Метод секущих хорд кратко

Обновлено: 04.07.2024

где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество.
Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня x_ПP , которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε , то есть

│x* – x_пр │ ε также называют допустимой ошибкой , которую можно задать по своему усмотрению.

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x) , в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0 .
Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x) . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения.

Для примера рассмотрим задачу решения уравнения

где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде

Для графического отсечения корней достаточно построить график функции

Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8) .

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1 . Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.

то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.
Теорема 2 . Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0 .

Уточнение корней

Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов:

Метод последовательных приближений (метод итераций)

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.
Функциональное уравнение может быть записано в виде

Функцию f(x) называют сжимающим отображением .

Последовательность чисел x₀, x₁ ,…, x_n называется итерационной , если для любого номера n>0 элемент x_n выражается через элемент x_n-1 по рекуррентной формуле

а в качестве x₀ взято любое число из области задания функции f(x) .

Реализация на C++ для рассмотренного выше примера

Уравнение может быть записано в форме

Метод Ньютона (метод касательных)

Если известно начальное приближение x₀ корня уравнения f(x)=0, то последовательные приближения находят по формуле

Графическая интерпретация метода касательных имеет вид

Реализация на C++
Для заданного уравнения

производная будет иметь вид

Результат выполнения

Метод секущих (метод хорд)

Если x₀ , x₁ - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие

то последующие приближения находят по формуле

Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка закреплен, т.е. вычисление приближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам:

Геометрическая интерпретация метода хорд:

Реализация на C++
В отличие от двух рассмотренных выше методов, метод хорд предполагает наличие двух начальных приближений, представляющих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый корень.

Результат выполнения

Метод половинного деления (метод дихотомии)

Если x₀ , x₁ - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие

то последующие приближения находятся по формуле

и вычисляется f(x_i) . Если f(x_i)=0 , то корень найден. В противном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.

Геометрическая интерпретация метода дихотомии

Реализация на C++

Результат выполнения

Для численного поиска решения также можно использовать генетические алгоритмы.

Рассмотренные ранее методы решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b] .

Метод Ньютона относится к градиентным методам , в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение:

$\varepsilon$

Найти корень на интервале [a,b] с точностью .

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x) , на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осью Х дает приближение корня (Рис. 4.8).

Выберем начальную точку x₀=b (конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осью Х дает нам первое приближение корня x₁ .

Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы

Метод хорд

Метод хорд (то же, что метод секущих) — итерационный метод решения нелинейного уравнения.

Нелинейное уравнение — это уравнение в котором есть хотя бы один член, включающий неизвестное, НЕ в первой степени. Обозначается, как: f(x) = 0.

Метод хорд. Алгоритм

Метод хорд является итерационным алгоритмом, таким образом решение уравнения заключается в многократном повторении этого алгоритма. Полученное в результате вычислений решение является приближенным, но его точность можно сделать такой, какой требуется, задав нужное значение погрешности ε. В начале вычислений методом хорд требуется указать границы области поиска корня; в общем случае эта граница может быть произвольной.

Итерационная формула для вычислений методом хорд следующая:

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не станет истинным выражение:

Геометрическая модель одного шага итераций метода хорд представлена на рисунке:

Метод хорд, в отличие от метода Ньютона, имеет плюс в том, что для расчета не требуется вычисление производных. Но при этом метод хорд медленнее, его сходимость равна золотому сечению:

Метод хорд. Программная реализация

В качестве примера ищется корень уравнения x 3 — 18x — 83 = 0 в области x0 = 2, x1 = 10, с погрешностью e = 0.001. (Корень равен: 5.7051).

x_prev — это x_k-1, x_curr — это x_k, x_next — это x_k+1.

Пусть необходимо найти корень уравнения вида с точностью , если известно, что корень принадлежит промежутку . Графически это означает, что необходимо найти нули
функции — значения переменной , в которых график пересекает ось , и эти значения по условию должны принадлежать промежутку .

Рассмотрим функцию на отрезке (рис. 46.2). График данной функции обязательно пересекает ось в некоторой точке . Наша задача — найти абсциссу этой точки — значение .

Выполним следующие действия:

Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями переменной не станет меньше заданной в условии задачи точности , т.е. . Это означает, что , практически не будут отличаться от .

Выведем формулы для нахождения :

1. Выпишем координаты точек и : .

2. Составим уравнение прямой : .

3. Найдем точку пересечения прямой с осью . Она имеет координаты . Заменим в уравнении на , на 0: .

Выразим . По свойству пропорции .

4. Поскольку для нахождения нужно проводить новую прямую через точки и и находить точку ее пересечения с осью , произведем по аналогии следующую замену: роль будет выполнять , роль . Получим, что .

5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения будем использовать следующую формулу: .

В рассмотренном нами случае при проводимых преобразованиях точка оставалась неподвижной.

Возможен и другой вариант: неподвижной может быть точка (рис. 46.3). В этом случае будем использовать другую формулу: .

Для удобства формулы (1) и (2) можно объединить в одну: , где — абсцисса неподвижной
точки ( или ), — конец отрезка , не являющийся абсциссой неподвижной точки,

Правило выбора неподвижной точки:

Неподвижной точкой является тот конец отрезка , для которого знак функции в этой точке совпадает со знаком второй производной функции в той же точке.

Пример №46.2.

Найти приближенное решение уравнения на , использую метод хорд с точностью .

Решение:

Составим функцию .

1. Выберем неподвижную точку. Для этого найдем и :

. Найдем знак функции и второй производной на каждом конце отрезка: в точках 0 и 1.

. Видим, что при знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно, — абсцисса неподвижной точки.

2. Поскольку при решении задачи расчеты получаются достаточно громоздкие, их удобно выполнять с использованием компьютера, например, программы Microsoft Excel.

В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант:

В столбце будет указываться номер выполняемого шага . Первое значение всегда выбираем равным 0.

В столбце будут располагаться значения и т.д. В качестве в ячейку занесем значение того конца отрезка, который не является абсциссой неподвижной точки. В нашем случае это .

В столбце будут содержаться значения функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (3). Для нахождения в ячейку введем формулу. Поскольку , а первое значение находится в ячейке , то формула будет иметь вид: .

В столбце будет осуществляться проверка того, не превосходит ли заданной точности . Эта проверка будет начинаться с , и ячейка не заполняется.

Столбцы и — вспомогательные. Поскольку в формуле (3) используется и , то их можно один раз записать соответственно в ячейках и и в дальнейшем делать на них абсолютные ссылки.

После заполнения второй строки, она будет иметь вид:

Начнем заполнение третьей строки. Номер шага в ячейке будет равен 1.

Для расчета в ячейке применим формулу (3), которая в программе Microsoft Excel примет вид: . Ссылки на ячейки и содержат знак , т.е. являются абсолютными, и при копировании данной формулы меняться нс будут.

Для расчета в ячейке достаточно просто скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: .

В ячейку занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением . Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше , то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.

После заполнения третьей строки, она будет иметь вид:

Достоинства программы Microsoft Excel с том, что нам достаточно ввести только формулы, все расчеты машина произведет сама. Видим, что содержимое ячейки больше заданной точности , следовательно, расчеты следует продолжить.

Все основные формулы уже введены, в дальнейшем будем использовать только возможности автозаполнения. После выполнения следующих шагов таблица будет иметь вид:

Видим, что в ячейке содержимое 0,006932015 стало меньше заданной точности , следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять
последнее с точностью 2 знака после запятой. В нашем примере это .

Ответ: .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: