формулу сочетания.

Пример 7. Имеются 3 путевки в санаторий. Сколько вариантов распределения можно составить для 5 претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

Пример 8. Расписание одного дня содержит 6 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 12 дисциплин.

Решение. Выбор размещения определяется тем, что при построении расписания необходимо учитывать порядок следования уроков.

Примеры 7, 8 решались по формуле размещения.

Пример 9. Сколькими способами семь конфет разных марок можно расставить на прилавке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных конфет. По формуле получаем:

способов осуществить расстановку конфет.

Пример 10. На библиотечной полке стоят 10 книг, причем 8 - книги разных авторов и еще 2 книги автора. Сколькими способами можно расставить эти книги так, чтобы книги одного автора стояли рядом друг с другом?

Временно объединим три книги одного автора в один объект, всего получим 9 объектов - 8 книг и 1 объект из двух книг. Для них число перестановок будет Теперь три книги переставим между собой способами. По правилу произведения получаем что число способов расставить книги нужным образом равно:

При подсчете конечного результата была использована формула перестановки.

Разработанный нами комплекс задач будет полезен, как учителям математики, так и студентам во время прохождения педагогической практики.

Читайте также: