Метод перемещений строительная механика кратко

Обновлено: 08.07.2024

Строительная механика стержневых систем
В курсе "Сопротивление материалов" традиционно излагается метод сил как
универсальный способ расчета статически неопределимых стержневых
систем. Признавая важность изучения метода сил в формировании
представлений будущего инженера о расчетах конструкций на прочность,
необходимо учитывать, что в современной расчетной практике доминирует
альтернативный подход, называемый методом перемещений. Именно метод
перемещений стал историческим предшественником наиболее мощного
современного метода анализа напряженного состояния конструкций - метода
конечных элементов (МКЭ). Применению МКЭ способствует широкое
распространение индустриальных программных комплексов, реализующих
этот метод.
Изучение расчета рам с использованием метода перемещений является
ключевым для дальнейшего понимания идей МКЭ и подготовки к его
применению. В данном курсе изложение метода перемещений ограничено
задачей изгиба плоских рам, однако, при необходимости технику применения
этого метода, весьма легко распространить знания на другие задачи расчета
стержневых систем. Плоские рамы являются наиболее подходящим объектом
для иллюстрации идей метода перемещений, поскольку в случае сложных
рамных
конструкций
преимущества
метода
становятся
особенно
очевидными.

1. ИДЕЯ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В методе сил в качестве основных неизвестных, через которые выражаются
все искомые величины, принимают или реакции связей, или внутренние
силы X в некоторых сечениях конструкции. Для расчета сложных (много раз
статически неопределимых) систем разработан альтернативный подход,
называемый методом перемещений. В методе перемещений за основные
неизвестные принимают перемещения характерных сечений или узлов
конструкции. Эти перемещения выбирают так, чтобы через них можно было
выразить все искомые величины: деформации, внутренние силы, напряжения
во всем объеме конструкции.
Рассмотрим идею и технику метода
перемещений на примере расчета
Z1
плоских рам. Так же, как в методе сил,
M
будем пренебрегать изменением длин
стержней, считая их нерастяжимыми.
Рассмотрим простейший пример:
Z
1
Деформированное состояние рамы
определяетcя одним углом поворота Z1.
Если угол поворота Z1 определен, то
известны
прогибы
стержней
и,
следовательно, внутренние силы.
Z1

Чтобы
рассчитать
раму,
достаточно
предварительно решить вспомогательную задачу
о деформациях балки при принудительном
повороте торцевого сечения на угол, равный
единице. Момент, необходимый дня создания
единичного угла поворота торца, обозначим k11. В дальнейшем коэффициент
k11, значение которого зависит от параметров балки, будем называть
жесткостью балки при перемещении по направлению 1.
Используя свойство линейности упругой системы, запишем очевидное
уравнение, выражающее равенство общего приложенного момента сумме
моментов, действующих на каждую балку:
k
(1)
11
k11( 2) k11(3) Z1 M
Здесь верхний индекс коэффициентов k11 указывает номер балки.
Из данного уравнения определяется угол поворота Z1 и далее все силовые
факторы, прогибы и напряжения.
Рассмотренный пример особенно прост потому, что нагрузка приложена к
узлу рамы.

Рассмотрим чуть более сложную задачу.
Теперь на раму действует внеузловая
нагрузка.
Деформированное состояние каждой балки
определяется
суперпозицией
двух
состояний. Первое состояние - это прогибы
балки, обусловленные перемещениями ее
F1
Z1
Z1
F2
Z1
концевых сечений (в рассматриваемой задаче - углом поворота Z1). Второе
состояние - это прогибы от внешней нагрузки, приложенной непосредственно
к балке, при отсутствии перемещений концевых сечений. Таким образом,
приходим к необходимости решения второй вспомогательной задачи о
деформациях балки с жестко защемленными торцами при действии внешней
силы.
Для формализации
перемещений.
вводится
понятие
основной
системы
метода
Основная система метода перемещении образуется из заданной
путем введения дополнительных связей, устраняющих подвижности
узлов.

Реакцию дополнительной связи будем считать положительной, если ее
направление совпадает с направлением положительного перемещения.
Таким образом, положительные направления узловых перемещений и
узловых реакций согласованы. Очевидно, что для рассматриваемой рамы
k1F Dt2j
0 Q
0
EAj α j D t0 j
N
hj
M
M
Q
lj
EI
3 j α D t
j
nr, j
2 hj
3 EI h 1l 1 α D t
j j j
j
nr, j
2
EAj α j D t0 j
M
Q
N
Dt2j
Dt1j
lj
N
M
D t nr, j D t1 j D t 2 j
Dt1j
r l j
M
ξ
Fl j ξ2l ξr 1 r
2
hj
Dt2j
M
r l j
Fl j
ξ ξ 1 ξr
2 l r
ql / 8
Тип 2
M
r l j
lj
M ξl (2 3ξl) EI j
α j D t nr , j
hj
F
2
j
Тип 3
l l j
Fl j ξ2l ξr
q
ql j / 2
l + r = 1
r l j
2Fl j ξ2l ξ2r
Fξ2r (1 2ξl )
Dt2j
Dt1j
M
Fl j ξ2r ξl
ql j / 2
5 ql
8 j
Сосредоточенный момент
Изменение
температуры
EAj α j D t0 j
hj
N

Таким образом
Получены жесткости типового элемента плоских рам и реакции в заделках
элемента при действии внешних сил. Эти результаты позволяют составлять
уравнения метода перемещений для расчета рам. Решая эти уравнения
находят найти перемещения узлов
После определения узловых перемещений, как правило, требуется
построить эпюры изгибающих моментов в раме.
Решая вспомогательные задачи, мы установили распределение изгибающих
моментов в типовом элементе при различных видах его деформации и
нагружения.
Вспомним, что для формирования уравнений метода перемещений мы
рассматривали состояния основной системы при действии внешних сил и при
единичных перемещениях узлов. Эпюры моментов для каждого из этих
состояний могут быть построены с привлечением найденных решений
вспомогательных задач.
Обозначим функцию моментов в основной системе от заданных внешних сил
через МF, функции моментов в основной системе при единичных
перемещениях узлов через Mj, где индекс j указывает номер (направление)
узлового перемещения.
Моменты в рассчитываемой раме определяются путем суперпозиции:
n
M MF M jZ j ,
j 1
где Zj - вычисленные узловые перемещения, n - общее число введенных
узловых перемещений (степень кинематической неопределимости
конструкции).

Сравним метод сил (МС) и метод перемещений (МП):
1) Оба используются для расчета статически неопределимых систем.
При принятии одинаковых допущений, оба приводят к единому
результату. При использовании в разных областях дополняют другдруга.
2) В МС неизвестными являются силы, а в МП – перемещения. При
расчете одной и той же системы число их неизвестных часто бывает
разным. Значит, одни системы выгоднее рассчитывать МС, другие МП.
3) В МС ОС получается удалением связей, а в МП – введением
связей. В МС вариантов ОС много, а в МП она единственна.
4) Единичные состояния (ЕС) в МС определяются воздействием
единичных сил, в МП – единичных перемещений.
5) В МС необходимые эпюры в ОС строятся обычным способом, а в
МП – по готовой таблице.
6) Коэффициенты канонических уравнений в МП определяются
проще (из уравнений статики).
7) Многие боковые коэффициенты системы канонических уравнений
МП равняются нулю, что упрощает ее решение и т.д.

ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассчитаем раму, изображенную на рисунке.
Рама один раз кинематически неопределима.
Образуем
основную
систему
(O)
метода
перемещений, запретив угол поворота узла.
Составим каноническое уравнение, имеющее вид:
k11 Z1 k1F 0
Для этого рассмотрим состояние основной системы
под воздействием внешней силы (F), построим эпюру
изгибающих моментов МF и найдем реакцию
1
дополнительной связи k1F F L
8
O
F
MF

Далее рассмотрим состояние основной системы
при единичном угле поворота узла (1), построим
соответствующую эпюру моментов М1 и найдем
момент в дополнительной заделке:
k11 k
(1)
11
k
( 2)
11
EJ
8
L
1
Полный реактивный момент в заделке равен
нулю, поэтому:
EJ
1
8
Z1 F L 0.
L
8
Найдем угол поворота узла рамы:
1 F L2
Z1
.
64 EJ
Вычислим изгибающие моменты в заданной
раме по правилу суперпозиции:
1 F L2
.
M M F M 1
64 EJ
M1

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рисунке.
Проверка расчета осуществляется так же, как в методе сил, вычислением
перемещения закрепленного сечения с помощью интеграла Мора

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ
Идея расчета конструкций с использованием перемещений узлов в качестве
основных искомых величин получила развитие в наиболее мощном
современном методе анализа напряженного состояния конструкций - методе
конечных элементов (МКЭ). При расчете с помощью МКЭ конструкцию
представляют как совокупность конечных (типовых) элементов, связанных
между собой в узлах. Специалистами разработаны многочисленные типы
конечных элементов, предназначенных для расчета конструкций по
стержневым, оболочечным, трехмерным и комбинированным моделям.
Важно, что для любого конечного элемента методами теории упругости
устанавливается связь между перемещениями узлов (e) и действующими
в узлах силами (e):
(e)
(e)
(e)
k Z
F
Здесь [k](e) - матрица жесткости конечного элемента, верхний индекс
указывает на отношение величины к отдельному конечному элементу.
Данное соотношение аналогично по смыслу соотношению для типового
элемента рамы.
К сожалению, решить матричные уравнения МКЭ относительно перемещений
(e) невозможно, т.к. в вектор (e) помимо известных внешних сил входят
неизвестные силы взаимодействия рассматриваемого элемента с соседними
конечными элементами. Поэтому необходима так называемая процедура
сборки конечных элементов.

Из множества конечных элементов собирается расчетная модель
конструкции, для которой уравнения МКЭ имеют вид, схожий с уравнениями
метода перемещений:
K Z F
здесь - вектор перемещений всех узлов конструкции, т.е. ансамбля
конечных элементов; - вектор внешних нагрузок, приведенных к узлам
конструкции; [К] - матрица жесткости конструкции.
При сборке конечных элементов неизвестные внутренние силы
взаимодействия между элементами взаимно уничтожаются, т.е. исчезают из
уравнений. Система уравнений становится замкнутой.
Заметим, что канонические уравнения метода перемещений приобретают
вид, характерный для МКЭ, если вместо вектора реакции ввести
противоположный вектор =-, компоненты которого следует
трактовать как внешние узловые силы, т.е. силы, приведенные к узлам рамы

Контрольные вопросы
1. В чем сущность метода перемещений ?
2. Что принимается за основные неизвестные в методе перемещений?
3. Признаки расчетных узлов системы.
4. Что такое кинематически неопределимая система (КНС)?
5. Какая система называется кинематически определимой?
6. Что такое степень кинематической неопределимости?
7. Что такое шарнирная система, как она получается и для чего
используется?
8. Как при формировании шарнирной системы учитываются
элементы, удлинениями которых при растяжении (сжатии) нельзя
пренебрегать?
9. Какую рабочую гипотезу вводят в МП для стержней, работающих
преимущественно на изгиб, и каково следствие применения этой
гипотезы (влияние на количество основных неизвестных)?
10. Что такое основная система метода перемещений (ОСМП)?
Сколько основных систем можно составить для заданной системы?
11. Что такое матрица жёсткости стержня?
12. Типы элементов ОСМП, табличные эпюры и способы их
получения
13. Определение основных неизвестных МП и искомых усилий

Возведение зданий и инженерных конструкций осуществляется по техническим регламентам, в которых определяются размеры отдельных частей и самого сооружения.

Параметры всех элементов устанавливаются посредством тщательных расчетов, изложенных в курсах сопротивления строительных материалов, оборудования и инженерных инструментов.

Одно из ключевых мест среди указанных направлений занимает такая научная область, как строительная механика.

В данной дисциплине рассматриваются методы и принципы расчета деформируемых концепций, которые состоят из стержней, брусьев, нитей, а также из оболочек и специальных пластин.

Строительная механика – это комплексная научная сфера, изучающая специальные инженерные разделы. Основной задачей этого направления выступает разработка теоретического фундамента для точного расчета и планирования сооружений.

Способы определения перемещений базируются на использовании работ внутренних и внешних сил. В строительной механике исследуются два вида взаимодействий – действительное и возможное.

Реальным перемещением принято называть движение, которое вызвано силой по назначению ее прямого действия. Формула для этого процесса записывается следующим образом:

$dA = P d \Delta = P \sigma d P $

$a - \sigma P \int\limits_^ PdP - \sigma \frac - \frac $

При формировании методов расчета применяются ключевые принципы теоретической механики, физики и противодействие материалов.

Цель расчетов в строительной механике

Главной задачей расчётов, проводимых методами строительной механики, считается установление возможных неблагоприятных напряжений в элементах конструкций (изгибающих частей, продольных и поперечных сил) и движений точек будущего сооружения (смещений, прогибов и отклонений) от воздействующих на строительный объект нагрузок и других дополнительных действий окружающей среды. По обнаруженным усилиям конструкторы и инженеры могут определить необходимые размеры основных элементов, обеспечивающих требуемую устойчивость сооружения при минимальных финансовых затратах.

Готовые работы на аналогичную тему

Найденные перемещения и возможные риски отдельных точек конструкции помогают установить изменения начальной формы, жесткость элементов, осуществить объективное сравнение компонентов сооружения с ожидаемыми изменениями и обеспечить максимально комфортную эксплуатацию здания.

Особенности метода перемещений

Данный способ определения строительных напряжений базируется на принципе вероятных перемещений. Согласно этой схеме механические элементы находится в равновесии только тогда, когда нахождение всех внутренних и внешних сил на любой плоскости равно нулю:

$V$ – действие внешних сил (примерной нагрузки); $U$ – функционал внутренних сил (напряжений, появляющихся в элементах заданной концепции).

Возможным перемещением в строительной механике принято считать любое бесконечное передвижение, которое совместимо со связями и компонентами системы. Для применения метода перемещений надо выбрать базу, полученную из заданной расчетной схемы посредством отбрасывания той части, в которой устанавливается напряжение, и заменой её неизвестной единицей.

Таким образом, основная концепция в строительной механике представляет собой периодически измененную формулу с единственной степенью свободы. Для выявления необходимого усилия следует в центральной системе задать небольшое положительное движение по направлению отброшенного элемента, получив в результате картину возможных деформаций, называемую эпюрой физических перемещений. Затем уже можно составить выражение итоговой работы всех вовлеченных в данный процесс внешних сил. Так как указанная схема является нестабильной, то усилия в компонентах возникать не будут, работа начальных внутренних сил приравнивается к нулю $(U=0)$. Из выражения перемещений внешних сил при $V=0$ устанавливается требуемое искомое усилие.

Например, определить реакцию опоры $V$ в простой балке под воздействием распределенной нагрузки можно путем отбрасывания опорного стержня, который берет на себя реакцию $V$, и заменить его неизвестной единицей $X$. В итоге получается основная система, где распределенную дополнительную работ заменим равнодействующей $(Q=ql)$. Любой точке в рассматриваемой схеме в направлении внешней силы $X$ предоставим малое перемещение $\Delta x$, в результате наблюдаем эпюру перемещений. Все движения и изменения необходимо задавать малыми, поэтому горизонтальные оси балки нет потребности учитывать. Выражение для определения реакции выглядит так:

$ \Delta_v= \frac \Delta_x$

$x \Delta_x – ql \frac \Delta_x = 0$

$x = \frac \Delta_x = 0 $

Плюсы и минусы метода перемещения

Ключевое преимущество рассматриваемого метода заключается в том, что для каждого обеденного усилия всегда получается только одно уравнение (не надо решать целую систему уравнений).

Недостатками способа перемещений в строительной механике является необходимость изучения многих механизмов (для каждого уравнения выбирается собственная центральная система – инструмент), а также сложности автоматизации вычислительного процесса (применение только при ручном счёте). Поэтому указанный метод при воздействии неподвижной нагрузки используется достаточно редко, однако при перемещении подвижных элементов он находит более широкое применение.

Идея метода перемещений состоит в том, что за неизвестные принимаются не силы, а угловые и линейные перемещения характерных точек системы: z₁, z₂, z₃,…,z_n.

Вместо понятия "статическая неопределимость" вводится понятие "кинематическая неопределимость". За степень кинематической неопределимости принимается сумма неизвестных угловых и линейных перемещений:

В плоских стержневых системах число неизвестных угловых перемещений равно числу незакрепленных в плоскости жестких узлов. Например, для рис. 24 а, , для рисунка 24 б, .

Рисунок 24 – Определение числа угловых перемещений

Число неизвестных линейных перемещений определяется следующим образом:

1 Мысленно в каждый жесткий узел врезается шарнир, после чего система становится геометрически изменяемой, то есть превращается в механизм;

2 На эту шарнирную систему накладывают минимальное количество связей, чтобы сделать ее геометрически неизменяемой;

3 Число наложенных в пункте 2 связей и будет количеством неизвестных линейных перемещений.

Рисунок 25 – Определение числа линейных перемещений

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 24 а, , системы на рисунке 24 б, .

Основная система в методе перемещений получается не отбрасыванием лишних связей, а наоборот введением дополнительных искусственных связей ликвидирующих неизвестное перемещение.

Рисунок 26 – Схема расстановки неизвестных перемещений

Степень кинематической неопределимости системы на рис. 26,

Для получения основной системы метода перемещений необходимо "ликвидировать" все неизвестные перемещения путем установки искусственных заделок во все незакрепленные узлы и установки шарнирных стерженьков для ликвидации линейных перемещений.

Рисунок 27 – Основная система метода перемещений

Применяемые здесь заделки отличаются от общепринятых в сопромате, а именно: они запрещают поворот узла, но не запрещают его линейных перемещений вдоль x и y.

Рисунок 28 – Эквивалентная система метода перемещений

Накладывается также условие, что стержни могут только изгибаться и не могут деформироваться в осевом направлении.

После придания искусственно наложенным связям неизвестных перемещений в них возникнут реакции.

8.2.1 Канонические уравнения метода перемещений

Их составляют из условия, что суммарные реакции в искусственно наложенных связях после их смещения на величину неизвестных перемещений и приложения внешних нагрузок должны быть равны нулю, так как в действительности этих связей нет.

где R_i(z_j) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j;

R_i(P) - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от внешних нагрузок.

Слагаемые в этих уравнениях, кроме последних, можно выразить как произведения реакций вызванных единичным перемещением на фактическую длину перемещения:

где r_ij - реакция в искусственно наложенной связи с индексом i от неизвестного перемещения с индексом j равного 1.

Подставив выражение (2) в уравнение (1) получим окончательный вид канонических уравнений метода перемещений:

где r_ij – коэффициенты канонических уравнений по методу перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от соответствующих единичных перемещений.

Слагаемые R_i(P) получили название свободные члены канонических уравнений метода перемещений, их физический смысл состоит в том, что они представляют собой реакции в искусственно наложенных связях от внешней нагрузки.

Для вычисления коэффициентов канонических уравнений и свободных членов используются готовые решения для балок с защемленными концами, которые приводятся в справочниках.

В общем случае расчет статически неопределимых систем по методу перемещений проводится в следующей последовательности:

1 Составляется заданная система, это исходная расчетная схема, она ничем не отличается от той что была в методе сил;

2 Путем наложения искусственных связей, ликвидирующих все неизвестные перемещения, получают основную систему метода перемещений;

3 Путем придания искусственно наложенным связям соответствующих перемещений и приложения внешней нагрузки получают эквивалентную систему метода перемещений;

4 Составляются канонические уравнения метода перемещений;

5 Вычисляются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, при этом используются готовые решения для балок с защемленными концами из справочника;

6 Решают систему канонических уравнений, в результате чего вычисляют неизвестные перемещения;

7 Вычисленное перемещение пересчитывают в неизвестные силовые факторы (моменты, поперечные и продольные силы), при этом также обязательно используются готовые решения для балок с защемленными концами.