Метод ложного положения в решении уравнений кратко

Обновлено: 05.07.2024

2. Презентация № 3 Ал-джабр и ал-мукабала, а также метод ложного положения

3. Ал-джабр и ал-мукабала

4. В древних папирусах описан ещё один совсем старый способ решения уравнений. Называется он методом ложного положения, хотя

5. Метод ложного положения

Суть его можно понять из решения
уравнения х+1/3 х=20. Для решения
этого уравнения брали наименьшее
натуральное число, от которого третья
часть –целое число. В данном случае
это число 3. Третья часть от 3 равна 1,
да ещё само число , получается 4. Так
как по условию сумма х+1/3х должна
быть равна 20 , а не 4, следовательно,
х должен быть во столько же раз
больше, во сколько 20 больше , чем 4
(т.е. в 5 раз) . Значит , х=15.
Рассмотрим решения задач методом
ложного положения

7. Задача

8. Решение

9. Задача

10. Решение

11. Решение

РЕШЕНИЕ
На случай, если при обоих предположениях
получилось меньше, дается правило:
помножить первое предположение на второе
отклонение, а второе предположение на
первое отклонение, отнять от большего
произведения меньшее и разность разделить
на разность отклонений: .
Учеников было 36.

12. Решение

РЕШЕНИЕ
Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях
получилось больше, чем полагается по условию. Например:
Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.
Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111.
Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение).
Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем
требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях
брать не разности, а суммы.
При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко
обосновываются.

13. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математика в настоящее время все
шире проникает в повседневную
жизнь, все более внедряется в
традиционно далекие от нее области.
Компьютеризация общества,
внедрение современных
информационных технологий требует
математической грамотности
человека почти на каждом рабочем
месте. Это предполагает и
конкретные математические знания,
и определенный стиль мышления,
вырабатываемый математикой.
Решение задач различными
способами способствует углублению
знаний, логического мышления,
расширяет кругозор

14. Ознакомление с историческими фактами позволяет лучше понять роль математики в современном обществе, углубляют понимание

ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ИСТОРИЧЕСКИМИ ФАКТАМИ
ПОЗВОЛЯЕТ ЛУЧШЕ ПОНЯТЬ РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В
СОВРЕМЕННОМ ОБЩЕСТВЕ, УГЛУБЛЯЮТ
ПОНИМАНИЕ ИЗУЧАЕМОГО РАЗДЕЛА
ПРОГРАММЫ.
В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ ЛЮДИ ВСЕХ ПРОФЕССИЙ
ЛИБО ИСПОЛЬЗУЮТ УЖЕ СОЗДАННЫЕ КЕМ-ТО
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (В ЧАСТНОСТИ
УРАВНЕНИЯ), ЛИБО СОЗДАЮТ САМОСТОЯТЕЛЬНО
НОВЫЕ, ПОМОГАЮЩИЕ ГЛУБЖЕ ПОНЯТЬ
МАЛОИЗУЧЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО НАС
МИРА.

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

Содержимое разработки

Метод ложных положений при решении уравнений.

Древне фальшивое правило для решения линейного уравнения

Так как это больше нехватки 3, то на одну вторую предположение умножить нельзя. Ахмес видит, что одна четвертая и одна восьмая первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи надо помножить на 2+1/4+1/8

В третьем столбце выписаны: 1/7 часть искомой кучи, удвоенное это число и учетверенное. Сумма этих трех чисел,, есть произведение первоначального предположения на 2+1/4+1/8 .

Итак, куча равна 16+1/2+1/8 .

Подобные задачи мы теперь решаем уравнениями первой степени.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Вот задача № 24 сборника Ахмеса:

«Куча. Ее седьмая часть

Запись задачи нашими знаками выглядит так:

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда одна седьмая ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее одна седьмая часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить на 2 с некоторым добавлением, так как для получения 19, не хватает еще 3. Ахмес находит одну вторую от 8, получает 4.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. Этот метод применяли как египтяне, так и вавилоняне.

Правило двух ложных положений .

В настоящее время это правило практически не используется и представляет интерес только для историков математики.

Правило распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков. Многие ученые из разных стран приняли в этом участие: древнекитайские, египетские, индийские, арабские, европейские, русские.

Л.Ф. Магницкого

I возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

1. Предположим, что неизвестное число есть 144.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 144 = 48 , 144 + 48 = 192

1/6 • 192 = 32, 192 – 32 = 160

Вывод: не угадали, результат вычисленный больше 100.

2. Предположим, что неизвестное число есть 108.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 108 = 36, 108 + 36 = 144

1/6 • 144 = 24, 144 – 24 = 120

Вывод: не угадали, результат вычислений больше 100.

3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 2 случай:

160 – 100 = 60 120 – 100 = 20

Разделим разность произведений на разность ошибок:

6480 – 2880 = 3600

Значит, искомое число равно 90.

II возможность (результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного)

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 72 = 24 72 + 24 = 96

1/6 • 96 = 16 96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 99.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 99 = 33 99 + 33 = 132

1/6 • 132 = 22 132 – 22 = 110

Не угадали, результат вычислений больше 100.

Вычисляем, насколько мы ошиблись:

100 – 80 = 20 110 – 100 = 10

72 • 10 = 720 99 • 20 = 1980

III возможность ( результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

Предположим, что это число есть 81.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 81 = 27 81 + 27 = 108

1/6• 108 = 18 108 – 18 = 90

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 72 = 24 72 + 24 = 96

1/6• 96 = 16 96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

90 – 100 = -10 80 – 100 = -20

81 • (-20) = -1620 72 • (-10) = -720

Разность произведений разделим на разность ошибок:

Ответ: искомое число равно 90

В задачах подобного типа возможны три варианта решения в соответствии с правилом двух ложных положений:

результат двух вычислений оказывается больше данного числа,
результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного,
результат двух вычислений оказывается меньше данного числа.

Если оба результата вычислений больше или меньше данного числа, нужно делить разность произведений на разность ошибок.

Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.

Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач.

Пусть x – искомое число.

Тогда его треть равна х/3.

Сумма числа с его третей частью равна x +х/3 =4х/3 . После вычитания из полученной суммы

шестой части получим

что по условию задачи равно 100.

Решаем уравнение, получаем x = 90.

Значит, искомое число равно 90.

Ответ: искомое число равно 90

Пусть x – количество денег у первого человека, а y – количество денег у второго человека. Составим систему уравнений:

Выразим х из первого уравнения и подставим во второе, получим

Следовательно, у второго человека было 12 рублей, а у первого человека было 24 – 8 = 16 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень восьмого и девятого классов современный школы.

Современными методам решения уравнений мы обязаны поискам древних ученых. Теория уравнений продолжает развиваться и в настоящее время.

29 Сентябрь, 2016

-75%

Метод ложного положения, или метод regula falsi, или метод излишка и дефицита, изначально является арифметическим методом.

Совсем недавно, так называемый в численном анализе , корень ознакомительного алгоритм , который сочетает в себе возможность метода бисекций и секущей метода .

Резюме

Оригинальный арифметический метод

Простая ложная позиция

Он сводит линейные задачи к неизвестному. Для этого мы начинаем с предполагаемого решения и оцениваем его результат. При условии соразмерности истинное решение дает правило трех .

Используется, если не объяснено в Египте , Вавилоне и поздней греческой античности , затем встречается в Индии и в арабском мире , а затем на Западе .

Люди A, B и C разделили определенное количество. A получил треть, B - четверть, а C - 1760 экю. Какая была сумма?

Разрешение ложного положения

Если бы сумма, которую нужно было разделить, составляла 12 экю - выбор 12 является произвольным, преимущество этого числа состоит в том, что можно легко взять четверть и треть от этой суммы - человек А получил бы треть от 12 экю, то есть 4 экю. , человек B получил бы четверть 12 ЭКЮ или 3 ЭКЮ, а человек C получил бы остаток, то есть 12-4-3 = 5 ЭКЮ. Однако он получил 1760. Применяя правило трех из 12, можно найти сумму, которую нужно разделить так, чтобы человек C получил не 5 экю, а 1760.

Таким образом, распределяемая сумма составляет экю; 12 × 1760 5 знак равно 4224 > = 4224>
Лицо А получает третью, то есть 1,408;
Человек B получает четверть, или 1056;
Человек C получает остаток, т.е. 4224 - 1408 - 1056 = 1760.

Если мы назовем S общей суммой, а A, B и C соответствующими долями людей A, B и C, мы получим:

А = S / 3, B = S / 4, C = 1760

что дает уравнение:

S / 3 + S / 4 + 1760 = S

которое действительно является линейным уравнением в S, поскольку записывается:

5 / 12⋅С - 1760 = 0

Метод ложного положения позволяет избежать этапа приравнивания, но работает только для задачи, связанной с законом пропорциональности : здесь доля C пропорциональна сумме, которую необходимо разделить.

Ложная двойная позиция

Метод

Он регулирует линейные задачи с двумя неизвестными. Для этого мы исходим из двух предполагаемых, различных решений, отклонения которых сравниваются с целью. Сравнение излишков или дефицитов приводит к решению как взвешенной сумме нулевой разницы двух предполагаемых решений.

В алгоритме китайского, если решение уже привело к дефициту в , и решение б привело к излишка е , то верно решение . Икс знак равно в е + d б d + е >>

Метод обобщен на любое алгебраическое отклонение: если первое значение x ₁ приводит к отклонению δ _1, а второе значение x ₂ приводит к отклонению δ _2, то значение, позволяющее достичь цели, равно . Икс знак равно Икс 1 δ 2 - Икс 2 δ 1 δ 2 - δ 1 \ delta _ -x_ \ delta _ > <\ delta _ - \ delta _ >>>

Примеры

Об общем вкладе

Этот пример взят из Девяти глав математического искусства :

При совместной покупке, если все платят 8, будет 3 превышения, а если каждый платит 7, будет 4 дефицита. Сколько должен заплатить каждый? Какое количество участников? Какая сумма покупки?

Это линейная задача, наклон - это количество людей, x - это квоты каждого, а y - предоставленная сумма.

Разрешение ложного положения

Поставленная задача уже указывает на две ложные позиции: для b = 8 профицит равен e = 3, а для a = 7 дефицит равен d = 4.

вклад каждого должен быть в е + б d е + d знак равно 8 × 4 + 7 × 3 4 + 3 знак равно 53 7 > = > = >>
количество участников (коэффициент коллинеарности) составляет d + е б - в знак равно 7 > = 7>
сумма покупки в е + б d б - в знак равно 53 > = 53>

Неизвестными являются: N для количества участников и S для суммы покупки. Данные приводят к системе уравнений

О системе двух уравнений с двумя неизвестными

Этот торговец купил 120 шарфов, одни по 2 экю, другие по 5 экю, на сумму 468 экю. Сколько шарфов каждого вида он купил?

Разрешение ложного положения

Ложные позиции будут относиться к количеству шарфов в 2 экю.

Если мы купим 60 шарфов за 2 ЭКЮ: тогда мы купим 120-60 = 60 шарфов за 5 ЭКЮ, и сумма покупки будет 60 × 2 + 60 × 5 = 420 ЭКЮ, следовательно, дефицит составит 468 - 420 = 48 ЭКЮ.
Если мы купим 50 шарфов за 2 ЭКЮ: мы купим 120-50 = 70 шарфов за 5 ЭКЮ, и сумма покупки будет 50 × 2 + 70 × 5 = 450 ЭКЮ, следовательно, дефицит составит 468 - 450 = 18 ЭКЮ. .

Здесь речь идет о двух дефицитах, необходимо взять обобщенную формулу: следовательно, точное количество шарфов за 2 экю равно . Поэтому он купил 44 шарфа по 2 экю (т. Е. 88 экю) и 120 - 44 = 76 шарфов по 5 экю (т. Е. 380 экю). Икс 1 δ 2 - Икс 2 δ 1 δ 2 - δ 1 знак равно 60 × 18 - 50 × 48 18 - 48 знак равно 220 5 знак равно 44 год \ delta _ -x_ \ delta _ > <\ delta _ - \ delta _ >> = > = > = 44>

Современное разрешение

Метод позволяет решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. В самом деле, если мы назовем n ₂ количеством шарфов в 2 ECU и n ₅ количеством шарфов в 5 ECU, тогда проблема говорит нам, что:

Линейная интерполяция в нелинейной задаче.

Этот пример взят из Книги чисел и исчисления (Suàn shù shū).

Рассмотрим поле размером в один m (в китайской метрологии один mǔ соответствует 240 bù-квадрату, или примерно 600 м²): сколько bù это квадрат?

Эта задача не является линейной, но мы можем локально приблизиться к соответствующей параболе с помощью отрезка прямой

Если сторона 15 bù, площадь 225 bù² или дефицит 240 - 225 = 15
Если сторона 16 bù, площадь составляет 256 bù² или превышение 256 - 240 = 16

Решение методом извлечения квадратного корня

Метод ложного положения в численном анализе

Это итерационный метод поиска нуля непрерывной функции, каждый шаг которого относится к исходной ложной двойной позиции.

Последовательные шаги метода regula falsi с интервалом [a ₁ ; b ₁ ] в качестве отправной точки. Корень функции - это красная точка.

Нахождение нуля секущей

Для заданных a и b строим прямую, проходящую через точки ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )), как на рисунке напротив. Обратите внимание, что эта линия является секущей или хордой графика функции f . Используя наклон и точку, можно записать уравнение прямой:

у знак равно ж ( б ) - ж ( в ) б - в ( Икс - в ) + ж ( в ) > (xa) + f (a)>

Теперь мы определяем c , абсциссу точки пересечения этой прямой с осью абсцисс (ноль секущей), определяемую по формуле:

ж ( б ) - ж ( в ) б - в ( против - в ) + ж ( в ) знак равно 0 > (ca) + f (a) = 0>

Решение предыдущего уравнения дает c :

против знак равно в - б - в ж ( б ) - ж ( в ) ж ( в ) > f (a)>

Расчетный процесс

Как и метод дихотомии, метод ложного положения начинается с двух точек a ₁ и b _1, таких что f ( a ₁ ) и f ( b ₁ ) имеют противоположные знаки, что, согласно теореме, подразумевает промежуточные значения, которые непрерывная функция f имеет хотя бы один ноль в интервале [ a ₁ , b ₁ ]. Метод состоит в создании убывающей последовательности интервалов [ a _k , b _k ], каждый из которых содержит нуль f . На шаге k число:

рассчитывается. Как объяснялось выше, c _k - это абсцисса пересечения линии, проходящей через ( a _k , f ( a _k )) и ( b _k , f ( b _k )) с осью абсцисс, которую мы будем называть для упрощения нуля секущей . Если f ( a _k ) и f ( c _k ) имеют одинаковый знак, то мы полагаем a _{k +1} = c _k и b _{k +1} = b _k , в противном случае мы полагаем a _{k +1} = a _k и b _{k + 1} = c _k . Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достаточно приближен к нулю, т. Е. Разница между c _{k +1} и c _k будет меньше допустимой разницы ε.

Вышеупомянутая формула также используется в методе секущей , но последний систематически сохраняет две последние вычисленные точки, в то время как метод ложного положения сохраняет две точки, которые обязательно окружают ноль. С другой стороны, единственное различие между методом ложного положения и методом дихотомии заключается в использовании в последнем соотношении c _k = ( a _k + b _k ) / 2.

Анализ

Если начальные значения a ₀ и b ₀ взяты так, что f ( a ₀ ) и f ( b ₀ ) имеют противоположные знаки, то метод ложного положения сходится к нулю f . Скорость сходимости обычно будет сверхлинейной , таким образом , быстрее , чем метод дихотомии, но медленнее , чем метод Ньютона. Однако помните, что метод Ньютона может расходиться, как и метод секущей.

Слайд 1

Слайд 2

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов. История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Слайд 3

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Читайте также: