Метод математической гипотезы кратко

Обновлено: 05.07.2024

История и философия науки

Ответы к контрольной 02.02.2011

I. Методы эмпирического познания

1. Наблюдение

Наблюдение - чувственное отражение предметов и явлений внешнего мира, имеющее замысел, цели и средства. Позволяет получить первичную информацию об объектах окружающей действительности. Требования к наблюдению: чёткая постановка цели; выбор методики и разработка плана; систематичность; контроль за корректностью и надёжностью результатов.

Научные наблюдения всегда сопровождаются описанием объекта познания, которое представляет собой фиксацию средствами естественного или искусственного языка сведений об объектах. С помощью описания наблюдаемое явление переводится на язык понятий, знаков и цифр, принимая тем самым однозначным образом обнаруженную форму. Последнее достигается за счёт уточнения. Фундаментальная гносеологическая функция – перевод наблюдаемой объективной ситуации в область сознания, её превращение в нечто идеальное.

2. Сравнение

Сравнение признано сделать наблюдение эффективным. Сравнивая два предмета, есть две возможности: 1) А и Б тождественны и 2) А и Б различны; во втором случае 2.1) А > Б и 2.2) А Made by zartiom

С первых шагов натурфилософских построений логика и математика являются двумя самыми надежными инструментами исследователя. Однако логика содержит в своем составе абсолютно математические компоненты, которые называются формальной логикой. Эта часть логики не претендует на поиск какой-то истины, лежащей вне ее компетенции, и дает нам полезный аппарат преобразования одних логических высказываний в другие, позволяет упрощать запутанные речевые тексты. Аналогичным образом математика не свободна от логических компонентов. С древних времен она включала в себя доказательные средства, в частности аксиоматический подход пронизан логическими понятиями.

Традиционная логика ограничивалась изучением самых общих принципов гипотетических умозаключений и почти совершенно не вникала в логическую структуру систем, используемых в развитых эмпирических науках. Однако в таких науках, как физика, имеют дело не с изолированными гипотезами, а с их системой.

Совершенно иначе обстоит дело с абстрактными математическими теориями, аксиомы которых не допускают непосредственной эмпирической проверки. Если принципы и законы эмпирических наук уточняются и изменяются под влиянием опыта и практики, то при выборе математических аксиом руководствуются требованиями логики развития, полагает Г.И.Рузавин. (Рузавин Г.И. Философия науки. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 400с.)

Например, Н.И.Лобачевский выбрал новую аксиому о параллельных и создал новую геометрию только после того, как в течение многих лет безуспешно доказать аксиому о параллельных. Напомним суть открытия Лобачевского: через данную точку к прямой на плоскости можно провести, по крайней мере, две прямые, параллельные данной. В геометрии Евклида допускается единственная параллельная. Заменив аксиому противоположным постулатом, Лобачевский из новой системы аксиом получил следствия, которые, хотя и противоречили интуитивным пространственным представлениям, но оказались логически непротиворечивыми. Например, в геометрии Евклида сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, а в геометрии Лобачевского должна быть меньше этой величины. Впоследствии были построены и другие системы неевклидовых геометрий.

Итак, разновидностью гипотетико-дедуктивного метода является метод математической гипотезы, который используется как важнейшее эвристическое средство для открытия закономерностей в естествознании. Обычно в качестве гипотез здесь выступают некоторые уравнения, представляющие модификацию ранее известных и проверенных соотношений. Изменяя эти соотношения, составляют новое уравнение, выражающее гипотезу, которая относится к неисследованным явлениям. Так, М.Борн и В.Гейзенберг приняли за основу каноническое уравнение классической механики, однако вместо чисел ввели в них матрицы, построив таким способом матричный вариант квантовой механики.

Если такие физические понятия, как материальные частицы и волны мы еще можем себе представить, то трудно вообразить микрообъекты квантовой механики, которые одновременно обладают как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Ведь с точки зрения классической физики они выступают как объекты совершенно противоположными, несовместимыми свойствами, и поэтому трудно представить, как они совмещаются в едином наглядном образе. Вот почему современная физика все больше отказывается от наглядных образов и все чаще обращается к абстрактным объектам и математическим методам описания.

Одним из таких методов и является математическая гипотеза, которая строится на основе экстраполяции уравнения, описывающего некоторый процесс, на другой процесс. Если из опыта нам стало известно, что изученное явление зависит от ряда переменных и постоянных величин, связанных между собой приближенно некоторым уравнением, то видоизменяя, обобщая это уравнение, можно получить другие соотношения между переменными. В этом и состоит математическая гипотеза, или экстраполяция. Она приводит к выражениям, совпадающим или расходящимся с опытом, и соответственно этому применяется дальше или отбрасывается.

В качестве примера можно привести математические гипотезы, с помощью которых была построена квантовая механика. Одна из них была выдвинута М.Борном и В.Гейзенбергом, которые за основу взяли каноническое уравнение Гамильтона для классической механики. Они предположили, что форма таких уравнений должна быть одинаковой и для атомных частиц, но вместо чисел они ввели в уравнение другие математические объекты, а именно матрицы. Так возник матричный вариант квантовой механики.

В отличие от них Э.Шредингер исходил из волнового уравнения физики, но по-иному стал интерпретировать его члены. Для этого он использовал предположения Луи де Бройля, что всякий материальной частице должна соответствовать волна определенной длины. Посредством такой интерпретации возник волновой вариант квантовой механики. Впоследствии удалось доказать эквивалентность обоих вариантов.

Гипотетический момент состоит в том, что некоторую закономерность, выраженную в виде математического уравнения, ученые перенесли с изученной области явлений на неизученную, то есть использовали прием, который принято называть экстраполяцией.

При этом неизбежно приходится модифицировать прежнюю гипотезу, а именно, либо изменять тип, либо общий вид уравнения, либо в него подставить математические величины другого рода (или делать и то и другое). Либо, наконец, изменять граничные и предельные условия.

Чтобы проверить следствия из гипотезы, необходимо определенным образом интерпретировать их, т.е. придать соответствующим понятиям и суждениям эмпирическое значение. Такая интерпретация составляет едва ли не самую трудную часть исследования. Легче открыть математическую форму, необходимую для какой-нибудь основной физической теории, чем найти ее интерпретацию, пишет выдающийся английский физик П.Дирак.

Причина этого состоит в том, что в математике число основных идей, из которых происходит выбор, весьма ограниченно, тогда как число физических интерпретаций значительно больше. Одна и та же математическая структура (уравнение, формула, функция) может выражать самые различные конкретные зависимости между явлениями и процессами. То, что математический формализм устанавливается раньше, чем находится его содержательное истолкование, свидетельствует о большой эвристической ценности математики в современном научном познании.

1.Математическая гипотеза (метод научного исследования).docx

Основные принципы построения математической гипотезы

Применение метода математической гипотезы в развитии физических теорий

Современная теоретическая физика в своих исследованиях пользуется широким набором методов, реализующих все общечеловеческие способы познания через систему специфических приёмов, характерных именно для теоретического уровня исследования.

Знания современной теоретической физики могут быть рассмотрены как математический аппарат, получающий интерпретацию на объектах реальности. Она состоит как бы из двух частей. Первую часть составляют высказывания, образующие интерпретацию физических величин. Вторая часть–образующие математический аппарат теории. Причём при изменении математического аппарата изменяется и смысл физических величин, а, применяя правила связи физических величин с эмпирической реальностью, можно придать им такой новый смысл, которой будет противоречить их прежним математическим связям в уравнениях, и, чтобы сохранить математику, придётся искать другие уравнения. Классическая физика вначале создавала первую часть физической теории (интерпретацию), а только затем–математический аппарат. Поэтому смысл физических величин был ясен с самого начала, основные усилия исследователей в этом случае направлялись на то, чтобы отыскать математические формы, связывающие эти величины.

В современной физике применяется другой путь, когда исследователь вначале стремится отыскать математический аппарат, оперирует с величинами, о смысле которых заранее ничего не знает, подмечает в исследуемых явлениях некоторые сходные с другими явлениями черты, для которых уравнения уже построены, стремится перебросить эти уравнения на новую область изучаемой действительности. Затем исследователь ищет интерпретацию уравнений, устанавливая связи между объектами новой области. В этом и состоит суть метода математической гипотезы.

Целью данного реферата является изучение данного метода, отыскание его достоинств и недостатков, выявление его роли в развитии физики на различных этапах её развития.

1. Основные принципы построения математической гипотезы

Пути построения теоретических знаний в современной физике отличны от принятых в классическую эпоху ее эволюции. Одно из главных отличий состоит в широком применении на современном этапе метода математической гипотезы. Общая характеристика этого метода заключается в следующем. Для отыскания законов новой области берут математические выражения законов из близлежащей области, которые затем трансформируют и обобщают так, чтобы получить новые соотношения между физическими величинами. Полученные выражения рассматривают в качестве гипотетических уравнений, описывающих новые физические процессы. Указанные уравнения после соответствующей опытной проверки либо приобретают статус теоретических законов, либо отвергаются, как несоответствующие опыту. Регулятивные принципы формирования математической гипотезы могут быть разделены на нефизические и физические. Учёный предпочитает выбирать среди возможных форм гипотетических уравнений такие, которые бы удовлетворяли требованиям простоты, логической строгости и развёртывались бы с применением уже принятых и апробированных наукой логических средств; он использует уравнения, описывающие явления, имеющие черты сходства с изучаемым им процессом. При этом он использует фундаментальные физические законы: законы сохранения (энергии, импульса, чётности и т. д. ), которые не должны нарушаться в новой теоретической схеме; принцип соответствия (новые уравнения в предельном случае должны переходить в уравнения классической теории); принцип причинности; принцип инвариантности (уравнения должны сохранять свою структуру при переходе в другие системы отсчёта); принцип симметрии. В этих принципах отображаются некоторые общие закономерности физической реальности и методов её познания. Так, принцип причинности и законы сохранения отражают общие свойства природы, принцип соответствия выражает преемственность теорий; инвариантность означает, во-первых, независимость содержания знания от субъекта и, во-вторых, свойство закономерных связей действительности выступать как некое устойчивое начало. При этом возникает ряд специфических проблем, связанных с процессом формирования математических гипотез и процедурами их обоснования. Первый аспект этих проблем связан с поиском исходных оснований для выдвижения гипотезы. В классической физике основную роль в процессе выдвижения гипотезы играла картина мира. По мере формирования теорий она получала опытное обоснование не только напрямую через эксперимент, но и через накопление знаний в теории. Этот процесс всегда был основан на допущениях, в которых выражались как свойства объекта, так и обобщённая схема освоения объекта. В физике эта схема деятельности проявлялась в представлениях о том, что следует учитывать в измерениях и какими взаимодействиями измеряемых объектов с приборами можно пренебречь. Например, в представлении Ньютона о природе как о системе материальных корпускул с мгновенно распространяющимися взаимодействиями неявно присутствовала следующая схема измерения. Во-первых, предполагался лапласовский детерминизм движения и возможность одновременного точного измерения координат и импульсов тела. Во-вторых, постулировалась абсолютность пространства и времени. Эта концепция основывалась на предположении, что при измерении характеристики объекта не изменяются и не зависят от относительного движения лаборатории. А за природу в ньютоновской картине мира принималась та реальность, которая соответствовала данной схеме измерений.

В современной физике приняты более сложные схемы измерения, поэтому появляются и более сложные предметы научных теорий.

При столкновении с новым типом объектов, не входящих в принятую картину мира, познание изменяло эту картину, в классической физике–путём введения новых онтологических представлений, заново подвергая новую картину мира экспериментальной проверке. В современной физике картина физической реальности строится, эксплицируя саму схему измерения в форме выдвижения принципов, фиксирующих особенности метода исследования объекта (принцип относительности, дополнительности). Полученная картина мира может на первых порах не иметь законченной формы, но она определяет (вместе с принципами, фиксирующими операционную сторону) поиск математических гипотез. Такая стратегия теоретического поиска смещает и акценты в философской регуляции процесса научного открытия. В классике выдвижение физической картины мира было ориентировано философской онтологией, а в современной физике центр тяжести перенесён на гносеологическую проблематику. Поэтому в регулятивных принципах отыскания математической гипотезы явно представлены положения теоретико-познавательного характера (принцип простоты, соответствия). Вторая особенность метода математической гипотезы касается специфики процедур построения теоретической схемы и её обоснования. В ходе математической экстраполяции исследователь создаёт новый аппарат путём перестройки некоторых уже известных уравнений. Величины, входящие в эти уравнения, переносятся в новый аппарат, получают новые связи и определения. С величинами переносятся и связанные с ними абстрактные объекты, а из них уже создаётся гипотетическая модель, которая в качестве интерпретации нового математического аппарата присутствует в теории. Такая модель, как правило, содержит неконструктивные элементы, а это может привести к противоречиям в теории и рассогласованию с опытом даже перспективных математических аппаратов. Таким образом, специфика современных исследований состоит не в том, что математический аппарат сначала вводится без интерпретации (неинтерпретированный аппарат есть исчисление, математический формализм, принадлежащий математике). Специфика заключается в том, что математическая гипотеза формирует неадекватную интерпретацию создаваемого аппарата, что усложняет процедуру эмпирической проверки самой гипотезы. Ведь опытом проверяются не только уравнения, а система“уравнения + интерпретация”, и если последняя неадекватна, то опыт может выбраковать продуктивные математические структуры. Чтобы проверить математическую гипотезу, недостаточно просто сравнить следствия из уравнений с опытом, необходимо каждый раз эксплицировать гипотетические модели, введённые на стадии математической экстраполяции, отделять их от уравнений, обосновывать конструктивно, вновь сверять с созданным математическим формализмом, а только потом проверять следствия из уравнений опытом. Длинная серия математических гипотез порождает опасность накопления в теории неконструктивных элементов и утраты эмпирического смысла величин, входящих в уравнения. Поэтому в современной физике на определённом этапе развития теории становится необходима промежуточные интерпретации, обеспечивающие адекватную семантику аппарата и его связь с опытом.

Математические гипотезы часто формируют поначалу неадекватную интерпретацию математического аппарата. Они тянут с собой старые физические объекты, вводимые в новые уравнения, что может привести к рассогласованию теории с опытом. Поэтому на промежуточных стадиях математического синтеза вводимые уравнения должны подкрепляться анализом теоретических знаний и их обоснованием. К тому же выявление неконструктивных элементов в предварительной теоретической модели обнаруживает ее наиболее слабые звенья и создает необходимую базу для ее перестройки.

Так в примере квантовой электродинамики работы Ландау и Пайерлса указали путь перестройки первоначальной теоретической модели квантованного электромагнитного поля. А решающий шаг в построении адекватной интерпретации аппарата новой теории был сделан Бором. Он был связан с отказом от трактовки классических компонентов поля в точке в качестве наблюдаемых, характеризующих поле как квантовую систему, и заменой их новыми наблюдаемыми–компонентами поля, усредненным по конечным пространственно-временным областям. Эта идея возникла при активной роли философско-методологических размышлений Бора о принципиальной макроскопичности приборов, посредством которых наблюдатель как макроскопическое существо получает информацию о микрообъектах. Как следствие этих размышлений возникла идея о том, что пробные тела, поскольку они являются частью приборов, должны быть классическими макротелами. Следовательно, в квантовой теории абстракция точечного пробного заряда должна быть заменена другой абстракцией: заряженного пробного тела, локализованного в конечной пространственно-временной области. В свою очередь, это приводило к идее компонент квантованного поля, усредненных по соответствующей пространственно-временной области. Такая интеграция философско-методологических рассуждений в структуру физического поиска не случайна, а характерна для этапа формирования представлений о принципиально новых типах объектов науки и методах их познания. После работ Бора в квантовой электродинамике возникал новая теоретическая модель, призванная обеспечивать интерпретацию уже созданного математического аппарата.

Такой ход исследования, при котором аппарат отчленяется от неадекватной модели, а затем соединяется с новой теоретической моделью, характерен для современной теоретической физики. Заново построенная модель сразу же сверяется с особенностями аппарата. Согласованность же новой модели с математическим аппаратом является сигналом, свидетельствующим о ее продуктивности, но тем не менее, не выводит новую теоретическую конструкцию из ранга гипотезы. Для этого необходимо еще эмпирическое обоснование модели, которое производится путем конструктивного введения ее абстрактных объектов. Средством, обеспечивающим такое введение, являются процедуры идеализированного эксперимента и измерения, в которых учитываются особенности реальных экспериментов и измерений, обобщаемых новой теорией. В истории квантовой электродинамики указанные процедуры были проделаны Бором и Розенфельдом. В процессе их осуществления была получена эмпирическая интерпретация уравнений теории и вместе с тем были открыты новые аспекты микроструктуры электромагнитных взаимодействий. Например, одним из важнейших следствий процедур Бора-Розенфельда было обоснование неразрывной связи между квантованным полем излучения и электромагнитным вакуумом.

Из аппарата теории следовало, что квантованное поле обладает энергией в нулевом состоянии, при отсутствии фотонов. Но до обоснования измеримости поля было абсолютно неясно, можно ли придать вакууму реальный физический смысл или его следует воспринимать только как вспомогательную теоретическую конструкцию. Физики склонялись ко второму выводу, так как энергия квантованного поля в нулевом состоянии оказывалась бесконечной. Кроме того, Ландау и Пайерлс связывали идею вакуума с парадоксом измеримости, и в их анализе вакуумные состояния фигурировали как одно из свидетельств принципиальной неприменимости квантовых методов к описанию электромагнитного поля. Но Бор и Розенфельд показали, что определение точного значения компонентов поля может быть осуществлено лишь тогда, когда в них включаются как флуктуации, связанные с рождением и уничтожением фотонов, так и неотделимые от них нулевые флуктуации поля, возникающие при отсутствии фотонов и связанные и нулевым энергетическим уровнем поля. То есть если убрать вакуум, то само представление о квантованном электромагнитном поле не будет иметь эмпирического смысла, поскольку его усредненные компоненты не будут измеримыми. Тем самым вакуумным состояниям был придан реальный физический смысл. После интерпретации аппарата квантованного электромагнитного поля Бор и Розенфельд проанализировали возможность построения идеализированных измерений для источников, взаимодействующих с квантованным полем излучения.

Характерно, что такой путь построения интерпретации воспроизводил на уровне содержательного анализа основные этапы исторического развития математического аппарата квантовой электродинамики. При этом не была опущена ни одна существенная промежуточная стадия, то есть логика построения интерпретации совпадала в основных чертах с логикой исторического развития математического аппарат теории.

Если в классической физике каждый шаг в развитии аппарата теории подкреплялся построением и конструктивным обоснованием адекватной ему теоретической модели, то в современной физике стратегия теоретического поиска изменилась. Сейчас математический аппарат может достаточно продолжительное время строиться без эмпирической интерпретации, а при ее осуществлении исследование заново в сжатом виде проходит все основные этапы становления аппарата теории. В процессе построения квантовой электродинамики оно шаг за шагом перестраивало сложившиеся гипотетические модели и, осуществляя их конструктивное обоснование, вводило промежуточные интерпретации, соответствующие основным вехам развития аппарата.

2. Применение метода математической гипотезы в развитии физических теорий

Для иллюстрации того, насколько мощным средством научного познания является метод математической гипотезы, рассмотрим его применение в различных теоретических схемах неклассической физики, особенно в той ее части, где перестают работать наши привычные представления о мире: в квантовой теории. Успешное решение М. Планком проблемы теплового излучения было обусловлено его творческим теоретико-математическим методом, в некоторых моментах которого очень четко заметно применение метода математической гипотезы. На основе модельных представлений (излучающее тело–совокупность вибраторов, аналогов классических макроскопических вибраторов Герца) Планк получил уравнение, связывавшее энтропию и энергию вибратора, которое являлось аналогом закона Вина, а потом, убедившись в недостаточности этого закона, начал изменять математическую форму, связывавшую входящие в него величины. Эти изменения были ограничены, во-первых, экспериментальными данными, во-вторых, известными математическими связями между физическими величинами (закон смещения Вина, термодинамические соотношения). В результате Планк, лавируя между двумя граничными случаями, обусловленными формулой Вина с одной стороны, и опытными фактами с другой, нашел новую математическую форму, связывающую энтропию и энергию вибратора, и, как следствие, формулу излучения абсолютно черного тела, совпадающую с экспериментом. В процессе вывода формул Планк стремился экстраполировать на изучаемое явление математический аппарат и принципы уже изученных явлений классической физики. Эта экстраполяция удалась при сохранении математических форм, но при отступлении от всех физических представлений классики. Классическую формулу для непрерывного излучения Планк использовал в той области, где важен уже его дискретный характер. Такая экстраполяция была неявной, но привела к гипотезе квантованности электромагнитного излучения и световых квантов. Неверно, однако, называть гипотезу квантов математической гипотезой, так как речь в ней идет про физическое подобие процессов излучения и поглощения энергии, но она появилась как физическое объяснение математической гипотезы, как результат логики математических преобразований, проведенных над атомистическими по сути формулами Больцмана и Вина. Вместе с физической идеей о взаимосвязи энтропии и вероятности Планк позаимствовал и математический аппарат, описывавший эту связь, с которым в его рассуждения проникла и идея дискретности. Математические преобразования не только привели к качественному принятию идеи дискретности энергии, но и дали математическое выражение этому физическому факту. Так как гипотеза квантов была физической, то требовала физического же обоснования. В то время единственным ее подтверждением было то, что она позволяла получить аналитическую формулу для черного излучения, что было недостаточно для физической гипотезы. Действительно, где гарантия, что нельзя отыскать другой вид формулы, не используя настолько невероятное предположение о дискретности энергии и действия? На протяжении десятилетия Планк безуспешно пытался вписать квант в рамки классической теории, так как он нарушал введенные Ньютоном и Лейбницем представления о непрерывности всех причинно-следственных связей. Однако подтвердить или отвергнуть гипотезу квантов могло только дальнейшее развитие науки, ее всесторонняя опытная и теоретическая проверка, что было осуществлено Эйнштейном (уравнение фотоэффекта, объяснение эмпирических законов Столетова и еще один способ измерения кванта действия), Эренфестом, Бором, Зоммерфельдом и другими учеными. В то же время работы Эйнштейна углубили противоречие между представлениями о природе света. Действительно, объяснить фотоэффект можно было лишь исходя из квантовой трактовки света, в то время, как были известны сотни опытов, утверждающих, что световой поток– это нечто непрерывное, волнообразное. Да и в самой формуле Планка-Эйнштейна () фигурирует частота колебаний поля. Некорректная трактовка (попытка взглянуть на квантовую гипотезу с классической точки зрения) привела к неприятию многими физиками ни теории Планка, ни квантов света Эйнштейна. А полностью подтверждены они были лишь после опытов Франка-Герца и создания Бором квантовой теории атома.

Математическая гипотеза – предположительное изменение формы, вида, характера уравнения, выражающего закон изученной области явлений, с целью распространения его на новую, ещё не изученную область в качестве присущего ей закона. Метод м.г. применяется где открывается совершенно новый тип явлений, закономерности которых не установлены, но обнаружено, что эти законы не могут быть адекватно выражены с помощью привычных образов и понятий, в то время, как новых физиче-х понятий и образов ещё нет и неясны пути их создания. Для изучения этой неисследованной области физик-теоретик выбирает одну из групп явлений, примыкающих, по его мнению, вплотную к неисследованной области, а именно ту группу, закономерности которой достаточно хорошо известны и выражены в некотором математическом уравнении. Далее он довольно произвольно, но руководствуясь общими правилами, изменяет это уравнение. При этом он ещё не знает окончательного физич-го смысла производимых преобразований и вводимых новых параметров. Из преобразованного уравнения выводится рад следствий, которые сопоставляются с данными эксперимента. Согласие с ними служит основанием для дальнейшей детальной разработки математической гипотезы. В случае успеха начинается постепенная разработка конкретной физической интерпретации полученных соотношений.

У м.г. много общего с обычной физич-ой гипотезой. Она так же обладает большой предсказательной силой, перерастает при подтверждении опытом в систематически развитую теорию. Но есть свои особенности: на переднем плане обычной гипотезы стоит выявление основных физич-х черт материального объекта, который исследуется, а в м.г. исходным и непосредственным явл предположение об общем характере и особенностях новой физич-й теории исследуемого объекта. В обычной гипотезе физич-ая характеристика объекта выражается сразу, и теория затем развивается на основе уже сформулированной, хотя бы в общих чертах, физической интерпретации исходных понятий. В м.г. в сначала схватывается общий математически выраженный костяк теории и лишь затем ищется физич-я интерпретация частей, элементов этой теории и свойств объекта.

Основных типы м.г.. По характеру, способу модификации основного уравнения или закона1)м.г., в которых изменяется общий тип, общий вид уравнений; 2)м.г., в которых тип, общий вид уравнений остаётся прежним, но в них подставляются величины иной природы, иного характера; 3)м.г., в которых меняется и общий вид уравнения и тип, входящих в него, величин;4)м.г., в которых изменяется характер граничных или предельных условий решения уравнений.

1) - относится построение Максвеллом системы уравнений электродинамики путём введения в совокупность известных до него уравнений электромагнетизма принципиально нового члена, выражающего величину так называемого тока смещения. Благодаря этому Максвелл и создал теорию электродинамики.

2)- разрабатывалась матричная механика - первый вариант современной квантовой механики. Борн и Гейзенберг, разрабатывавшие матричную механику, исходили из мысли, что в атомных явлениях общий тип, вид канонических уравнений классической механики остаётся неизменным. Но в эти уравнения они ввели величины иной, неклассической природы – не обычные числа, а матрицы.

4) - имеют дело в общей теории относительности и в проблемах космологии, где центр тяжести нередко переносится как раз на исследование граничных, предельных условий.

Альпинизм – популярная метафора для математических исследований. Такого сравнения практически невозможно избежать: замёрзший мир, разреженный холодный воздух, суровая жёсткость альпинизма напоминает неумолимый ландшафт чисел, формул и теорем. Точно так же, как альпинист противопоставляет свои возможности неподатливому объекту – в его случае, каменной стене – так и математик часто сражается в битве человеческого разума против жёсткой логики.

В математике роли горных пиков играют великие гипотезы – резко сформулированные утверждения, скорее всего, истинные, но не имеющие убедительных доказательств. У этих гипотез глубокие корни и широкие последствия. Поиски их решений составляют большую часть математики. Вечная слава ждёт первого их покорителя.

Интересно, что математики подняли формулирование гипотез до уровня высокого искусства. Самая строгая наука любит самые мягкие формы. Хорошо выбранное, но не доказанное утверждение может сделать его автора знаменитым по всему миру, возможно, даже более, чем того человека, который предложит итоговое доказательство. Гипотеза Пуанкаре остаётся гипотезой Пуанкаре, даже после того, как её доказал Григорий Яковлевич Перельман. И ведь сам британец Джордж Эверест, главный геодезист Индии в первой половине XIX века, никогда не забирался на гору, носящую его имя.

Первую попытку собрать всеобъемлющую коллекцию величайших математических задач сделал в начале прошлого века Давид Гильберт, которого называют последним универсальным математиком. Хотя его список из 23 проблем оказался весьма влиятельным, оглядываясь назад, он кажется нам довольно разношёрстным.

В него входят давние всеобщие любимцы, типа гипотезы Римана – часто считающейся величайшей из великих, остающейся Эверестом для математиков более ста лет. Когда Гильберта спросили, что бы он хотел узнать первым, проснувшись после 500-летнего сна, он сразу же вспомнил об этой гипотезе. Она описывает основное интуитивное представление о распределении простых чисел – атомов арифметики – и её доказательство будет иметь обширные последствия для множества ветвей математики.

Высочайшие вершины не покоряются с одной попытки. Экспедиции тщательно расставляют базовые лагеря и протягивают верёвки, а потом медленно взбираются на пик. В математике для атаки серьёзной проблемы часто тоже требуется возвести сложные структуры. Прямая атака считается глупой и наивной. На постройку этих вспомогательных математических конструкций иногда уходят века, и в итоге они иногда оказываются более ценными, чем покорённая теорема. Тогда эти леса становятся постоянным дополнением к архитектуре математики.

Великая гипотеза также должна быть глубокой и находиться в самой середине математики. На самом деле, метафора с покорением пика не отражает всех последствий получения доказательства. Его получение – это не конечная цель тяжёлого путешествия, а отправная точка ещё более великого приключения. Более подходящим образом будет горный перевал, седловина, позволяющая путешественнику перейти из одной долины в другую. Именно это делает гипотезу Римана настолько мощной и популярной. Она раскрывает множество других теорем и идей, и из неё следуют обширные обобщения. Математики занимаются изучением богатой долины, к которой она даёт доступ, несмотря на то, что та пока остаётся чисто гипотетической.

20 615 673 4 = 2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4

Наконец, полезно будет уяснить, что приключение не всегда оканчивается успехом. Как перед альпинистом может встать непреодолимая расселина, так и математики могут потерпеть поражение. И если они проигрывают, то проигрывают полностью. Нет такой вещи, как доказательство на 99%. Два тысячелетия люди пытались доказать гипотезу о том, что пятую аксиому Евклида – печально известную аксиому параллельности, говорящую о том, что параллельные прямые не пересекаются – можно вывести из четырёх предыдущих аксиом планиметрии. А затем, в начале XIX века математики создали конкретных примеры неевклидовой геометрии, опровергнув эту гипотезу.

Но на этом геометрия не закончилась. В каком-то извращённом смысле опровержение великой гипотезы может оказаться даже лучшей новостью, чем её доказательство, поскольку неудача говорит о том, что наше представление о математическом мире сильно отличается от действительности. Проигрыш может быть продуктивным, чем-то противоположным пирровой победе. Неевклидова геометрия оказалась важным предшественником эйнштейновского искривлённого пространства-времени, играющего такую важную роль в современном понимании гравитации и космоса.

Сходным образом, когда Курт Гёдель опубликовал свою знаменитую теорему о неполноте в 1931 году, показавшую, что в любой формальной математической системе существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, он, по сути, ответил отрицательно на одну из проблем Гильберта, касающуюся непротиворечивости аксиом арифметики. Однако теорема о неполноте – которую часто считают величайшим достижением логики со времён Аристотеля – не провозгласила конец математической логики. Вместо этого она привела к расцвету, приведшему к разработке современных компьютеров.

Так что, в итоге у поисков решения великих гипотез есть несколько иные общие черты с горными экспедициями к высочайшим пикам. Только когда все вернулись домой, в безопасность – неважно, была ли достигнута цель, или нет – становится ясной истинная ширь приключения. И тогда наступает время героических историй о восхождении.

Читайте также: