Метод монте карло кратко

Обновлено: 04.07.2024

Все, что вам нужно знать о моделировании методом Монте-Карло — вычислительном алгоритме, предназначенном для нахождения вероятности диапазона результатов на основе случайных повторных выборок.

Что такое моделирование методом Монте-Карло?

Моделирование Монте-Карло, также известное как метод Монте-Карло или многократное имитационное моделирование вероятностей, представляет собой математический метод, с помощью которого можно оценить возможные результаты неопределенного события. Метод Монте-Карло был изобретен Джоном фон Нейманом и Станиславом Уламом во время Второй мировой войны с целью улучшения процесса принятия решений в условиях неопределенности. Название методу дал известный своими казино город Монако, поскольку в основе данного подхода к моделированию лежит принцип генерации случайных чисел, применяемый в рулетке.

Метод моделирования Монте-Карло нашел свое применение в оценке риска для разнообразных практических задач, включая искусственный интеллект, котировки акций, прогнозирование продаж, управление проектами и ценообразование. Кроме того, данный метод обладает рядом преимуществ по сравнению с прогнозными моделями с фиксированными входными значениями, включая возможность проведения анализа чувствительности или расчета корреляции входных значений. Анализ чувствительности позволяет оценить влияние отдельных входных значений на определенный результат, а корреляция — понять взаимосвязи между любыми входными переменными.

Как работает моделирование методом Монте-Карло?

В отличие от обычной модели прогнозирования, метод Монте-Карло предсказывает набор результатов на основе предполагаемого диапазона значений, а не набора фиксированных входных значений. Другими словами, моделирование методом Монте-Карло создает модель возможных результатов с использованием распределения вероятностей, например равномерного или нормального распределения, для любой переменной, которая содержит в себе элемент неопределенности. Затем выполняется повторное вычисление результатов с другими наборами случайных чисел в диапазоне от минимального до максимального значений. В типичном эксперименте Монте-Карло данная операция повторяется несколько тысяч раз для создания большого числа вероятных результатов.

Кроме того, высокая точность метода Монте-Карло позволяет применять его для долгосрочного прогнозирования. С увеличением количества входных данных растет и число прогнозов, что позволяет с большей точностью прогнозировать результаты на более отдаленные сроки. Результатом выполнения метода Монте-Карло является диапазон возможных результатов с указанием вероятности каждого события.

В качестве простого примера моделирования методом Монте-Карло можно привести расчет вероятности при бросании двух стандартных игральных костей. Существует 36 возможных комбинаций двух костей. Исходя из этого, можно вручную рассчитать вероятность определенного результата. Для получения более точного прогноза можно 10000 раз повторить бросок костей, используя метод Монте-Карло.

Как применяется метод Монте-Карло

Независимо от используемого инструмента, метод Монте-Карло состоит из трех основных шагов:

Создание прогнозной модели с определением зависимой переменной, в отношении которой осуществляется прогноз, и независимых переменных (также известных как входные данные, переменные риска или предикторные переменные), лежащих в основе прогноза.
Определение распределений вероятностей независимых переменных. Определение диапазона вероятных значений с помощью имеющихся статистических данных и/или субъективных знаний аналитика с последующим присвоением каждому такому значению весовых коэффициентов вероятности.
Многократное выполнение моделирования для создания случайных значений независимых переменных. Моделирование выполняется до тех пор, пока не будет получена репрезентативная выборка практически бесконечного числа возможных комбинаций.

Изменяя базовые параметры моделирования, метод Монте-Карло можно повторять сколько угодно раз. Также для вычисления разброса в выборке можно рассчитать дисперсию и стандартное отклонение, которые традиционно используются для оценки разброса. Дисперсия переменной представляет собой математическое ожидание квадрата разности между переменной и ее ожидаемым значением. Стандартное отклонение вычисляется как квадратный корень дисперсии. Как правило, чем меньше дисперсия, тем лучше.

Более подробная информация о моделировании методом Монте-Карло приведена здесь (внешняя ссылка).

Моделирование методом Монте-Карло и IBM

Для моделирования методом Монте-Карло можно использовать разнообразные инструменты, такие как Microsoft Excel, однако для проведения сложных статистических расчетов рекомендуется выбирать более комплексные программные продукты, например IBM SPSS Statistics, оптимизированные для анализа рисков и имитаций по методу Монте-Карло. IBM SPSS Statistics — высокопроизводительная программная платформа статистического анализа с надежным набором функций, которые помогают организациям извлекать ценную информацию из своих данных.

Возможности SPSS Statistics:

Анализ и улучшение понимания данных, решение сложных исследовательских и бизнес-задач с помощью удобного пользовательского интерфейса.
Более быстрый анализ больших и сложных наборов данных при помощи расширенных статистических методов, обеспечивающих высокую точность результатов для принятия качественных решений.
Использование расширений, языков программирования Python и R для интеграции с открытым ПО.
Гибкие варианты развертывания предоставляют возможность легко выбрать программное обеспечение и управлять им.

Например, с помощью модуля имитации в SPSS Statistics можно моделировать различные суммы рекламного бюджета и оценивать влияние на общий объем продаж. Результаты моделирования могут служить основой для принятия решений об увеличении расходов на рекламу для достижения целевых показателей объема продаж. Более подробная информация о применении IBM SPSS Statistics для моделирования методом Монте-Карло приведена здесь (внешняя ссылка).

Для получения дополнительной информации о моделировании методом Монте-Карло зарегистрируйте IBMid и создайте учетную запись IBM Cloud.

Под метдом Монте-Карло понимается численный метод решения
математических задач при помощи моделирования случайных величин. Представление об истории метода и простейшие примеры его применения можно найти в Википедии.

В самом методе нет ничего сложного. Именно эта простота объясняет популярность данного метода.

Метод имеет две основных особенности. Первая — простая структура вычислительного алгоритма. Вторая — ошибка вычислений, как правило, пропорциональна
, где — некоторая постоянная, а — число испытаний. Ясно, что добиться высокой точности на таком пути невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью.

Однако одну и ту же задачу можно решать различными вариантами метода Монте-Карло, которым отвечают различные значения . Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав способ расчета, которому соответствует значительно меньшее значение .

Общая схема метода

Допустим, что нам требуется вычислить какую-то неизвестную величину m. Попытаемся придумать такую случайную величину , чтобы . Пусть при этом .
Рассмотрим независимых случайных величин (реализаций), распределения которых совпадают с распределением . Если достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы будет приблизительно нормальным с параметрами , .

На основе Центральной предельной теоремы (или если хотите предельной теоремы Муавра-Лапласа) не трудно получить соотношение:

где — функция распределения стандартного нормального распределения.

Это — чрезвычайно важное для метода Монте-Карло соотношение. Оно дает и метод расчета , и оценку погрешности.

В самом деле, найдем значений случайной величины . Из указанного соотношения видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно . С вероятностью близкой к ошибка такого приближения не превосходит величины . Очевидно, эта ошибка стремится к нулю с ростом .

В зависимости от целей последнее соотношение используется по разному:

Точность вычислений

Как видно из приведенных выше соотношений, точность вычислений зависит от параметра и величины – среднеквадратичного отклонения случайной величины .

В этом пункте хотелось бы указать важность именно второго параметра . Лучше всего это показать на примере. Рассмотрим вычисление определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла эквивалентно вычислению площадей, что дает интуитивно понятный алгоритм вычисления интеграла (см. статью в Википедии). Я рассмотрю более эффективный метод (частный случай формулы для которого, впрочем, тоже есть в статье из Википедии). Однако не все знают, что вместо равномерно распределенной случайной величины в этом методе можно использовать практически любую случайную величину, заданную на том же интервале.

Итак, требуется вычислить определенный интеграл:

Выберем произвольную случайную величину с плотностью распределения , определенной на интервале . И рассмотрим случайную величину .

Математическое ожидание последней случайной величины равно:

Таким образом, получаем:

Последнее соотношение означает, что если выбрать значений , то при достаточно большом :

Таким образом, для вычисления интеграла, можно использовать практически любую случайную величину . Но дисперсия , а вместе с ней и оценка точности, зависит от того какую случайную величину взять для проведения расчетов.

Можно показать, что будет иметь минимальное значение, когда пропорционально |g(x)|. Выбрать такое значение в общем случае очень сложно (сложность эквивалентна сложности решаемой задачи), но руководствоваться этим соображением стоит, т.е. выбирать распределение вероятностей по форме схожее с модулем интегрируемой функции.

Численный пример

Теория, конечно, дело хорошее, но давайте рассмотрим численный пример: ; ; .

Вычислим значение интеграла с применением двух различных случайных величин.

В первом случае будем использовать равномерно распределенную случайную величину на [a,b], т.е. .

Во втором случае возьмем случайную величину с линейной плотностью на [a,b], т.е. .

Вот график, указанных функций

Нетрудно видеть, что линейная плотность лучше соответствует функции .

Точное значение интеграла легко вычислить аналитически, оно равно 1.

Результаты одного моделирования при :

Для равномерно распределенной случайной величины: .

Для случайной величины с линейной плотностью распределения: .

В первом случае относительная погрешность более 21%, а во втором 2.35%. Точность в первом случае равна 0.459, а во втором – 0.123.

Думаю, данный модельный пример показывает важность выбора случайной величины в методе Монте-Карло. Выбрав, правильную случайную величину, можно получить более высокую точность вычислений, при меньшем числе итераций.

Конечно, так не вычисляют одномерные интегралы, для этого есть более точные квадратурные формулы. Но ситуация меняется при переходе к многомерным интегралам, т.к. квадратурные формулы становятся громоздкими и сложными, а метод Монте-Карло применяется лишь с небольшими изменениями.

Количество итераций и генераторы случайных чисел

Не трудно видеть, что точность вычислений зависит от количества случайных величин включенных в сумму. Причем, для увеличения точности вычислений в 10 раз нужно увеличить в 100 раз.

При решении некоторых задач для получения приемлемой точности оценки требуется брать очень большое число . А учитывая, что метод зачастую работает очень быстро, то реализовать последнее при современных вычислительных возможностях совсем не сложно. И возникает соблазн просто увеличить число .

Если в качестве источника случайности используется некоторое физическое явление (физический датчик случайных чисел), то все работает отлично.

Часто для вычислений по методу Монте-Карло применяют датчики псевдослучайных чисел. Главная особенность таких генераторов – наличие некоторого периода.

Метод Монте-Карло можно использовать при значениях не превышающих (лучше много меньших) период вашего генератора псевдослучайных чисел. Последний факт вытекает из условия независимости случайных величин, используемых при моделировании.

При проведении больших расчетов нужно убедиться, что свойства генератора случайных чисел позволяют вам провести эти расчеты. В стандартных генераторах случайных чисел (в большинстве языков программирования) период чаще всего не превосходит 2 в степени разрядности операционной системы, а то и еще меньше. При использовании таких генераторов нужно быть чрезвычайно осторожным. Лучше изучить рекомендации Д.Кнута, и построить свой генератор, имеющий наперед известный и достаточно большой период.

Литература

Популярные лекции по математике 1968. Выпуск 46. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1968. — 64 с.

Одним из инструментов в области имитационного моделирования является способ решения задач с использованием эксперимента со случайными числами, который носит название метода Монте-Карло. Область применения этого метода и его алгоритм описаны в данной статье.

Что такое метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло относится к группе численных методов решения задач, в условиях которых присутствует элемент неопределенности. Он позволяет получить приближенные результаты на множестве входных значений, которые подбираются произвольно путем генерации случайных чисел.

Название этого метода выбрано в честь города Монте-Карло, известного своими казино. Рулетка в казино – это своего рода генератор случайных чисел. Этот метод впервые был описан в 1949 году в совместной работе математиков Николаса Метрополиса и Станислава Улама. Известно, что название придумал Н. Метрополис в честь одного из своих родственников, который был азартным игроком и частым посетителем казино.

Рис. 1. Рулетка.

Использование метода Монте Карло для вычисления площади фигуры

Простым примером иллюстрации применения данного метода является способ определения площади фигуры сложной формы, когда контуры объекта не образуют геометрической формы, для которой существует готовая формула для расчета.

Рис. 2. Фигура сложной формы.

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, ее вписывают в квадрат стороной a. Затем, случайным образом выбирают точки внутри квадрата. Причем точки могут попадать как внутрь исследуемой фигуры сложной формы, так и вне ее.

Чем большую площадь занимает фигура внутри квадрата, тем чаще в нее будут попадать точки. Точки, попавшие внутрь фигуры, обозначают буквой m, а все выбранные точки внутри квадрата – буквой n.

Здесь проявляется закономерность: чем больше точек в эксперименте задействовано, тем с большей вероятностью можно утверждать, что процент точек, содержащихся в исследуемой фигуре стремится к отношению площади фигуры к площади квадрата. Математически это можно записать следующим образом: s=a*a*(m/n).

Таким образом, получен некоторый способ определения площади фигуры произвольной формы с использованием метода статистических испытаний. Модели для вычисления площади различных фигур сложной формы, сформированные этим способом, будут отличаться математическими описаниями фигур.

В теории вероятностей и математической статистике действует закон больших чисел, согласно которому результат эксперимента окажется свободным от случайных воздействий только в случае большого количества случайных факторов, то есть будет прослеживаться устойчивая закономерность. Проще говоря, чем больше число испытаний, тем точнее будет результат.

Алгоритм вычисления площади фигуры с помощью метода Монте Карло

Определим площадь фигуры, ограниченной уравнениями y = x^2, y = 0 и x = 1.

Составим модель: площадь искомой фигуры впишется в квадрат. Если значения координат x и y принадлежит диапазону [0;1], то точка принадлежит квадрату. Если выполняется система неравенств 0 Рис. 3. Фигура, ограниченная уравнением y=x^2, и прямыми y=0 и x=1.

Для ставок на спорт современные бетторы используют не только аналитику. Для большинства игроков важно работать по проверенной стратегии, которая в совокупности с точным анализом увеличит продуктивность игры. Одной из таких тактик принято считать метод Монте-Карло, появившийся еще в середине XX века. Расскажем в этом материале, что собой представляет метод Монте-Карло, на чем он основан и как применяется в современном беттинге.

Что такое метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло – это система численных методов, которые базируются на получении многократной реализации случайных процессов. Последние должны формироваться так, чтобы характеристики их вероятности совпадали с величинами решаемых задач. Основан этот метод был в 40-х гг. XX века польским ученым Станиславом Уламом, который работал над созданием водородной бомбы для американского правительства.

Моделирование по данному методу необходимо для точного расчета риска в процессе анализа и принятия решений. Метод Монте-Карло применим в разных сферах деятельности – производстве, менеджменте, финансах и пр. И именно его также успешно реализовывают в прогнозировании исхода спортивных событий.

Анализ риска по методу Монте-Карло выполняется посредством моделирования результатов. Факторы с высокой долей неопределенности заменяются на диапазон значений – в этом случае важно верно оценить вероятность. После этого проводятся расчеты результатом – это делается с помощью разных наборов случайных значений функций вероятности. Отметим, что для полного моделирования необходимо производство десятков тысяч расчетов.

Как метод работает в ставках

В ставках на спорт метод Монте-Карло не является гарантом стопроцентного получения прибыли и верного расчета. Как и в любой другой сфере, в беттинге метод работает одинаково – нужно просчитать взаимодействие множества исходов, имеющих зависимость от поступающих факторов. Достаточно составить разные модели ситуаций с неодинаковым набором факторов, влияющих на результат, – на выходе получится оценка вероятности исходов.

Котировки букмекера на победу фаворитов

форма команды (наличие лидеров, травмы, разница забитых и пропущенных мячей и пр.);
ситуация в турнире – насколько большое давление есть на лидеров, календарь;
статистика выступлений в прошлых сезонах;
уровень игры – насколько хорошо команды играли на дистанции в 5–10 последних встречах.

Заключение

Метод Монте-Карло – это стратегия, основанная на тщательном анализе ситуации и моделировании вероятности исходов. Тактика сопровождается кропотливой работой с субъективной расстановкой оценок, что может приводить к неточному результату и проигрышу. В случае максимально верной оценки факторов вероятность выигрыша будет высокой, но стопроцентной гарантии успеха в использовании метода Монте-Карло нет.

Часто задаваемые вопросы

Почему метод Монте-Карло так называется?

Название связано с наименованием коммуны в княжестве Монако, в котором находится огромное количество казино.

К какому методу относится метод Монте Карло?

Метод Монте-Карло является системой численных методов.

В чем разница между теорией вероятностей и методом Монте-Карло?

Теория вероятностей – это математический раздел, изучающий случайные события, а метод Монте-Карло – прикладной инструмент, позволяющий работать с теорией вероятностей.

Читайте также: